五年级几何勾股定理教师版

知识要a2b2ADcbhCBaABCABACBC为直角边，CD是斜边上的高。abcBCACABa2b2c2。h2BD2a2h2AD2其他性质abchDCBAACD面积计 S3SSSS 【分析 根据勾股定理，AB2AC2BC2，所以

S

12 证明：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，即：SASBAA【分析 方法一：正方形C如图所示四个相等的直角三角形和一个小正方形。S41431 （单位面积）SASB16925SASB的格点数

S1ab1（ab2正方形C周边上的格点数a4，内部的格点数b24，所以正方形C的面积为1424125（单位面积2 7cm，方形A，B，C，D的面积之和为 cm2CCDAB【分析 个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。ab【分析 方法一设直角边中较长的为a较短的为b则小正方形的边长为ab由题意得a2b213解得2ab12(ab)2a2b22ab1312是ab，新正方形的面积为原大正方形的面积加上四个直角三角形的面积。所以有(ab)252131ab4，解得2ab12。(ab)2ab)24ab2512212 ①的边长为64，方形⑦的边长 【分析 以①=②+②'，②=③+ ，⑥=⑦+⑦'，所以

1S，

1S ，

1SS1 1

2

2

2所以

(2)S1(

646464，所以正方形的边长为8 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB3米，BC4米，CD12米，DA13米，ABBC,这块草坪的面积是 CC CC 【分析 连接AC，因为AB3米，BC4米，ABBC,所以根据勾股定理可知AC5米，又因DA13米，CD12米，52122132,根据勾股定理逆定理可知ACDAC

,所以

ABBC12

ACCD12

SSABCSACD36平方米 四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13求四边形ABCD的面积CB 【分析 连结∵B90

AB3

BCAC2AB2BC225（勾股定理∴AC∵AC2CD2169∴AC2CD2

AD2∴ACD90（勾股定理逆定理∴SABCD

ABBC1ACCD 2

AD4m

CD3m

ADC90

AB13m

3 33【分析 连结AC，根据勾股定理AC2AD2CD252,又因为52122132，所以ACB90，这

ACBS

1(51234)24m22” （第七届小学“希望杯数学邀请赛六年级第2试）如图3所示，已知长方形的长是宽”倍，对角线的长是9，则长方形的面积 【分析 方形的面积为9981，且1a2a4a281，2a281，所以长方形的面积为a2a2a2162 aaa9方法二：设长为2aa。根据勾股定理：(2a)2a25a29281，所以a2815的面积为a2a2a21625【例10】第七届小学“希望杯”数学邀请赛六年级第2试）如图3所示，已知长方形的长是宽的倍，对角线的长是9，则长方形的面积 【分析 方形的面积为9981，且1a2a4a281，2a281，所以长方形的面积为a2a2a2162 aaa9方法二：设长为2aa(2a)2a25a29281，所以a2815方形的面积为2aa2a2281 【例11】如图，A段BG上，ABCD和DEFG都是正方形面积分别是16平方厘米和25平方厘米。求三角形CDE的面积等于多少平方厘米？ DDH DDH 图 图过点E作CD的垂线，交CD的延长线于点H。DAG绕点D逆时针旋转90与DHE重合AG2DG2DA22516

AG

EH

S

1CDEH143 【例12】（小学金杯赛模拟题如图所示直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米和9厘米。问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？ PRPRQE95FD【分析】如图，延长ARDQE、FAR、DQEFRP内相交形成四个与PQR相等的直角三角形和一个正方形GHMN。ARF与RHF的底和高相等，所以面积相等；同理DQE和QEN的面积相等；BPC、PQR、PQM和GEF这四个三角形相等，RQEF内四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面小正方形GHMN的边长为954厘米，所以面积为16平方厘米，而另外两个正方形ABPRCDQR的面积分别为2581。所以原图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大258116122【例13】用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色D黄蓝D黄蓝F【分析 设黄色正方形纸片的边长为a红蓝两个三角形相似，ECFC，ADAF所以EC29a

492

AD

a。根据勾股定理 a)

492

积之和为：1(49a229a2)1 2 【例14】（2008年小学算术大赛高小组初赛）沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形已知这个五边形5条边的长度分别是5厘米、9厘米、13厘米14厘米、17厘（未 【分析】长方形的长一定是17厘米，又知截下的一角为直角三角形，三边关系应满足勾股定理，尝试后5 549相对应的面积为1713342215 2208所以这个五边形的面积是215或208直角三角形的构 (1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)6,10,15；(4)7,24,【分析 (1)324252，可以构成直角三角形521221326210215272242252 已知一个等腰直角三角形的斜边c长为12，求这个直角三角形斜边上的高【分析 设这个直角三角形的一条直角边为a，那么就有a2a2144，a272则斜边上的a2c72126 如图所示，大正方形由小正方形和四个全等的直角三角形组成。试说明a2b2c2（不直接cbca 大正方形的边长为ab四个直角三角形的面积与小正方形面积之和等于大正方形的面积所以有(ab)2c21ab4，得出a2b2c2。勾股定理得证。2 如图所示正方形ABCD由一个小正方形EFGH和四个全等的直角三角形构成，请根据这个图HE HEB【分析 设直角三角形的两条直角边为a、b，且ba，大正方形的边长为c。根据题意可知：小正形的边长为ba1ab42ab22abba)2a2b2a2b2c2。即证【例5】在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面6米处树时能砸到张大爷的房子吗？【分析 根据勾股定理可知，102626482也就是树尖倒地的位置距树根8米，而张大爷家距树 在布置新年联欢会的会场时，身高1.6米，他准备把做的拉花用上，他搬来了一架高为1米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上，应把梯子的底端放在距离墙最 【分析 依据题意梯子靠在墙上的一端距地面2.41.60.8米梯子长为1米那么根据勾股定理得120.820.36，则梯子底端放在距离墙最远0.6 高？2如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？AAOB (1)AB25(m)，OB7(m)根据勾股定理：OA2AB2OB22527262549576242，所以OA24m。(2)由题意，下滑4米也就是AA' ，那么OA'24420(m)，由勾股定理得OBAB'2OA'2252202225152OB15(m，BB1578(m，所以梯子底端水平滑动了8米。 如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE1BC，证明AF4 连接AE， ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，所以AD4,DF2,FC2,EC1,且CE1BC4根据勾股定理，在直角ADFAF2AD2DF220；在直角EFCEF2EC2FC25；在直角ABEAE2AB2BE225；AE2EF2AF2，AEF90，即AF 已知：如图，在ABC中，EC90，AD是BC边上的中线，DEAB于E，求证AC2AE2EBED 【分析 根据勾股定理，在直角三角形ACD中，AC2AD2CD2，在直角三角形ADE中AC2AE2DE2CD2AE2BD2BE2BDCDAC2AE2【例10】（2008年小学数学竞赛选拔赛决赛（一）三角形ABC中，线段AR、BQ分别是BCACBQARAC8BC6AB2BC2Acaca dRca dRC【分析 连结RQ。因为R、Q分别是BC、AC边上的中点，所以RQ//AB，RQ1AB。根据勾股2理：a2c2AB2，b2d2RQ21AB2，a2d2BR21BC2，c2b2AQ21AC2 AB21AB2a2b2c2d21(BC2AC2AB220 AB2BC2CA2206282120【例11】（2008年小学数学竞赛选拔赛决（二将矩形ABCD分成四个全等的矩形如图所示。AE29cmAF41cmAC的长度是多少厘米？ 【分析 设ADa，DEb，则DF2b，DC4b。根据勾股定理a2(2b)2

，解得b2AC2a24b)2a2b215b2292152805041AC71（厘米 P为矩形ABCD内一点，已知PA5，PB10，PC14。求PD5?P5?P 5?P5?P 【分析 过点P作HF//AB，EG//AD交点如图所示根据勾股定理：52AH2HP2，102BF2PF2142FC2PF

?2HP2

。因 AH

FC

，所以(FC2PF2AH2HP2BF2PF2HD2HP2214252102得到11。即PD11【例13】如下图，直角三角形ABC，及其边上所连的三个正方形CBDE、BAGFACIH。请根据这个HGACBHGACBDHGACKBDL E【分析 过点A作CE的平行线，交BC、DE于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF12BDA。观察发现：ABD绕点B逆时针旋转90后和FBC重合。所以这两121212

。所以

FBAGS

AB2 S AC2。而S S S BC2，所以AB2AC2BC2。 【例14】如图：边长为4ABCDFDC的中点，且CE1BCAFEF4【分析 连接AE ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，且CE14AD4DF2FC2EC根据勾股定理，在直角ADFAF2AD2DF220；在直角EFCEF2EC2FC25；在直角ABEAE2AB2BE225；AE2EF2AF2，AEF90，即AFEF【例15】（2008年小学数学竞赛选拔赛决（二将矩形ABCD分成四个相同的矩形如图所示。AE29cmAF41cmAC的长度是多少厘米？ 【分析 设ADa，DEb，则DF2b，DC4b。根据勾股定理

，解

a2(2b)2

b

ACa(4b)AC71（厘米最短路 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程 AAA322BB【分析 依照题意把阶面展开就会得到一个长方形，长方形的长为20dm，长方形的宽2323215dm，ABAB2202152625252AB点的最短距离为25dm 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路 BA【分析 把原立方体展开，这样B点就会有3个，分别为B1，B2,B3ABAB232112130 ABAB26282 ABAB232112130 AB2100AB的路线走是最近的，长度为10 如图所示，为一个长、宽、高分别为16cm、12cm、15cm的木盒，A、B是木盒上的两点AE3cm

BN12cm，（1）问在木盒内最长能放进一根多长的硬木棒（木棒很细（2）AB点的最短路程是否会小于29cm【分析 解：1由股定理得

EN2EF2NF2

EN2EN2NN2 EF16cm

NF12cm

NN115cm 所以EN2EF2FN2NN2162122152252 EN125cm。最长能放25cm2如下图所示，过AAGEN，则BGN1NBN1AE10cm，因为EN161228cmAGEN，由勾股定理得：AB2BG2AG2102282884，而292841因为884841AB29，故，最短路程不会小于29cm图形剪 【分析 这个图形的面积为8，82222，如下图所示剪拼 （第六届杯五年级决赛）将下图分成三块，再拼成一个正方形，并求该正方形的面积。21111 这个图形的面积为32128，新正方形的边长不是整数。而82222。所以我们acbacb11cba11cba11 长方形的宽和长分别为1cm和5cm，将它剪成5块，拼成一个正方形【分析 2 把下图中两个边长分别为a和b的正方形剪两刀，拼成一个大正方形图 如图2所示剪掉两个直角边长分别为a和b的直角三角形可将原图拼成一个如图3所示的大 【分析 设小正方形的边长为1，则五个小正方形的面积和为5，拼成的大正方形的面积为10 21111 这个图形的面积为32128，新正方形的边长不是整数。而82222。所以我们尝试了下acbacb11cba11cba11 把下图中两个边长分别为a和b的正方形剪两刀拼成一个大正方形把剪的方法在图中标明图 如图2所示剪掉两个直角边长分别为a和b的直角三角形可将原图拼成一个如图3所示的大 【超常、超常3超常2】现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如下图，请你将它分割成【分析 矩形的面积为6.5213，所以拼成的正方形的边长不是整数。13112，12123423123122 图【例10】如图1所示，直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边为ca、b为边长分别作两个正方形。请在b为边长的正方形内添出辅助线，使得沿辅助线剪下的部分可以和a为边长的正方形aacbba【分析】过b为边长的正方形的中心作三角形斜边的平行线，再过中心作这条平行线的垂线。如此将b为边长的正方形分成4IIIIIIIV。这四部分刚好可以和a为边长的正方形拼成一个边长为c的新正方形。一课一【练习1】如图所示，以直角三角形ABC的三边 外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3,且S14S28，S3 【分析 S3S2S148【练习2】“中民道路交通管理条例”规定：小汽车在城街行驶速度不得超过70km/h.30m2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？A【分析 根据题意可知，图中的BC2AB2AC2502302402，所以AB40m，这个车的速度40220ms20ms72kmh70kmh【练习3】想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉5【分析 设旗杆为x米，则绳子就有x1米，由勾股定理可知：52x2x12，解得x12米【练习4】已知，ABCAB17cm，BC16cm，BCAD15cm，试说明

A AD是BC边上的中线，所以BD8cm，82152289172，即BD2AD2AB2。由勾股定理的逆定理可知：ADBC。所以AC2AD2DC2172，即AC17。所以ACAB,ABC知DA15kmCB10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得CD两村EEAkm处？DC 【分析 在AB上找一点E，使得AEBC10km，根据勾股定理，DE2DA2AE2325EC2EB2BC2325DECE【练习6】如图所示是2002年8月在召开的国际数学大会的会标它是由四个相同的直角三角形与13cm7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的边长是＿＿＿＿cm．7【分析 设直角三角形的两条边长为a、

，且b

a2b2132ba

a【练习75m，长13m2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【分析 根据勾股定理，13252122，即楼梯的长度为12m，那么铺在楼梯上的地毯的长度51217m（），地毯宽即为楼梯宽是2m，那么地毯的面积是17234m21834612元【练习8】已知：如图，四边形ABCD中，AB20，BC15，CD7，AD24，B90，请说明AC180。DC 连结AC，根据勾股定理AC2AB2BC2202152252，所以AC25。而72242252，所以D90，因为四边形内角和为360，所以AC180【练习9米，如果每个三角形最短边上都植6 【分析 掉1555该图案由四个一样的直角三角形组成，共需植树4(51213)120棵。【练习10ABCDEFGH把大正方形分成了四个相等的三角形，IH8HJ2,EFGH的面 P Q QFH G 【分析 设最小的正方形边长为a，IHKG8由题意GQK与QHJ相似所以GKQJ,即8a 所以a4，则HAG1248436248242324EFGH324436180【练习11】在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面6米处树时能砸到张大爷的房子吗？【分析 根据勾股定理可知，102626482也就是树尖倒地的位置距树根8米，而张大爷家距树【练习12】在布置新年联欢会的会场时，身高1.6米，他准备把做的拉花用上，他搬来了一架高为1米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上，应把梯子的底端放在距离墙最 【分析 依据题意梯子靠在墙上的一端距地面2.41.60.8米梯子长为1米那么根据勾股定理得120.820.36，则梯子底端放在距离墙最远0.6（1）高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米AAOB (1)AB25(m)，OB7(m)根据勾股定理：OA2AB2OB22527262549576242，所以OA24m。(2)由题意，下滑4米也就是AA' ，那么OA'24420(m)，由勾股定理得OBAB'2OA'2252202225152OB15(m，BB1578(m，所以梯子底端水平滑动了8米。【练习14】如图所示，一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 【分析】当筷子贴壁插在水中时，露出的长度最长为241212cm。当如图所示斜插时，在内的长求得为13cm，则h241311cm，所以11h12。 将圆柱的面展开，即得到一个矩形，所要求的最短长度即矩形的对角线长度。12252132，【练习16AB3BC4CD12DA13ABBC,这块草坪的面积是 CC CCAB【分析 连接AC，因为AB3米，BC4米，ABBC,所以根据勾股定理可知AC5米，又因DA13米，CD12米，52122132,根据勾股定理逆定理可知ACDAC

,所以

ABBC12

ACCD12

SSABCSACD36平方米【练习17】四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13求四边形ABCD的面积CB 【分析 连结∵B90

AB3

BCAC2AB2BC225（勾股定理∴AC∵AC2CD2169∴AC2CD2

AD2∴ACD90（勾股定理逆定理∴SABCD

ABBC1ACCD 2【练习18ABCDEFGH把大正方形分成了四个相等的三角形，IH8HJ2,EFGH的面 P Q QFH G 【分析 设最小的正方形边长为a，IHKG8由题意GQK与QHJ相似所以GKQJ,即8a 所以a4，则HAG1248436248242324EFGH3244361802图【分析 矩形的面积为10220，所以拼成的正方形的边长不是整数。204422，4221244222222图 图【分析 FCDE3mBC4mBF5mBFE中，根据勾股定BE2BF2EF252122169BE13m。【练习21ABCDAB3cmAD9cmBD重合，EFBEF的面积为多少？F FB图【分析 设AEx则BE9x因为三角形ABE是直角三角形所以根据勾股定理：x232(9x)2x4ABE1346BDEF2ABFEBEF的面积为39267.5cm2题库补【补充1如图：仓库高124D点3米处挂【分析 FCDE3m，BC4m，所以根据勾股定理BF5m，在直角三角形BFE中，根据勾股定理，BE2BF2EF25212214425 ，所以BE13m。【补充2】（2008年小学算术大赛高小组初赛）沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一5条边的长度分别是5厘米、9厘米、1314厘米、17（未【分析】长方形的长一定是17厘米，又知截下的一角为直角三角形，三边关系应满足勾股定理，尝试后 4597相对应的面积为1713342215， 所以这个五边形的面积是215或208平方厘米。【补充3】已知12和13【分析 若13为斜边，12为直角边，则另一条直角边长为5，此时面积为112530；若12和132112132【补充4】一个直角三角形的面积是30cm222cm，求这个三角形【分析 设短直角边为x，则另一条直角边为2x2，由题意得1x2x230，即xx1302也就是两个连续的自然数的乘积为30cm2x512cm13cm所以斜边上的高为2301360cm【补充5 如图1我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板及它们所夹红两色的三角形石板，如图2所示，图中有CDBADG180。C'如图3，将CDE逆时针旋转90，得到CDGAD、CC'与ADGSCDGSADGSCDE A G 注意到在原图中，