数学培优-压轴题3

..压轴题<3>班级姓名学号1．已知数列的前设〔I证明数列是等比数列；〔II数列若对一切恒成立,求实数m的取值范围.2．已知函数〔I若函数上为单调增函数,求a的取值范围；〔II设3．已知点A〔1,1是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足.〔1求椭圆的两焦点坐标；〔2设点B是椭圆上任意一点,如果|AB|最大时,求证A、B两点关于原点O不对称；〔3设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值,求出定值；若不是定值,说明理由。4．已知函数,其中为大于零的常数．〔1若函数在上单调递增,求的取值范围；〔2求函数在区间上的最小值；〔3求证：对于任意的且时,都有成立．5.顶点在坐标原点,开口向上的抛物线经过A0<1,1>,过A0作抛物线的切线交x轴于B1,过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1,过A1作抛物线的切线交x轴于B2,…,过An<xn,yn>作抛物线的切线交x轴于Bn＋1<xn＋1,0><1>求{xn},{yn}的通项公式；<2>设an＝eq\f<1,1＋xn>＋eq\f<1,1－xn＋1>,数列{an}的前n项和为Tn.求证：Tn>2n－eq\f<1,2>.<3>设bn＝1－log2yn,若对任意正整数n,不等式<1＋eq\f<1,b1>><1＋eq\f<1,b2>>…<1＋eq\f<1,bn>>≥aeq\r<2n＋3>成立,求正数a的取值范围.6.已知函数,设正项数列的首项,前n项和满足〔,且。〔1求的表达式；〔2在平面直角坐标系内,直线的斜率为,且与曲线相切,又与y轴交于点,当时,记,若,设,求。压轴题<3>参考答案1．〔I证明：由于①当②①—②得所以因为故数列是首项为2,公比为2的等比数列. 〔II由〔I可知=所以故当恒成立.2．解：〔I因为上为单调增函数,所以上恒成立.所以a的取值范围是〔II不妨设即证只需证由〔I知上是单调增函数,又,所以3．解：〔I由椭圆定义知：,把〔1,1代入得,则椭圆方程为,,故两焦点坐标为〔II用反证法：假设A、B两点关于原点O对称,则B点坐标为〔,,此时取椭圆上一点,则从而此时|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立。〔III设AC方程为：联立消去得∵点A〔1,1在椭圆上∵直线AC、AD倾斜角互补∴AD的方程为同理又,,所以即直线CD的斜率为定值4．解：〔1由已知,得在上恒成立, 即在上恒成立 又当时,,,即的取值范围为〔2当时,在〔1,2上恒成立,这时在[1,2]上为增函数, 当,在〔1,2上恒成立,这时在[1,2]上为减函数, 当时,令,得又对于有,对于有, 综上,在[1,2]上的最小值为: ①当时,；②当时, ③当时,.〔3由〔1,知函数在上为增函数, 当时,,,即,对于恒成立,对于,且时,恒成立.5.解：<1>由已知得抛物线方程为y＝x2,y′＝2x,则设过点An<xn,yn>的切线为y－xeq\o\al<2,n>＝2xn<x－xn>.令y＝0,x＝eq\f<xn,2>,故xn＋1＝eq\f<xn,2>.又x0＝1,∴xn＝eq\f<1,2n>,yn＝eq\f<1,4n>.<2>证明：由<1>知xn＝<eq\f<1,2>>n,所以an＝eq\f<1,1＋<\f<1,2>>n>＋eq\f<1,1－<\f<1,2>>n＋1>＝eq\f<2n,2n＋1>＋eq\f<2n＋1,2n＋1－1>＝eq\f<2n＋1－1,2n＋1>＋eq\f<2n＋1－1＋1,2n＋1－1>＝1－eq\f<1,2n＋1>＋1＋eq\f<1,2n＋1－1>＝2－<eq\f<1,2n＋1>－eq\f<1,2n＋1－1>>.由eq\f<1,2n＋1><eq\f<1,2n>,eq\f<1,2n＋1－1>>eq\f<1,2n＋1>得eq\f<1,2n＋1>－eq\f<1,2n＋1－1><eq\f<1,2n>－eq\f<1,2n＋1>,所以an＝2－<eq\f<1,2n＋1>－eq\f<1,2n＋1－1>>>2－<eq\f<1,2n>－eq\f<1,2n＋1>>,从而Tn＝a1＋a2＋…＋an>[2－<eq\f<1,2>－eq\f<1,22>>]＋[2－<eq\f<1,22>－eq\f<1,23>>]＋…＋[2－<eq\f<1,2n>－eq\f<1,2n＋1>>]＝2n－[<eq\f<1,2>－eq\f<1,22>>＋<eq\f<1,22>－eq\f<1,23>>＋…＋<eq\f<1,2n>－eq\f<1,2n＋1>>]＝2n－<eq\f<1,2>－eq\f<1,2n＋1>>>2n－eq\f<1,2>,即Tn>2n－eq\f<1,2>.<3>由于yn＝eq\f<1,4n>,故bn＝2n＋1,对任意正整数n,不等式<1＋eq\f<1,b1>><1＋eq\f<1,b2>>…<1＋eq\f<1,bn>>≥aeq\r<2n＋3>成立,a≤eq\f<1,\r<2n＋3>><1＋eq\f<1,b1>><1＋eq\f<1,b2>>…<1＋eq\f<1,bn>>恒成立.设f<n>＝eq\f<1,\r<2n＋3>><1＋eq\f<1,b1>><1＋eq\f<1,b2>>…<1＋eq\f<1,bn>>,∴f<n＋1>＝eq\f<1,\r<2n＋5>><1＋eq\f<1,b1>><1＋eq\f<1,b2>>…<1＋eq\f<1,bn>><1＋eq\f<1,bn＋1>>,∴eq\f<f<n＋1>,f<n>>＝eq\f<\r<2n＋3>,\r<2n＋5>>·<1＋eq\f<1,bn＋1>>＝eq\f<\r<2n＋3>,\r<2n＋5>>·eq\f<2n＋4,2n＋3>＝eq\f<2n＋4,\r<2n＋5>·\r<2n＋3>>＝eq\f<\r<4n2＋16n＋16>,\r<4n2＋16n＋15>>>1,∴f<n＋1>>f<n>,故f<n>为递增,∴f<n>min＝f<1>＝eq\f<1,\r<5>>·eq\f<