垂径定理优质课教案

垂径定理教学目标.知识与技能(1)探索并理解垂径定理(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理.过程与方法(1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动。理解定理的推导，掌握定理及公式。(2)在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流。.情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望。教学重难点.垂径定理及其运用。.探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。教学方法讲授法演示法教学过程讨论修改一、复习引入(学生活动)请同学口答下面问题(提问一、两个同学)复习上节课内容：包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知(实践)把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是。O的一条弦，作直径CD,使CDLAB,垂足为M。十D（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠，你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.（2）AM=BM,弧AC二弧BC,弧AD二弧BD,即直径CD平分弦AB,并且平分弧ACB和弧ADB.这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CDXAB垂足为M求证：AM=BM,AC=BC，AD=Bd。分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等。因此，只要连结OA、 OB或AC、BC即可。证明：如图，连结OA、OB,则OA=OBCTOC\o"1-5"\h\z在Rt△OAM和Rt△OBM中 /日、|OA=OB M\\|OM=OM [O.•・Rt△OAM2Rt△OBM・•・AM=BM，点A和点B关于CD对称VOO关于直径CD对称・•・当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，蓝与带重合，命与BD重合。

•AC=BC，AD=BD三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CDXAB（2）AC=BC，Ad=b四、例题讲解.如图所示，AB是。O的弦，OCLAB于C,若AB=2'①cm，OC=1cm，则。O的半径长为 cm。.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB〃CD，求AB与CD之间距离。解：如图所示，过O作OMXAB，VAB#CD，AON±CD.在RtABMO中，BO=25cm1 1由垂径定理得BM=2AB=2X40=20cm，,OM-'OB?-BM2=4252—202二玷加。同理可求ON='0c2-CN2=2252-242=7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm。以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中&，点O是BD的圆心，其中CD=600m，E为BD上一点，且OEXCD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。

解：如图，连接OC设弯路的半径为R,则OF=(R-90)mVOEXCD1 1・・・CF=2CD=2X600=300(m)根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2解得R=545・•・这段弯路的半径为545m。练习1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由。【教学反思】本节课应掌握:.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。.垂径定理及其推论以及它们的应用。【作业布置】一、选择题。1.如图1,如果AB为。O的直径，弦CDXAB,垂足为E,那么下D.AC>ADD.AC>AD列结论中，错误的是()。A.CE=DEB.BC=BD C.ZBAC=ZBAD⑶.如图2,。0的直径为10,圆心O至I」弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（A.4B.6C.7 D.8.如图3,在。0中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A.AB±CD B.ZA0B=4ZACD C.AD=BDD.PO=PD二、填空题.如图4,AB为。0直径，E是BC中点，0E交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=。.P为。0内一点，0P=3cm,00半径为5cm,则经过P点的最短弦长为;最长弦长为。.如图5,0E、0F分别为。0的弦AB、CD的弦心距，如果0E=0F,那么（只需写一个正确的结论）三、综合提高题.如图24-11,AB为。0的直径，CD为弦，过C、D分别作CN±CD、DM±CD,分别交