专题95几何概型概率教师版备战2020高考数学新一轮复习提分策略纸间书屋

专题9.05几何概型概率几何概型主要考查发生的概率与构成区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查【素养本讲内容突出对数学建模，数算的考查概念：如果每个发生的概率只与构成该区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模①试验中所有可能出现的结果(基本)有无限多个②每个基本出现的可能性相等计算构 A的区域长度面积或体 试验的全部结果所构成的区域长度关键是要构造出随机对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机的概率确定基本时一定要选准度量，注意基本的等可能性【体验在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这个实数满足17＜a＜20的概率是 2 23 【答案】20－17【解析】因为a∈(15,25]，所以 25－15有一杯2L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1L水，则小杯水中含有这个细菌的概 【答案】2LP＝2已知x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2＜0的概率为 5 8【答案】x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1

＝ 5min3min是 【答案】[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]A＝3

构 A的区域长 ＝试验的全部结果构成的区域长度【考法拓展•题型考法 与长度、角度有关的几何概l的长设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落段l上的概率 L的长【例1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( 2 23 4 435【答案(1)9(16＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，D＝[－2,3]，则所求概率为3－（－2）＝. 1102 与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的A构成的平面区域形状的判断及面积的计构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为p1，p2，p3，则() 8 84 4 42【答案(1)A【解析】(1)设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为则a2＝b2＋c2.则区域Ⅰ的面积111 111π22π2 π2822

Ⅰ＝22 2a

1

— 由几何概型的概率可知p1＝p2，故选π2π

4＝8 【例3】(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点OABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率 V(2)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取P，则三S－APC的体积大

3 【答案

××

2 ＝ ×1 ，则点P到点O的距离1的概率为

＝1－

(2)由题意知

PM PM

AP PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所

>， ，所

>，故所求的概率

BN BN

AB 易错点【典例】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.则AM<AC的概率为 2222

AB上取AC′＝AC，在∠ACB内部作射线CM，则所求概率

AC′2 2 【错因分析】：错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C作射线CM，错解中先在3【答案】4【正解】：在AB上取AC′＝AC，则 设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度67.5°4 A的区域角67.54

90°

在△ABC内部作射线CMCMCA――→CB，形成的区域类型是角度型【训练】在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内【答案】见【解析】O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，射线OA是否落在xOT内只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记B＝{射线OA落在∠xOT内}，因60°，

＝360° 【答案】421 可得，所求概率为 82＝8 2．在区间[－1,1]上随机取一个数x，使cos2的值介于0到之间的概率为 2 3 32【答案】[－1,1x2.因为－1≤x≤1π π 22x20≤cos2x32x222x32 所以≤x≤1或－1≤x≤－. A为 x的值介于0到之间”， A发生对应的区域长 2 2为.所以 ＝2 3．在区间[－2,2]上随机取一个数x，使|x＋1|－|x－1|≤1成立的概率 5【答案【解析】在区间[－2,2]上随机取一个数x，则－2≤x≤2，不等式|x＋1|－|x－1|≤1的解集为12

.所以使不等式成立的概率为P＝ ＝. 4．(2019·柳州高中二模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥1ABCD的体1

的概率 6【答案【解析】因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，所以正方体的体积V＝1×1×1＝1.当四棱锥M－ABCD的1

时，设它的高为h，

，则点M在到平面ABCD的距离等

1M－ABCDM－ABCDV′＝1×1＝ 2 所以四棱锥M－ABCD的体积小6

的概率 ＝V2V在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为 5 55 5 55【答案】3[－2,3]3－(－2)＝5，[－2,11－(－2)＝3，P＝5设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为 【答案】＝.Δ＝p2－4≥0，p≥2p≤－2(舍去)．所以所求概率为5－2＝.5－019：00～20：0020 【答案】12×

4人独自去时不需要等待满足|x－y|≥20，则由几何概型可知，所求概率

13

，则阴影部分的面积是 πA. 【答案】【解析】设阴影部分的面积为S，圆的面积S＝π×32＝9π，由几何概型的概率计

3S3 得S＝，得

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是 【答案】DA(43)，B(4，－2)，C(－6，－2)

点在△AEDy＋2＝02.P＝S

＝

16．(2019·山东枣庄一模)已知实数a满足－3<a<4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P，定义域为R的概率为P2，则( 1 D．P1P2的大小不确【答案】1【解析】若f(x)的值域为R，则Δ＝a2－4≥0，得a≤－2a≥21

4－（-

＋ ＝.若f(x)的定义域为RΔ2＝a－4<0，得－2<a<2.故

连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是 1【答案π【解析】当弦MN的长度恰为2R时，∠MON＝2，如图．当点N落在半圆 上时，弦MN的长度1超过2RP＝2记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率 1【答案 【解析】O：x2＋y2＝4，区域Ω就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω就是图中△AOB 4π65

的概率 【答案6【解析】设随机取出的两个数分别为x，y，则0<x<1,0<y<1，依题意有5

为 1 1－×1－×1－ 2 (1)4【答案】见(10≤x<24,0≤y<24，且y－x>4作出区域设“两船无需等待码头空出”为12×

(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或－x>4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为B，画出区 ×20×20＋ 442

1n122(1)求n(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为①记“2≤a＋b≤3”为A，求A的概率②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率【答案】见(1n＋22n1n的小球的概率是

2＝2(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，取出2个小球的可能情况共有C1·C1＝12种结果，令满足“2≤a＋b≤3”为A，则A共有 8P(A)＝＝12②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型可得概率14－ ＝1－4均为15°，边界忽略不计)即为．问：该商品的顾客在哪家商场的可能性大【答案】见πR2(R 66

6.所以，在甲商 的概率为

＝663＝ 的概率为 3＝

P<P，所以顾客在1512商场的可能性大1213．(2019·福州一模)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽yz为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组

【答案】见【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为43因为组成复数z的所有情况共有C1×C1＝12个4