椭圆及其标准方程演示文稿

椭圆及其标准方程演示文稿目前一页\总数三十五页\编于十五点如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：椭圆的画法目前二页\总数三十五页\编于十五点椭圆及其标准方程F1F2目前三页\总数三十五页\编于十五点一、椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？线段F1F2轨迹不存在目前四页\总数三十五页\编于十五点1、椭圆的定义：

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M几点说明：1、F1、F2是两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a<2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）

下面我们来求椭圆的标准方程.目前五页\总数三十五页\编于十五点♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy2.求椭圆的方程：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)目前六页\总数三十五页\编于十五点OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c,求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。

解：以F1F2所在直线为X轴,F1F2

的中点为原点建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2a目前七页\总数三十五页\编于十五点OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。目前八页\总数三十五页\编于十五点aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、①椭圆方程的几何意义：目前九页\总数三十五页\编于十五点如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？②椭圆的第二种形式：1oFyx2FM目前十页\总数三十五页\编于十五点

图形方程焦点F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上a,b,c之间的关系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：（2）哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上！（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和,右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。注意：目前十一页\总数三十五页\编于十五点543(3,0)、(-3,0)6定义的简单应用716填空(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_______，则三角形F1PF2的周长为___________F1F2XYPo目前十二页\总数三十五页\编于十五点(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;若CD为过上焦点F2的弦，则F1CD的周长为________21(0,-1)、(0,1)2XYOF2F1CD(3)已知椭圆的焦点在轴上，且过的直线交椭圆于两点,且的周长为16，则椭圆的标准方程为

.目前十三页\总数三十五页\编于十五点例１写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x

轴上；

(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；

或五、应用举例：例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0),且椭圆经过点P

。目前十四页\总数三十五页\编于十五点(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：目前十五页\总数三十五页\编于十五点(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：由椭圆的定义可知：又因c=2，所以椭圆的标准方程为：故b2=a2-c2=10-22=6目前十六页\总数三十五页\编于十五点课堂练习1：1.口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?目前十七页\总数三十五页\编于十五点1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；探究与互动：析：方程表示圆需要满足的条件：目前十八页\总数三十五页\编于十五点1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；探究与互动：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：目前十九页\总数三十五页\编于十五点1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。探究与互动：析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：目前二十页\总数三十五页\编于十五点解题感悟：方程表示椭圆时要看清楚限制条件,焦点在哪个轴上。例3已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程。目前二十一页\总数三十五页\编于十五点练习2：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得：0<k<4∴k的取值范围为0<k<4。目前二十二页\总数三十五页\编于十五点∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=12>|BC|,∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故点A的轨迹方程是(y≠0).例4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分别为(-4,0)､(4,0).定义法目前二十三页\总数三十五页\编于十五点练习3：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_____________.x2/4+y2/3=1练习4：如图，在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C,D的连线交于点M,求点M的轨迹方程。练习5：在三角形ABC中,B(0,-3),C(0,3)且sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。练习6：化简方程目前二十四页\总数三十五页\编于十五点椭圆及其标准方程(2)目前二十五页\总数三十五页\编于十五点分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO复习旧知目前二十六页\总数三十五页\编于十五点例1求焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程。x2/15+y2/5=1分析一：当焦点在x轴上时，设方程x2/a2+y2/b2=1

当焦点在x轴上时，设方程x2/b2+y2/a2=1分析二：设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)目前二十七页\总数三十五页\编于十五点(2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的标准方程。x2/9＋y2/8＝1(3)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：x－y－2＝0的距离为，求椭圆方程。x2/8＋y2/4＝1目前二十八页\总数三十五页\编于十五点

例2、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？oxyPD相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.目前二十九页\总数三十五页\编于十五点yxoPP’M目前三十页\总数三十五页\编于十五点P目前三十一页\总数三十五页\编于十五点目前三十二页\总数三十五页\编于十五点目前三十三页\总数三十五页\编于十五点ABMxyo目前三十四页\总数三十五页\编于十五点练习：1.已知椭圆5x2+ky2=5的一个焦点坐标是(0,2),则k=()A.B.1C.D.2.设且