数字信号处理课后习题答案1

数字信号处理（姚天任江太辉）第三版

课后习题答案

弟一早

2.1判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。

5471

(1)x(n)=Acos(——n-\——)

86

it

(2)x(n)=e7(―-^)

,、/、/3乃71

(3)x(n)=Asm(——nH——)

43

解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(④2+0),得出①二T。因此」=三是有理

数，所以是周期序列。最小周期等于N=1Z=16(Z取5)。

(2)对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[cr+/g]n,得出0=，。因此生=16不是无理数，

8CD

所以不是周期序列。

347T

(3)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(〃沈+0),又x(n)=Asin(-—nd--)=

43

yp3TT130,TTX

Acos(-------n----)—Acos(n---),得出to=—。因此---•-是有理数，所以是周期序

2434640)3

8

列。最小周期等于N=-%=8(攵取3)

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)

的线性卷积以得到系统的输出y(n),并画出y(n)的图形。

解利用线性卷积公式

00

y(n)=£x(k)h(n-k)

4=-Q0

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a)y(O)=x(O)h(O)=l

y(l)=x(0)h(l)+x(l)h(0)=3

y(n)=x(0)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n22

(b)x(n)=26(n)-(J(n-1)

h(n)=-S(n)+23(n-1)+3(n-2)

y(n)=-23(n)+53(n-l)=8(n-3)

81_rt+I

(c)y(n)=Z"(Z)a"%("一幻=ZQ"*=-j----u(n)

女=-ooA：=-<O1-a

2.3计算线性线性卷积

(1)y(n)=u(n)*u(n)

(2)y(n)=/inu(n)*u(n)

oo

解：(1)y(n)=/u(k)u(n-k)

k=-co

oo

=，①--k)=(n+1),n20

k=0

即y(n)=(n+l)u(n)

(2)y(n)—£九,"⑹〃(〃-攵)

Ar=-oc

X1-丸〃+1

=Z2忧(k)u(n-k)=---,n20

ho1—/t

即y(n)=^pu(n)

I-A

2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为电(n)和h?(n)的两个线性非移变系统的级联，已知

x(n)=u(n),阳(n)=S(n)-5(n-4),h?(n)=a"u(n),求系统的输出y(n).

解CD(n)=x(n)*h](n)

00

="(n-k)-8(n-k-4)]

k=-<x>

=u(n)-u(n-4)

y(n)=ty(n)*h2(n)

QO

=>[u(n-k)-u(n-k-4)]

k=70

=,n>3

k=n-3

2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=ar'u(-n),O〈a〈l用直接计算线性卷积的方

法，求系统的单位阶跃响应。

2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明(1)交换律

8

X(n)*y(n)=gx伏)y(〃-左)

k=7

令k=n-t,所以t=n-k,又-8〈k〈8,所以-oo<t<oo,因此线性卷积公式变成

00

x(n)*y(n)=^x(n-t)y[n-(n-t)]

r=—cc

8

二Xy")=y(n)*x(n)

r=-oo

交换律得证.

(2)结合律

[x(n)*y(n)]*z(n)

=[]*z(n)

k=-cc>

[Zx(Z)y"Q]z(n-t)

/=-<»k=-<x>

op8

=Zx(k)Zy(t-k)z(n-t)

&=YO-

00

=Ex(k)Zy(m)z(n-k-m)

k=7m

00

二yx(k)[y(n-k)*z(n-k)]

火=Y0

=x(n)*[y(n)*z(n)]

结合律得证.

(3)加法分配律

x(n)*[y(n)+z(n)]

CO

=Zx(k)[y(n-k)+z(n-k)]

k=-co

008

=2x(k)y(n-k)+Zx(k)z(n-k)

k=fA=-oo

=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)

加法分配律得证.

2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

2771

(l)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin[—n+—]

36

(3)y(n)=(4)y(n)=^x(k)

k=-<x)k=小

(5)y(n)=x(n)g(n)

解(1)设y[(n)=2X[(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于

y(n)=21X[(n)+x2(n)]+3

Wy[(n)+y2(n)

二21X[(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k)=T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|WM,则有

|y(n)|=|2x(n)+3|^|2M+3|<~

故该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

(2)设y।(n)=axi(n)sin[n+—]

36

....2%71-

y(n)=bx2(n)sinkr----nd-----J

236

由于y(n)=T[axi(n)+bx2(n)]

=[axi(n)+bx(n)]sin[n+—]

236

...2兀712乃Tt

=axi(n)sinr|----n+—J+bx2(n)sinL-—n+—!

3636

=ayi(n)+by2(n)

故该系统是线性系统。

由于y(n-k)=x(n-k)sin[(n-k)+—]

36

T[x(n-k)]=x(n-k)sin[-n+—]

36

因而有T[x(n-k)]Wy(n-k)

帮该系统是移变系统。

设|x(n)|WM,则有

27r7t

|y(n)|=|x(n)sin[----(n-k)+—]|

36

=Ix(n)||sin[-^(n-k)+-]|

36

WM|sin[—(n-k)+—]jWM

36

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

(3)设y!(n)=28(女)，y2(n)=£x《k),由于

k=-ook=-<x)

y(n)=T[axi(n)+bx2(n)]=+bx2(Z)]

k=-<X>

=aX\(k)+bZ12(女)=ayi(n)+by?(n)

k=-<x>jt=-oo

故该系统是线性系统。

因y(n-k)=Zx(k)=

k=-<x>,n=-oo

=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

设x(n)=M<0°y(n)==°°,所以该系统是不稳定系统。

k=-<x>

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

(4)设yi(n)=,y2(n)=^X2(k),由于

k=nok=no

y(n)=T[axi(n)+bx2(n)]=+bX2(k)]

k=no

=a，Xi(Z)+b>0(左)=ayi(n)+by?(n)

k=nok=no

故该系统是线性系统。

因y(n-k)=(攵)=x(m-1)

k=nom=no+t

WT[x(n-t)]=Zx(m—，)

4=〃0

所以该系统是移变系统。

设X(n)=M,则limy(n)=lim(n-n)M=oo,所以该系统不是稳定系统。

〃一>8n—>oo0

显而易见，若n2n。。则该系统是因果系统；若nVn。。则该因果系统是非因果系统。

⑸设Yj(n)=x)(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于

y(n)=T[aXj(n)+bx2(n)]=(axj(n)+bx2(n))g(n)

=axj(n)g(n)+b2(n)=ay1(n)+by2(n)

故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)Wy(n-k)

所以系统是移变系统。

设|x(n)|WM<oo,则有

|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|

所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

(1)h(n)=2nu(-n)(4)h(n)=(-)nu(n)

2

(2)h(n)=~anu(-n-l)(5)h(n)=—u(n)

(3)h(n)=<5(n+n0),n0>0(6)h(n)=2〃R“u(n)

解(1)因为在n<0时，h(n)=2〃WO,故该系统不是因果系统。

因为S=£|h(n)|=£2"|=1<8,故该系统是稳定系统。

〃=-<®〃=0

(2)因为在n<0时，h(n)#0,故该系统不是因果系统。

00一100

因为S=Eh(n)|=Z-za-",故该系统只有在|a|>l时才是稳定系统。

〃=-CO”=-00”=8

(3)因为在n<0时，h(n)W0,故该系统不是因果系统。

0000

因为S=Zh(n)|=£|?>(n+n0)|=l<oo,故该系统是稳定系统。

W=-00〃=-00

(4)因为在n〈0时，h(n)=O,故该系统是因果系统。

8PC1

因为S=Zh(n)|=Z](—)〃故该系统是稳定系统。

〃=-8"=o2

(5)因为在n<0时，h(n)=—u(n)=O,故该系统是因果系统。

n

因为S=£h(n)|=£|-u(n)|=£^=8,故该系统不是稳定系统。

n=-oo〃=-00〃«=0〃

(6)因为在n<0时，h(n)=O,故该系统是因果系统。

coNT

因为S=Z|h(n)|=£|2"|=2'-1<8,故该系统是稳定系统。

n=-oon=0

2.9已知y(n)-2cospy(n-l)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=‘皿〃)

sin0

证明题给齐次差分方程的特征方程为

a2-2cos/3•a+1=0

由特征方程求得特征根

a(=cosp+jsinP=e,a2=cosP-jsinp=e

齐次差分方程的通解为

y(11)=0]a]"+c2a2"=cie+c2e一那"

代入初始条件得

y(0)=C1+c2=0

y⑴=c।e*"+c2e~^"=l

由上两式得到

11_1

C'~ej/,n-e-jfin"2sin^,九一''sin/

将c।和c2代入通解公式，最后得到

1"的+「-J"卜」!!(■〃)

y(n)=c]e*〃+c2e一”"e十e)―-----------

2sinpsinp

2.10已知y(n)+2ay(n-1)+4(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)

解首先由初始条件求出方程中得系数a和b

y⑵+2ay(l)+Ay(O)=6+6Q=0

由V

[y(3)+2ay(2)+by(l)=36+12a+3Z?=O

可求出a=-l,b=-8

于是原方程为

y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0

由特征方程a2-2a-8=0求得特征根

aI=4,a2=-2

齐次差分方程得通解为

nz,

y(n)=c]a]"+c2a2"=c,4+c2(-2)

代入初始条件得

y(n)=c,a।+c2a,=4a(+2a2=3

由上二式得到

11

c.=—.c=——

12272

将c।和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=c।a"+can=—[4"-(-2)n]

1222

2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程：

V(n)-y(n-l)-y(n-2)=0,且y(0)=4,y(1)=1

解由特征方程？2一。—i=o求得特征根

1+V5I-A/5

a.=---a--=---

1292

a,"f（匕立）"+（匕虫）

通解为y(n)=Cja1w+c

2222

代入初始条件得

1-A/5

求出CI=----，C2

2V52出

最后得到通解

n

(^^)+c2

y(n)=j)"

2V5

_Li+&)"+]_(i-«)«+|]

V52百2y/5

2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

B

y(n)=x(n)+/?y(n-1)

为求单位取样响应，令x(n)=3(n),于是有

h(n)=5(n)+夕h(n-l)

由此得到

h(n)=-^-=/?"u(n)

1-/3D

阶跃响应为

y(n)=h(n)*u(n)=^。kY(k)u(n-k)

k=0

=上u3

i-B

2.13设序列x(n)的傅立叶变换为X(ejw),求下列各序列的傅立叶变换

yujw

解(1)F[ax)(n)+bx2(n)]=aX](e)+bX2(e)

->A>

(2)F[x(n-k)]=eX(e)

(3)F[e/5x(n)]=X[e"'ib)]

->

(4)F[X(-n)]=X(e)

(5)F[x*(n)]=X*(e-加)

(6)F[x*(-n)]=X*(/"')

(7)

1.

(8)jlm[x(n)]=-[X(eyM，)-X(e-yM，)]

2

(9)—X(e^)*X(e>)

2兀

,、阿小)

(10)j-------

aw

2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-—y(n-1)=x(n)+—x(n-l)

22

(1)求该系统的单位取样响应h(n)

(2)用(1)得到的结果求输入为x(n)=/""时系统的响应

(3)求系统的频率响应

TTTT

(4)求系统对输入x(n)=cos(—n+—)的响应

24

解(1)令X(n)=6(n),得到

h(n)~h(n-l)/2=6(n)+8(n-l)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出

h(n)=h(n-l)/2+8(n)+8(n-l)/2,n30

递推计算出

h(-l)=0

h(0)=h(-l)/2+8(0)=1

h(l)=h(0)/2+l/2=l

h(2)=h(l)/2=l/2

h(3)=；h(2)=(；)2

h(4)=1h(2)=(1)3

h(n)=8(n)+(y)n-]u(n-l)

或h(n)=(1)n[u(n)-u(n-l)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(l+D)8(n)

由此得到

h(n)=[(l+；D)/(l-；D)]5(n)=[1+D+|D2+(1)2口3+…+(；产D3+...]

8(n)

=S(n)+8(n-1)+-8(n-2)+-8(n-3)+...+(-)k-18(n-1)+,••

222

=8(n)+(n-1)

2)将X(n)=ejw,t代入y(ri)-x(n)*h(n)得到

(3)由(2)得出

(4)由(3)可知

y(〃)=W(e"[cos—n+—+arg[//(eJW)]

故：rUJ」

=cos—几+---2arctan一

124\2)\

2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)

试确定能使系统成为全通系统的b值(b#a),所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率/无关

的常数的系统。

解：令x(n)=6(n),则

h(n)=ah(n-l)=^(n)-b8(n-l)

或

h(n)=ah(n-l)+®(n)-^(n-l),n^0

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：

h(-l)=0

h(0)=l

h(l)=ah(0)-b^(0)=a-b

2

h(2)=ah(l)=a-ab

h(3)=ah(2)=a3-a2zb

h(n)=ah(n-X)=a，1-an1b,n^0

h(n)=au(n)-an—1bu(n-l)

或系统的频率特性为

H(*)=2：=_8值，(11)-an-ibu(n-1)]e-j3

a11e-i3-bzJa0-1e6

1,e小

--------：—b------：-

=l-ae-W1-ae-2

l-be-2

=l-ae-jw

振幅的特性平方

l-be-'w2

13)1=二^

(1bej3)(]bej3)

=(l-ae-i3)(i_aej3)

l-be-i3-bei3+|b2]

=1—ae->w—ae>w+!a2

3-*加-g3+1

Ibl2^-^————-

=1-ae-^—ae_*°+lal2

11

若选取a=犷或6=/,则有|H(e)w)[2=|b|2,即幅度响应等于与频率响应无关的

常数，故该系统为全通系统。

2.16(1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a"u(n),其中a为实数，且0<a<l。设输入为

x(n)=

P"u(n),夕为实数，且0<夕<1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式

,

y(n)=(kla'+k2夕")u(n)

(2)分别计算x(n)、h(n)和⑴中求得的y(n)的傅立叶变换X(e”')、H(e”Y(ey,'),并证明

Y(e>)=H(e>)X(e>)

解(l)y(n)=^h(k)x(n-k)

&=-oo

=0'u(n-k)

k=-<x>

夕-口一(a/T),力

2=-col-a/T'

心。

y(n)=(T，a"-『g"P")u(n)

1—//］一夕

(2)X(e'")=£，ZT01

77=01_0e.

H(eW)=£0%-•=1

n=0「ae*

aaB

1,___a________0

由于a-(31\-ae-j0>-1-筐讪

_________1

=X(e>)H(e>)

(1一3°)(1一"-“")

故得出Y(e加)=H(ejw)X(eJw)

2.17令x(n)和X(e”,)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：

此式是帕塞瓦尔(Parseval)定理的一■种形式。

证明：证法一

2.18当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周

期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从X。(t)到y0(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。

711

(1)如果数字滤波器h(n)的截止频率。等于一rad,-=10kHz,求整个系统的截止频率,

8T

并求出理想低通滤波器的截止频率fc

(2)对，=20kHz,重复(1)的计算

T

7T

解理想低通滤波器的截止频率一(弧度/秒)折合成数字域频率为灯(弧度)，它比数字滤波器h

T

ITTT

(n)的截止频率一(弧度)要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率一(弧度)

88

来决定。将其换算成实际频率，即将£=)=10000HZ带入号”=便得到

far=625Hz

TTTT

理想低通滤波器的截止频率下(弧度/秒)换算成实际频率使得到力，即由下=2%fc,得到

,110000

力『=-=----=500Hz

"2T2

2.19求下列序列的Z变换和收敛域

(1)8(n—m)

⑵(!)”〃)

2

(3)a"u(-n-l)

(4)(；)”[〃(〃)—〃(〃—10)]

(5)cos((w0n)u(n)

解：(1)X(Z)=£3(〃一根)z^z-nm

当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<IzI<8,无零点，极点为0(m阶);

当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0WIzIW—,零点为0(m阶)，无极点;

当m=0,X(z)=l,收敛域为0WIzIW8,既无零点，也无极点

(2)X(z)=£-u(n)z-n=Z

n="oo\^)«=0

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R,的圆的外部区域，这里

x(n+1)_1_

、=

Rlimx(〃)2

T(n)还是因果序列，可以有Iz|=8,故收敛域为,<|zIW8。零点为

2

0,极点为

2

X(n)还是因果序列，可以有Iz|=8,故收敛域为;<|zI忘8。零点为0,极点

为L⑶x(z)=fa"〃(一〃T)z-"=^(az-'y

271=00n=­l

—oooo__

n=-ln=l1-6ZZi—CIZ

X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围R、.+的圆的内部区域，这里

x(-n)

“+=limlLliml一(〃+1)1=回

8%(—5+1))n—>oo

x(〃)还是逆因果序列，可以有|z|=o,故收敛域为o«|z区|a|零点为0,极点

为ao

(4)X(z)=£

u(n)-u(n-10)]zn

n=-co

=Y『丫zJ3。

£12Jl-(2z)-'

X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幕项，故收敛域为0<Iz|<8.零点为

Ogi-(10阶)，极点为工。

22

800Ig-jWo"

(5)X(z)=^cos(w0n)u(n)z~"=乞---------z

71=-00/1=OOZ

81001

n=02n=02

111

__(------：------H---------：------)

=2l-eJWoz~ll-e~JW°zA

-1

1—zcosw0

-2

1—2z"'cosw()+z

x(〃)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为&-的圆的外部区域，这里

x(〃+l)1-Icos[w0(n+l)]

-1呼口则c°s(“)」

x(〃)还是因果序列，可以有IZ1=8,故收敛域为1qZ区00,零点为0

.—/Wn

和COS%,极点为6，”>和0'。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图

(1)x(n)=a|/?l,0<a<l

(2)x(n)=e(d+>b)wu(n)

(3)x(n)=Ar"cos(4+°)u(n),0<r<1

(4)x(n)=—u(n)

n\

(5)x(n)=sin(+^)u(n)

产、II-18

n

⑴X(z)=Z、、^7~、、-nZ-n+,、*Q、nZ-n

〃=_Q0n=-GO72=0

Ya11zn+Yanz-n-纱+—1一

-二jM/J1a~x1I-a„x—1

z(l-a2)

=(l-(2z)(z-<a)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列(收敛域同<卜区8)和一个因果序列(收敛域

。4卜卜」)相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域|a|<|z|<

14回

零点为0和8,极点为。和L。

a

⑵X(z)=£产“〃(〃)z"=£e"+M)"z

n=-oon-(p

]

=1—*%一1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R一的圆的外部区域，这里

X

X(n)还是右边序列，可以有Z=00,故收敛域为e"<|z|<8。零点为0,极点为

,。+加0

O

(3)

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R,一的圆的

外部区域，这里

，故收敛域为|r|<|z|<oo。

还是因果序列，可以有z=00

rcos(690-(P)reJC0°和re~ja°

零点为0和，极点为

81OO/

X(z)£—u(n)Z~n=z--

H=—oon!

(4)九=0

R—

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为X的圆的外部区域，这里

X(n)还是因果序列，可以有Z=8,故收敛域为0<Z-00,无零点，极点为0。

(5)

00

X(z)二Zsin(%〃+(p)u(n)z-〃

n=-oo

x(〃)是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为人的圆的外部象区域,这里

/、I।sin(u^-0)

x(n)还是因果序列,大故收敛域为1<目<8.零点为0和一:消J.极点为

cos小)+jsinw{}和cosw()-jsinw0.

2.21用三种方法求下列Z变化的逆变换

(1)X(Z)=-}—,|Z|<-

l2

l+lz-

2

141

(2)X(Z)=—,2,一,|Z|>-

.3_11_2

l+-z+-z2

48

1一〃7T

(3)X(Z)=,",|Z|>|-'|

z-aa

解(1)采用哥级数法。由收敛域课确定XI(n)是左边序列。又因为limXI(z)=l为有限值，所以

X-X5C

x,(n)是逆因果序列。用长除法将X1(z)展开成正幕级数，即

最后得到

X](n)=-2(-2),n=T,-2,-3...

或X](n)=-(一；)”"(-〃-1)

(2)采用部分分式展开法。将X2(z)展开陈部分分式

其中

由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)=l,所以X2(n)还是因果序列。用长除法分别

4-3

将---+―—展开成负基级数，即

l+-z-11+-Z-1

24

4

=4[1---z-1H—z2—z"+...+(—)，，Z，1+...]

1+-z-12482

2

81

〃=o'

■—~3-=-3[1--z-1+-z-2--z-3+z

,-w+...]

1J-i48164

1H—Z

4

CO]〃

=£-3(一]厅”

〃=0-

由上两式得到

(3)采用留数定理法。围线积分的被积函数为

当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z=L,因此

a

当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z=工和z=0,因此

a

当n<0时，因为X3(z)z'i在围线之外无极点，且X3(z)z”7在Z=8处有1—n22阶极点，所以有

刍(〃)=0，n<0

最后解得

2.22求下列Z变换的逆变换

(1)X(z)=------」--,K|z|<2

1r1

(l-Z-)(l-2z-)

(2)X(z)=---------：--0-.-5-<--|-z-|-<-2

(l-0.5z-')(l-0.5z)

-T-1

P7..T

(3)X(z)=-~,\z\>e"

(1—e「z

,、,、z(2z-a-b).................

(4)X(z)=-----------—,|a|<|z|<|b|

(z-a)(z-b)

解

(4)

采用部分分式法

1-2

根据收敛域l<|z|<2,----；>和------r分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成

l-z-'l-2z-'

z的负累级数和正幕级数，即

最后得到

用留数定理法,被积函数

根据收敛域0.5<忖<2可知,对应的是一个双边序列.其中

0.5<同对应于一个因果序列，即n<0时，x(〃)=0；〃20时，被积函数有1个极点0.5在

围线内，故得

|z|<2对应于一个逆因果序列，即n>0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点

2,且分母多项式的阶比分子多项式的阶高2—(n+1)=l-n>2,故得

最后得到

/I

或马(〃)=-6-

采用留数定理法，被积函数

根据收敛域|z|〉c"可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n〈0时，在x(〃)=0时，在

时，被积函数在积分围线内有1个2阶极点z=c”,因此

最后得到

或囹“)=nc"T"u(n)

(7)

由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将x(〃)进行部分分式分解，即

—A!

\-azx\-bzx

其中A=(l-tzz-')X7(z)|=2，:牛|=1

lt=a1_A71lt=a

对于■~J,收敛条件|z|>a表明它对应于一个右边序列；又因lim一J二1

1_az,TO1—ciz

有限值，所以一二•应于一个逆因果序列玉(〃)。用长除法将一二展开成Z的正事级数，即

1-azi-az

由此得到

]].巾1

对于1一历“，收敛条件IZ|〈b表明它对应于一个左边序列又因~。1一历‘二0为有

11

限值,所以1一反一’对应于一个逆因果序列/(")O用长除法将1一庆7展开成Z的正幕级数，即

由此得到

(〃)_-b"u(—u—1)

最后得到

2.23求X(Z)=合+>,0<|z|<8,的逆变换

解将统和标展开成幕级数

2.24试确定X(z)=z*是否代表某个序列得Z变换，请说明理由

解不能