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文档简介

第七讲高阶偏导数、极值1°高阶偏导数的计算例1(练习九/一(2))

设求解第1页，共19页。例2设,求解第2页，共19页。求例3(练习九/二)

设且,解例4

设由确定,求解将方程两边对x求导(z是x,y的函数)有第3页，共19页。两边再对x求导得将代入解得第4页，共19页。例5证明:当时,方程可化为,其中u具有连续的二阶偏导数解把ξ,η看作中间变量第5页，共19页。第6页，共19页。代入原方程得:第7页，共19页。例6在函数u=f(x,y)中,若令,试证:解把x,y看作中间变量第8页，共19页。例3(练习九/二)f(x,y)=c为一直线证明:当时,方程把x,y看作中间变量四面体体积最大,求切平面方程可化为,其中u具有连续的二阶偏导数当时,例9(练习九/六)证明:当时,方程设有一是唯一可能的最值点,由于问题例11(练习九/十三)在函数u=f(x,y)中,若令,例9(练习九/六)设,求例7设,求解当时,第9页，共19页。第10页，共19页。例3(练习九/二)将代入解得在函数u=f(x,y)中,若令,是唯一可能的最值点,由于问题证明:当时,方程四面体体积最大,求切平面方程设f(x,y)=c为一直线,则有f(x,y)=c为一直线例3(练习九/二)当时,设有一(1)求常数a的值证明:当时,方程试证:对任意的常数c,f(x,y)=c为一例8在函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且直线的充要条件是解“”设f(x,y)=c为一直线,则有第11页，共19页。“”只需证明由f(x,y)=c确定的函数y=y(x)有将f(x,y)=c两边对x求导有第12页，共19页。y=y(x)是线性函数f(x,y)=c为一直线第13页，共19页。2°极值、最值1、局部极值

例9(练习九/六)

设有一驻点为M0=(1,1),(1)求常数a的值(2)研究函数在该点处是否取得极值？解(1)第14页，共19页。(2)此时驻点M0不是极值点第15页，共19页。2、条件极值最值

函数在该点沿例10在椭球面上求一点,使方向的方向导数最大解设所求点为M

=(x,y,z)构造拉格朗日函数第16页，共19页。解得可能的最值点为:比较知为所求的点第17页，共19页。例11(练习九/十三)

在曲面,上作一个切平面,使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大,求切平面方程解任取M

=(x,y,z),法向:切平面:

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