和差化积公式在三角函数中的综合运用(原稿)

PAGE16和差化积公式在三角函数中的综合运用(原稿)和差化积公式在三角函数中的综合运用和差化积公式与积化和差公式是两角和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于和差化积公式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利用两角和差正余弦三角函数公式展开运算，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如，、，将这两个角度关系代入上式，得到，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械记忆的，也没有这种必要，因为在解题中不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中尝试运用公式另辟新解法而对公式运用达到灵巧熟练的地步。从公式的推导过程可见角度恒等式、是和差关系向乘积关系转化的关键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这两组公式便可以熟练、快速而准确的导出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的运用，特别是在三角求值问题中和边角关系复杂的三角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决的问题能顺利解决，还能得到更一般的结论，这无疑对探索相关一类问题的一般解法具有重要意义。下面将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适用范围。一．在三角求值问题中的运用．例1：实数满足关系：(为正数).(Ⅰ)求证：为定值的充要条件是.(Ⅱ)设，求这样的，使得.（Ⅰ）证明：（1）必要性： ． 得，即．．因此， （1-1）另外， ． （1-2）得 （1-3）为了书写方便，以下出现的地方简记为．由（1-2）和（1-3）得 与．以上两式相除，得到 . （1-4）联合（1-1）和（1-4）可得 （1-5）上式为定值，则必等于0．即有 ．，则，必要性得证；（2）充分性：若，由（1-5）知．充分性显然成立．（Ⅱ）解：记，．由（1-3）知，即.设 ，． ． ．下面首先考虑一系列可能成为在的最小值的点： .对应的函数值： ．分别将以上各式代入不等式，解不等式组：且且，并注意，得 .因此，在函数定义域中，而，解不等式并与上述的解集取交集得 ，即．例2：设函数(Ⅰ)解关于的不等式.(Ⅱ)定义在上的函数和常数满足关系式.试求一个的解析式和对应的值.解：（Ⅰ）首先化简的表达式． ，即 ，，，，由三角函数图像知，以上不等式等价于，于是原不等式的解为 ．(Ⅱ) .即 ．下面说明的两种不同表达式：（1），则，于是或；（2），则，于是或.例3：设函数满足关系式：，其中是与无关的常数，且.（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）解关于的不等式.解：设，则， .按的两种不同取值分析如下：（1）若，注意，得.此时.即 .于是 ，；（2）若，注意，则.此时.即 . ，.综合（1）（2）可知,可取.待求解不等式为：，即.设，不等式化简为：，解之得或.，，因此，最后求解不等式： 或，即 或.REF_Ref296419808\h二．在解斜三角形问题中的综合运用.二．在解斜三角形问题中的综合运用.例4：面积是它周长平方的，若表示它的三个内角,试求的值.解：设三角形的三条对边为，，由题意得.由得.由于 于是，由得 .例5：对于任意三个在之间的角，判断“，”是“”成立的何种条件.解：这是一个充要条件，证明如下：必要性显然成立，下面说明充分性。，由得 ，或 .而 根据如上的等式关系，显然，等价于下面条件：或或或，其中后面三个关系式根据，，在原等式中位置的轮换对称性不妨设为成立.若成立，由，，可见，当，同时为0时，，这与矛盾，于是，不同时为0，此时，，而，这是与条件相矛盾的，因此，，后三种角度关系都不成立，只能是（注意，，不能同时取值）。充分性证毕。例6：的三边长成等差数列，且最大角与最小角之差为，求三角形的三边之比.解：设三对边为、、，则. ．三边长成等差数列得,且.因此 ，．即．由于，既有 ，．，，，．由得 ．三边长之比为．例7：非直角三角形中,为其三个内角，且(Ⅰ)求的大小.(Ⅱ)若，求的值.解：(Ⅰ)由，得 ． ，即 ，．因为是锐角，于是 ，．(Ⅱ)将代入题设表达式，或.即 ，将代入得 .由上式解得．例8：在中，对边为，，试求的值解：由得 ，即，，或 .由于，，则，于是 .例9：分别是三角形的三条对边，且，试求的最大值.解：由题设条件有.或 .令，，以上等式写为，或，或.由于，则 ，. ，. 设 ，,. .，将代入上式，并令得方程： ，或.注意到，上述方程的解为.在处取得最大值，，的最大值为.例10：在中，、、为其三个内角，若，试求的值.解：.题设条件等价于即 ，.解以上方程，得 ，.例11：在中，，则“”是“”的何种条件？解：这是一个充要条件，说明如下：由题设第一个命题得 ； ； ；，即 .由于，则，，于是，.另一方面，，按题设的另一个命题有，即，则，可见这两个命题互为充要的条件.例12：在中，，且.（Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求的大小.解：由得 ； ；即 ； .记，则 .而，设，， . .取得，.由可以判断，为在上的最小值，即方程在有唯一的实解，，.由得，.注意这里的“±”是本题产生多解的原因，在下面的解题过程中将得到两个符合题设条件的三角形.求解： .下面分两种情况求解：得，即.(ⅰ)若. ，，.则 ，； ； .(ⅱ)若.，，.则 ，， ，.例13：在中，为的对边，且有关系：.（Ⅰ）求的最大角的取值范围.（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围.16．解（Ⅰ）由条件知，等价于： ；上式简化如下： ； ； ； ；或 ．所以，可得，由得．比较与大小关系：.（ⅰ）若，则，最大角的取值范围是：；（ⅱ）若，则最大角的取值范围是：．（Ⅱ）设，． ，．对求导数得 ，可看出：在单调递减，在单调递增．的值域是：，这既是题意所求．从以上不同问题的解答过程中可以清楚地看出积化和差公式是如何从不同角度将一个复杂问题转化成几个子问题分而治之，联合各种三角函数公式联合求解子问题，还可看出对于一个综合问题，如何变换整体与局部看问题的角度，将子问题合并，联系具体问题条件与要求，最终解决全部问题。另外，在解三