数值分析课后习题答案

0第一章绪论

1.设x>(),x的相对误差为3,求Inx的误差。

解：近似值X*的相对误差为6=e：=J=―-

1*X*

而In%的误差为e(Inx*)=lnx*-lnx-—e*

x*

进而有£(lnx*)-8

2,设x的相对误差为2%,求炉的相对误差。

解：设〃x)=x",则函数的条件数为C=1之3I

"/(%)

又•••r(x)=nxn-\/.Q冒xnx'1=n

n

又；==C〃£(x*)

且e,.(x*)为2

.•.£，(鱼*)")=0.02〃

3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：x；=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,x*=56.430.x；=7x1.0.

解：x；=1.1021是五位有效数字；

x；=0.031是二位有效数字；

x；=385.6是四位有效数字；

£=56.430是五位有效数字；

匕=7x1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴x：+x；+x；,(2)x；x；x；,(3)x；/x；.

其中x；,x；,x；,x：均为第3题所给的数。

解：

£（X；）=；X1（）T

£（X；）=1*X10-3

2

£（X；）=；X1（）T

£（X；）=1X1O-3

2

£（x；）=}10-1

⑴£（X；+X；+X；）

=£（X；）+£（X；）+£（X：）

1,1,1,

=-xlO-4+-xlO_3+-xlO-3

222

=1.05x10-3

（2）£（X；X；X；）

=k：N£宙）+归Ek（X：）+忖同£（X；）

=|1.1021x0.031|X|X10-I+|0.031X385.6|X|X10-4+|1.1021X385.6|X1X10-3

«0.215

⑶£（x；/x；）

同£（龙；）+忖归⑹

1,1,

0.031X-X10-3+56.430X-X10-3

：22

56.430x56.430

=10-5

5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？

4

解：球体体积为V=—%川

3

则何种函数的条件数为

W

=3

V

3

/.£"*）=七（R*）=3j（R*）

又•••£,（/*）=1%1

故度量半径R时允许的相对误差限为£「(，*)=-*1%=—

3300

6.设％=28,按递推公式匕=工1一一-V783（n=l,2,…）

,100

计算到Koo。若取J丽。27.982（5位有效数字），试问计算Koo将有多大误差？

解：-V783

""1100

Koo-—--V783

10,，99100

%=4-V783

99

98100

%=%7-V783

9897100

匕=均-V783

1°100

依次代入后，有几(,=｝；-100x^77^

即九0=%-历,

若取V783=27.982,:.Y］（m^Y0-27.982

£（乂；0）=£（珀+£（27.982）=；xl0一3

.•.加0的误差限为;x10一3。

7.求方程/一56》+1=()的两个根，使它至少具有4位有效数字(J7^=27.982)。

解：x2-56x4-1=0,

故方程的根应为王,2=28±♦旃

故%=28+77^=28+27.982=55.982

.♦.士具有5位有效数字

X,=28-V783=——«----------=------=0.017863

-28+778328+27.98255.982

马具有5位有效数字

8.当N充分大时，怎样求二dx?

加1+X-

「N+l1

解J\j---2公=arctan(N+1)-arctanN

设a=arctan(N+1),0=arctanN。

则tana=N+1,tan(3=N.

公

rJN-1+^X2

=a-B

=arctan(tan(a-/?))

tana-tan£

=arctan

1+tanaUtan/?

N+l-N

=arctan

1+(N+1)N

1

=arctan-；-------

解+N+l

9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?

解：正方形的面积函数为4>)=*2

.•.£(4*)=24妊瓮*).

当％*=100时，若£缶*)<1,

则£(x*)W；xl()-2

故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过I。?？

io.设s=；g产，假定g是准确的，而对t的测量有±0」秒的误差，证明当t增加时s的

绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：•.•S=；g/j>0

.•.£(s*)=g/比«*)

当/*增加时，S*的绝对误差增加

er*、£（s*）

J（s*）=s*

=g产生（产）

一）*）2

=2吧

当t*增加时，£“*）保持不变，则S*的相对误差减少o

11.序列｛%｝满足递推关系％=lOy.i-1(n=l,2,…),

若%=&=1.41（三位有效数字），计算到见）时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：•.•%=&=1.41

，£(%*)=21*10-2,

..・X=10%—1

£(%*)=1。£(%*)

又；％=1°,一1

£(%*)=i°£(y*)

£(%*)=lob。。*)

.•.£(%*)=10%(%*)

=10'°xlxl0-2

2

=-xl08

2

计算到Xo时误差为;x1（）8,这个计算过程不稳定。

12.计算/=（、巧-1）6,m72=1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?

,(3-2后，一99-70日

(V2+1)6(3+2V2)3

解：设y=（X-l）6,

若无=JLX*=1.4,则£（/）=gxl（）T。

若通过/s计算y值,则

(茨+1)6

£，）=一一6义—J7主（X*）

（x+1）

6*/*、

=­；---7y£（%）

（X+1）7

=2.53y*£（x*）

若通过（3—20）3计算y值，则

2

e（y）=|-3x2x（3-2x*）|tt（x*）

=―

3-2x

=30J*£（X）

若通过——二^计算丫值，则

(3+2何

£（/）=--3x^W主（x*）

=6x----y*£（x*）

（3+2光t）7,

=1.0345y*£（x"）

通过——二f计算后得到的结果最好。

(3+2V2)3

13.7*)=111(彳一五2-1),求)(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(*_J九2_1)=_叭％+&_1)

计算，求对数时误差有多大？

解

•••/(x)=ln(x-Vx2-1),/(30)=ln(30-^99)

设“=屈^,>=/（30）

则“*=29.9833

e(w*)=-xl0-4

2

故

£(>>*)=-£(〃*)

1庄(〃*)

0.0167

=3x10-3

若改用等价公式

ln(x-JJ?-])=_]n(x+-])

则/(30)=-ln(30+屈

此时，

1

£(/)=|-.n—I£(»*)

30+〃

1*

=-------------£(«)

59.9833

=8x10-7

第二章插值法

I.当x=l,-1,2时,/(尤)=0,-3,4,求/。)的二次插值多项式。

解：

%=1,芯=-l,x2=2,

/(x0)=0,/(x,)=-3,/(Xj)=4;

/°(x)=(i-2)=一:(x+1)(九一2)

(与-九1)(%一尤2)2

(x-x)(x-x,)1

/,(x)=------0-----=—=-(x-l)(x-2)

(当一式0)(不一々)6

晨幻=.(三/)。』=l(x-l)(x+1)

■(々一七)(工2一%)3

则二次拉格朗日插值多项式为

2

右(》)=£川。)

攵=0

=-3/0(X)+4/2(X)

14

=--u-i)u-2)+-a-i)(x+i)

2.给出/(x)=lnx的数值表

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144

用线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。

解：由表格知，

xa=0.4,Xj=0.5,Xj—0.6,x3—0.7,x4=0.8;

/(x0)=-0.916291,/(%,)=-0.693147

/(x2)=-0.510826J®)=-0.356675

/(%)=—0.223144

若采用线性插值法计算In().54即/(0.54),

0.5<0.54<0.6

/,(%)==-10(x-0.6)

王一尤2

Z2(x)==-10(x-0.5)

x2-x]

k(x)=f(x})/,(x)+f(x2)l2(x)

=6.93147(%-0.6)-5.10826(%-0.5)

A,(0.54)=-0.6202186=-0.620219

若采用二次插值法计算In0.54时,

（X一玉）（尤一九2）

ZoU)=50(x-0.5)(x-0.6)

（与一%乂/一々）

I.(九)=(/7。"一々)=一100(无一0.4)(%-0.6)

(x,-x0)(x(-x2)

/,(x)=(r-1)0=50(x-0.4)(x-0.5)

(x2-x0)(x2-x,)

4(x)=/(x0)/0(x)+/(%])；1(%)+f(x2)l2(x)

=-50x0.91629l(x-0.5)(x-0.6)+69.3147(%-0.4)(x-0.6)-0.510826x50(%-0.4)(x-0.5)

/.4（0.54）=-0.61531984--0.615320

3.给全cosx,0°<xW90'的函数表，步长/i=l'=（1/60）°,若函数表具有5位有效数字，研

究用线性插值求COSX近似值时的总误差界。

解：求解COS尤近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值，具有5位有效数

字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数COSX的近似

值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综

合以上两方面的因素。

当0。WxW900时，

令/（X）-cosx

取X）—0,/?—（—）=—x---=------

0606018010800

令x.=%+〃7,z=0,1,...,5400

7T

则知00=5=90"

当xe］时，线性插值多项式为

xxxx

，/、，/、-k+i,，/\-k

4-4+|X*+|7

插值余项为

R(x)=|cosx-L,(x)|=1/"C)(x-)(x-%)

又•.•在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosxe[0,l],故计算中有误差传播

过程。

*1<

川U,))=-xlO-5

&(尤)=+£(/*(加))^^

<£(/*(/))(X一"印+X".M)

/一/刊4+1-4

=£(/*(4))：(4+1-X+x-4)

h

=£(/*&))

.••总误差界为

R=R(x)+R2(x)

=(-cos^)(x-xk)(x-xt+l)+£(/*(4))

1*

<-X(X-Xk)(xi+|-x)+£(/(4))

+£(/*(4))

=1.06x10-8+Lio-5

2

=0.50106x10-5

4.设为互异节点，求证：

(1)Z力j(x)三X"(fe=0,1,•••,«)；

j=o

(2)Z(Xj-x)Z(x)三0(A:=0,1,•••,«)；

J=0

证明

(1)令/(x)=X1

若插值节点为勺"=0,1,…,〃，则函数/(x)的〃次插值多项式为4(x)=Zx?j(X)。

六0

插值余项为此(X)=/(x)-4*)=4-捍助用*)

(〃+1)!

又,：kWn,

.•・产©)=0

•••凡。)=0

.,•£x；/j(x)=x"(Z:=0,1,•••,«)；

./=0

⑵Z(x「x)Z.(x)

j=0

=力(力明(r)f(x)

J=0i=0

=£<(-加苗必.(%))

z=0；=0

又0<i<〃由上题结论可知

j=0

・,・原式=£。;(―产公

/=0

=(x-x)^

=0

得证。

5设f(x)e。2［。,目且f(a)=f(b)=0,求证：

酬/⑸J(鹤厂(必

解：令4=。,玉=6,以此为插值节点，则线性插值多项式为

XX

A(x)=f(x0)'+/(%)二"每

/一玉x-xQ

、x-b、x-a

==/(r〃/)--+/(rZz?I)——

a-bx-a

又f{d)=f(b)=0

L、(x)=0

插值余项为R(x)=/(x)-L](x)=；/"(x)(x-Xo)(x-x)

/(x)=；/”(幻意一。)。一百)

又•••|(%-%)(九一X|)|

《{；[(%-%0)+(%-%)]}

=；(玉一/)2

=—(/?—a)2

4

/.max|/(x)|W[(8-a)?max|/*(x)|.

6.在-4<xW4上给出/(x)=e"的等距节点函数表，若用二次插值求，的近似值，要使

截断误差不超过KT，，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为Xj,天和为+1,则分段二次插值多项式的插值余项为

]„“

R2(x)=-f(J)(尤-%,.,)(X一%)(x-xM)

困(刈w(X-x,._|)(x-X,.)(x-x;+1)max|/*(x)|

设步长为h,即X”=Xj-h,xM-x,.+h

，・围⑶区/靠八条优

若截断误差不超过10飞，则

|/?2(x)|<10-6

.♦.迫e，3<10f

27

.-./2<0.0065.

7.若s=2",求A*券及川券.,

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

X,2"

44

Ayn=(E-l)yn

=(2-D4X,

=y“

=2"

1

44

=(E^)(£-1)XI

2

=E-^yn

=y,,-2

=2"~2

8.如果/(x)是m次多项式，记V(x)=/(x+〃)—/(x),证明/(x)的k阶差分

△*/(九)(OWZWm)是加一女次多项式，并且△"用/(x)=0(/为正整数)。

解：函数/(x)的Tay/or展式为

+A)=/(x)+fMh+if\x)h2+■■■+—f'n\x-)hm+—^―叫©/严।

2m!(〃z+l)!

其中Je(x,x+/z)

又•••/(x)是次数为机的多项式

...尸纭)=0

J.V(x)=/(x+〃)—/(x)

=f(x)h+1f\x)h2+…+二/⑼(幻/

2mi

・・・V(x)为加一1阶多项式

A7(x)=A(Af(x))

17(九)为m—2阶多项式

依此过程递推，得A«F（x）是机-上次多项式

.•.△"",（X）是常数

当/为正整数时，

A,,,+7（X）=O

9.证明△（力g*）=£Ag«+gKiM.

证明

Mfkgk）=fk+\gk+「fkgk

—fk+lgA+1—fkgk+1+fkgk+\fkgk

=gk+l（fk+l~~fk）+fk（gk+「gk）

=gk+Nk+fAgk

=fk^gk+gk+Afk

：.得证

10.证明Zfk\gk=fng„-fog。-Xgk+Nk

k=Ok=O

证明：由上题结论可知

fkMkSJ-gk+Nk

k=O

n—\

=Z（A（_/E）-g*+M）

ho

=£MfkgD-工gk+M

k=0k=0

A（£&）=Zwg«+i-人g”

/△（/**）

A=0

=（/gl_Togo）+（加2-工gl）+…+（Z1g"-fn-\8n-\）

=fnSn-foSo

EfNk=fngn-fOgO-Ygk+M

Jt=Ok=0

得证。

H—1

11.证明=△）；-△%

J=o

证明Z&2力=Z（A%-旬）

j=0j=0

=（Ay,-Ay0）+（Aj2-Ay,）+•■•+（Ay“一Ayn_1）

—%

得证。

12.若/'（x）=4+qx+…++4,x"有〃个不同实根xi,x2,---,xn,

"xk[0,0<k<n-2;

证明：,

占f（x）[n0',k=n-l

证明：•••/（x）有个不同实根玉,工2,…,X.

且/'（X）=&++…+a“_|X"T+anx"

/./（x）=a„（x-x,）（x-x,）•••（x-x„）

4^,（X）=（X-X1）（X-X2）---（X-X„）

nyKknk

则—

£f（Xj）yam（Xj）

而〃（X）=（X-X2）（X-X3）“.（X-X"）+（X-X1）（X-X3）i.（X—X”）

H------F（X-X|）（X—X2）---（X—Xn_1）

・・・可（Xj）=（Xj—M）（X/—%2）…（Xj_xH）（七一Xj+]）・••（5_X〃）

令g（x）=x*,

〃xk

«Xk

则g[xi，w，…，怎]=汇房[

y=l①〃（X）

k

nx|

./=!f（Xj）a„

9x\f0,0<A:<n-2;

「rap[n-',k=n-l

得证。

13.证明〃阶均差有下列性质：

(1)若E(x)=c/(x),则尸[%,石,•••,%”]=见知石,…,X”]；

(2)若F(x)=/(%)+g(x),则/[xo，X，…,x,』=/[xo，xi，-，，x,』+g[xo，xi「一，xj

证明：

(1),­*/[%，龙2，.一，七』=----7—7---------------C—：-----；

六o(七一/)•••(Xj-XjT)(Xj_Xj+])•••(Xj_X“)

F[Xl,x2,-,x„]=t-------W-------

j=o(勺_Xo)…(勺一Xj-\)(Xj-Xj+1)…(Xj-X”)

_________________/■)_________________

总(Xj-%)•••(Xj-XjT)(Xj_Xj+I)•一(Xj-xn)

二C这------------------山-----------)

M(X「一)…(勺一肛|)(马一勺+1)…(x「x”)

=cf[x0,xt,---,xn]

得证。

(2)vF(x)=f(x)+g(x)

：.F\Xi=y_______^2_______

(xy-x0)•••(Xj-x)(xy-xj+l)■••(%；-Xn)

=y___________/(x，)+gW)____________

总(Xj—/)•••(Xj—X/T)(尤/_Xj+I)•••(Xj-x.)

=±___________必___________)

尸0(Xj-/)•,•(Xj_X/T)(Xj_X/+])•••(Xj-xn)

+±)

>0(勺一一)…(.一Xj+1)…(勺-X")

=/[无0,…,X"]+g[x()，…,当]

得证。

14./。)=1+/+3》+1,求产[2°,2]一,27]及尸[2°,21-,28]。

W：v/(x)=x7+x4+3x+l

若看=2',z=0,1,---,8

则/k，x，…,x,』='，)

n\

…,3]=/7,)=3=1

/斗…,/]=)『=0

o!

15.证明两点三次埃尔米特插值余项是

<4)

&(x)=/C)(X-X*)2(X-x*+])2/4!,/e(x*,xi+1)

解：

若xe[x*,x*+J,且插值多项式满足条件

H3(xk)=f(xk),H^xk)=fXxk)

”3(/+1)=/(%),嫄%)=f\xk+l)

插值余项为R(x)=/(%)-”3(幻

由插值条件可知R(x«)=砥尤“|)=0

且R'(x«)=*(4+)=0

R(x)可写成R(x)=8(幻。-迎)2(%-4+1)2

其中g(x)是关于X的待定函数，

现把X看成[x«,x*+J上的一个固定点，作函数

9。)=/⑺一"3⑺一g(X)。-4)2«-%)2

根据余项性质，有

以玉)=0,8(x*+])=0

22

(p(x)=f(x)-H3(x)-g(x)(x-xk)(x-xk+l)

=/(x)-”3")—R(x)

=0

22

38=f'(t)-匕⑺一g(x)[2(f-xkXt-xk+i)+2(r-xt+1)(/-xJ]

“'(%)=0

由罗尔定理可知，存在？€（x*,x）和？€（x，4+1）,使

叭6=0,叭Q=b

即夕'（x）在［4,x*+J上有四个互异零点。

根据罗尔定理，夕”（f）在夕（）的两个零点间至少有一个零点,

故夕"（f）在（x*,x*+J内至少有三个互异零点,

依此类推，⑺在（々，尤口）内至少有一个零点。

记为余（4，4+1）使

。⑷G）=%'*G）—4!g（x）=0

又•.•//「）⑴=0

•••g（%）=---，生（％%）

其中J依赖于x

•••R（x）=（x-%*产（尤一x）2

ft+l

分段三次埃尔米特插值时，若节点为Z（火=0,1,…,〃），设步长为//,即

xk-xo+kh,k-O,I,---,n在小区间［x*,xi+l］上

R（x）=，/（x_4）2（x—加）2

⑸=*|严C）|（Xf）2（X-X*+l）2

22

<l(x-x,)(^+1-x)max|r'(.v)|

■-f噌右科

=宗和喇心到

=-^—max|/(4)(x)|

384a<>x<b।।

16.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足

P(0)=产(0)=0,P(l)=〃⑴=0,尸⑵=0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

%=0,玉=1

%=0，乂=1

%=0,mj=1

।।

“3(尤)=工匕%(幻+Z吗4(幻

j=0j=0

2

a0(x)=(l-2^^)(^L)

%-%Xo-Xj

=(l+2x)(x-l)2

«（X）=（i一2七工）（三乱了

王一玉）玉一玉）

=（3—2x）x2

片(x)=x(尤—if

^,(x)=(x-l)x2

"3(x)=(3—2x)x~+(x—l)x'——x3+2x?

22

设P(x)=H3(x)+A(x-x0)(x-xt)

其中，A为待定常数

•••P(2)=1

/.P(x)=一/+2x2+Ar2(x-1)2

:.A=-

4

从而P(x)=1无2。-3)2

4

17.设/(幻=1/(1+%2),在一5WxW5上取〃=10,按等距节点求分段线性插值函数〃x),

计算各节点间中点处的4（x）与/（X）值，并估计误差。

解:

若「=-5,xl0=5

则步长〃=1,

x,=x0+z7?,z=0,1,---,10

/(x)=TT7

在小区间上，分段线性插值函数为

4（x）=七也/⑷+

/、1/、1

（为+】一工）77丁（工一看）71—2

1+%1+和

各节点间中点处的/,,（x）与/（X）的值为

当x=±4.5时,/(x)=0.0471,/„(%)=0.0486

当*=±3.5时,/(x)=0.0755,/,,(%)=0.0794

当尤=±2.5时,/(x)=0.1379/(x)=0.1500

当尤=±1.5时,/(x)=0.3077/(x)=0.3500

当*=±0.5时,/(%)=0.8000,/A(x)=0.7500

误差

力2

嚅|/(%)-/,,(x)|<—max|/V)|

1

又,:f(x)=

1+

-2x

f\x)-(l+d产

6X2-2

(1+x2)3

24x-24x3

o=(1+x2)4

令/(x)=0

得f(x)的驻点为七2=±1和七=o

广(q2)=；/(九3)=-2

.•.max|/(x)-/A(x)|<|

18.求/(x)=x2在他,加上分段线性插值函数/“(x),并估计误差。

解：

在区间万］上，x0=a,x“=b,hj=九注］一%,i=0,l,…，〃一1,

h-maxh.

0生〃-1

•••f(x)=X2

函数/(x)在小区间上分段线性插值函数为

,/、X-XMr.、x-x,、

4(x)=-----/(%)+------f(xM)

七一七+1七+1—西

=丁［工：(七+］—X)+Xj+：(X—Xj)］

A

误差为

1

-2

max|/(x)-//,(x)|<8max|/7^)p?,.

••,/(x)=f

/'(X)=2x/(x)=

*

max|/(x)-Z(x)|<—

A1

a<x<b14

19.求f(x)=x4在［a,切上分段埃尔米特插值，并估计误差。

解：

在［a,。］区间上，x0=a,xn=b,hj=x/+1-x(.,z=0,1,.-•,-1,

令〃=maxh.

04运

/(x)=x"(x)=4d

函数/(x)在区间［%七+J上的分段埃尔米特插值函数为

XX

I,,(X)=(~M)2(l+2'一七)于5)

为一玉+i尤出一%

+(-r)2(1+2”一心)/(小)

%「Xi为一尤2

+(f“)2(x-x,.)/V,)

-f+1

A2

+(')(x-x,.+I)/(x,.+1)

Xi+I-Xj

X.4

=Ty(x—Z+iy(4+2x-2玉)

hi

Y4

H■-(x-七y(九一2x+2x/+1)

h；

4r3,

4■--y-(X-X/+I)(X-Xz)

hi

AX3

2

+-J^(x-x,.)(x-x,,+1)

误差为

=­l/'4)(^)l(x--xj)2(x-x,+l)2

<^-max|/(4>(^)|(^-)4

24o<.x^bI'2

又：f(x)=X4

/<4,w=4!=24

h：h4

maxif(xi（小max<—

aSx^b必》-】1616

20.给定数据表如下：

为0.250.300.390.450.53

Yj0.50000.54770.62450.67080.7280

试求三次样条插值，并满足条件：

(1)570.25)=1.0000,S'(0.53)=0.6868;

(2)S"(0.25)=S"(0.53)=0.

解:

h1)=X]—x()=0.05

/ij=x2—%!=0.09

/^=x3—x2=0.06

h3=x4—x3=0.08

,/〃--h:-H-----,2i,------h-j：—

1

〜nhj-\-hujrLj-\rhlj-h

533।

•'"Al=R，〃2=,，〃4=1

f[x,x]^=0.9540

0t玉一小

/[x,,x2]=0.8533

/[x2,x3]=0.7717

/[x3,x4]=0.7150

⑴Six。)=1.0000,S'(z)=0.6868

4=2(/氏，由一用=—5.5200

4=6出山二小辿]:-4.3157

4+%

d=-3.2640

24+为=

4=6/KM-小2'玉]=_24300

外+4

4=?(4'-/卜3，%4])=-2.1150

自

由此得矩阵形式的方程组为

<21"Mo、<5.520(?

59

2M|-4.3157

1414

32

2M=-3.2640

552

34

2M3-2.4300

177

1M4-2.1150

1><J

求解此方程组得

M()=-2.0278,M,=-1.4643

M,=-1.0313,M3=-0.8070,M4=-0.6539

•••三次样条表达式为

6%

Mx-xMx-x；

+*才)寸iU+时一号)丁(K，

.•.将％,M,心，区，%代入得

-6.7593(0.30-A:)3-4.8810(x-0.25)3+10.0169(0.30-x)+l0.9662(x-0.25)

xe[0.25,0.30]

-2.7117(0.39-x)3-1.9098(%-0.30)3+6.1075(0.39一x)+6.9544(x—0.30)

XG[0.30,0.39]

S(x)=<

-2.8647(0.45-x)3-2.2422(%-0.39)3+10.4186(0.45-x)+l0.9662(%-0.39)

XG[0.39,0.45]

-1.6817(0.53-x)3-1.3623(%-0.45)3+8.3958(0.53-x)+9.1087(%一0.45)

xe[0.45,0.53]

(2)5«)=0,5"(5)=0

d°=2£=0,&=-4.3157,4=-3.2640

4=-2.4300,〃=24=0

A)=4=o

由此得矩阵开工的方程组为

Mo=M=O

9

20

14(M.\"-4.3157"

32M,=

2-3.2640

55一

「2.4300,

3

02

77

求解此方程组，得

M0=0，M=-1.8809

M2=-0.8616,=-1.0304,M4=0

又•.•三次样条表达式为

%小；_与

M,/J,2X,..-x

+(匕-/)二+(丁汨

0hj6%

将”),根，％，%,也代入得

-6.2697(%-0.25)3+10(03一幻+]o.9697(x-0.25)

xe[0.25,0.30]

-3.4831(0.39-x)3-L5956(x-0.3)3+6.1138(0.39-x)+6.9518(x-0.30)

xe[0.30,0.39]

:.S(x)=«

-2.3933(0.45-x)3-2.8622(%-0.39)3+10.4186(0.45-x)+ll.l903(%-0.39)

xw[0.39,0.45]

-2.1467(0.53-4+8.3987(0.53-x)+9.l(x-0.45)

xe[0.45,0.53]

21.若/(x)eC2[a,0],S(x)是三次样条函数，证明：

⑴公-[5(x)『公

=-S"(x)『dx+2[S\x)[f\x)-S*(x)]2dx

⑵若/(%)=S(xJ(i=0,l,…,〃)，式中入•为插值节点,且)二元0vx1V・♦•<%〃=L,则

J：S〃(x)""(x)-S〃(x)]公

=S〃(划:S)-S®-S"(a)[八a)-S[a)]

证明：

=『公+J：S(x)『公-2j：/"(x)S"(xg

=J[S"(x)[tZr-2jS*(x)[/*(x)-5*(x)]dx

从而有

公一J：[S"(x)]2dx

=J必:+2jS"(x)""(x)—S'(x)]dx

⑵(无)"'(x)-S〃(x)]公

=]«(尤必"‘(尤)-5'(刈

=SXx)[fXx)-S'(x)]：-J]r(x)-S'(x)]d[S'(x)]

=S"3)"'⑼-S'S)]-S"⑷"'⑷-5'(a)]-J：S"(x)"'(x)-5'(刈公

=S\b)[f\b)-S@]-S"⑷⑷-S，(a)]-XS"(4[当Uj：'"'(x)-S'(x)]dx

=SXb)[f(b)-SQ)]-S"(a)[-⑷-夕⑷]-£S”(4:如)[八尤)-S，(x)]七华

k=02Xk

=S\b)[fXb)-SXb)]-S\a)[fXa)-S，(a)]

第三章函数逼近与曲线拟合

7T

1./(x)=sinyx,给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式4(/,X)及片()，幻。

解：

71

v/(x)=siny,xe[0,1]

伯恩斯坦多项式为

"k

4(/,x)=Z/(-»A(x)

&=0n

(n\

其中鼻(x)=x«(l—X)"Y

当〃=1时，

4(x)=(1-X)

vv

6(x)=X

x)=/(0)吠(x)+/(i)4(x)

’1)兀兀

=0(1-x)sin(~x0)+xsiny

=x

当〃=3时，

flA

4(x)=0(17)3

22

4O)=X(1-X)=3X(1-X)

22

P2(x)=x(l-x)=3X(1-X)

J,

A(X)=；卜=1

3k

&=0〃

=0+3x(1-x)2liin卜+3x2(1-x)Ekiny+x3sin卜

=-x(l-x)2+宏^犬2(i-+

22

5-3733373-6，3

=------X+-------尸+—九

222

-1.5X-0.402X2-0.098X3

2.当/(x)=x时，求证B“(/,x)=x

证明：

若/(X)=X,则

纥(/，X)=£/(勺4。)

<•=0〃

^k(n、

x*(l-犬尸

k)

k〃(〃一1)・・・(〃一女+1)

f(1-x尸

nk\

(〃・1)・・・[(〃-1)一(氏—1)+1]

xk(l-x)n-k

〃(-1A

=Z_尸

*=i\K17

”(H—lA

=xt尸(D(1«)

=MX+(1-X)『T

=X

3.证明函数l,x,…,x"线性无关

证明：

2

若4+qx+a2x4-----Fanx"=0,VxeR

分别取f(Z=0,l,2,…,〃)，对上式两端在［0,1］上作带权?(x)三1的内积，得

1]

1’0、

〃+1

0

1]

、〃+12〃+1,

♦.•此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异,

只有零解a=0。

函数1,X,…,X"线性无关。

4。计算下列函数/(X)关于C［0,l］的||<,||/||,与||/||2：

(1)/(X)=(X-1)3,X€[0,1]

(2)/(x)=x-；,

(3)/(x)=x"'(l—x)",m与n为正整数,

(4)〃x)=(x+l)”

解：

(1)若/(九)=(x—l)3,尤贝U

r(x)=3(x-l)2>0

f(x)=(x-l)3在(0,1)内单调递增

ML=max|/(x)|

US.VSI

=max{|/(0)|,|/(l)|}

=max{0,1}=1

WL=sl/w|

=max{|/(0)|,|/(l)|}

=max{0,1}=1

82MD")；

111

=[-(l-x)7]2

70

=也

(2)若/(x)=x-g[0,1],则

n=a(x)也

=2^(x--)dx

22

-4

2

/2=(£'/UW

=[J；(X告2卸

~~6

(3)若/(x)=x'"(l—x)",m与n为正整数

当xe[O,l]时,/(x)20

/'(x)=mx'"-'(1-x)n+x"'n(l-x)"-1(-1)

-\”-1n+m

=xm(Z11-x)mi}------x)

m

当xw（O,----）时,/'（工）＞0

n-Vm

：./（x）在（0,-^—）内单调递减

n+m

当xc（—』）时,r（x）＜（）

n^m

/（x）在（』一』）内单调递减。

n+m

XG(----,l)/(x)<0

n+m

HL=sl/w|=

m

=max(|/(0)|,/(-----)，

n+m

mV

(m+〃)”+〃

ll/lli=Jo'|/W|^

=，廿(1-

Jo

=『(sin?。"'。一sin，)Zsin2f

J0

Jt

-[2sin2,H/cos2wrcosrEBiintdt

Jo

n\m\

(n+m+1)!

/2=[f尤公]:

n_\

-[Jjsin"cos"以(sin21)]2

£

=ljj2sin4m+lrcos4fl+,^F

I(2n)!(2/n)!

一，[2(〃+m)+1]!

(4)若〃x)=(x+l尸e-

当xe[0,1]时，f(x)>0

f(x)=10(x+l)9e-J+(x+l)l0(-e'J)

=(尤+1)9"%9-力

>0

/(x)在[0,1]内单调递减。

IK=sl/M=

=max{|/(0)|,|/(l)|}

_2'°

e

=£(x4-l)I0e-v6fr

=-(x+l)"：+J；10(元+1)%”

=50

e

IfhduF

=7(7-7)

5。证明“-g|，|f|T|g||

证明:

f

=(--g)+g

<f-g+g

•••f-gNf-g

6。对f(x),g(x)eCfa,b],定义

⑴(£g)=CfXx)g(x)dx

Ja

(2)(/,g)=J：f(x)g(x)dx+f(a)g(a)

问它们是否构成内积。

解：

⑴令/(x)三C(C为常数