类变分不等式的有限元逼近

PAGEPAGE1类变分不等式的有限元逼近类变分不等式问题的解在自然界中存在多种形式，如弹性问题、凸优化问题、流体问题等等。为了求出这些问题的数值解，有限元方法是一种非常有效的数值计算技术。有限元方法将连续问题离散化为一个有限维的问题，通常涉及到选择一个合适的有限元空间和数值方法来处理问题。特别地，对于类变分不等式问题，我们需要处理离散化后的解满足的额外约束条件。具体来说，我们考虑如下的类变分不等式问题：$$\\begin{cases}-\abla\\cdot(\\beta(x)\ablau)=f(x),\\quadx\\in\\Omega\\\\u\\ge0,\\quad\\text{a.e.in}\\Omega\\\\-\\beta(x)\ablau\\cdot\\boldsymbol{n}=g(x),\\quadx\\in\\partial\\Omega\\end{cases}$$其中，$\\Omega$是一个有界区域，$\\boldsymbol{n}$是$\\partial\\Omega$上的外向单位法向量，$f(x)$和$g(x)$是给定的函数，$\\beta(x)$是一个正的函数。将问题离散化为有限元问题后，我们需要将非负性约束表示为一个给定集合内的约束。具体来说，假设我们用分片线性元$S_h$来近似原问题的解$u$，则我们可以将非负性约束表示为：$$u_h(x)\\ge0,\\quadx\\in\\Omega_h\\subseteq\\Omega$$其中$u_h$是对$u$的有限元逼近，$\\Omega_h$是离散化后的区域。为了表示这个约束条件，我们需要考虑合适的集合$K$，它包含了所有满足条件$u_h(x)\\ge0$的$x\\in\\Omega_h$。然后我们将非负性约束条件写成以下形式：$$u_h(x)\\inK,\\quadx\\in\\Omega_h$$接下来我们需要定义一个新的变分问题，它的解密切满足约束条件$u_h(x)\\inK$。设$H$为$L^2$空间的闭子集，我们有以下变分问题：$$\\text{find}\\quadu_h\\inS_h\\capH,\\quad\\text{s.t.}\\quada(u_h,v_h)=f(v_h),\\quad\\forallv_h\\inS_h$$其中，$a(\\cdot,\\cdot)$和$f(\\cdot)$分别是以下形式的双线性和线性形式：$$a(u,v)=\\int_{\\Omega}\\beta(x)\ablau\\cdot\ablav\\text{d}x,\\quadf(v)=\\int_{\\Omega}f(x)v(x)\\text{d}x+\\int_{\\partial\\Omega}g(x)v(x)\\text{d}s$$这里我们约定，如果$K$是$H$的闭子集，则$S_h\\capH$表示的是由所有满足$u_h\\inH$和$u_h(x)\\inK$的$S_h$中的元素组成的$H$的子集。我们注意到，在这个变分问题中，$u_h$满足非负性约束$u_h(x)\\inK$。通过这样的处理，我们可以求解类变分不等式问题得到数值解。需要注意的是，$H$的选择对数值计算的精度和效率具有重要影响。一般来说，$H$应该被合理选择为一个充分大的子空间，它既可以被光滑和非光滑的函数所表征，同时也能包含所有符合$u_h(x)\\ge0$的$x\\in\\Omega_h$的函数。在实际计算中，我们经常使用一些现成的有限元软件包来处理类变分不等式问题，并使用它们自动处理