高等数学课程第13章复习

第一~三章复习极限与连续函数有定义、连续、可导、可微之间的关系有定义连续可导可微有极限常用等价无穷小:5/13

数列极限，函数极限的求法（1）四则运算（无穷小分离，消零因子，有理化，通分等）（2）单侧极限与极限的关系（3）夹逼定理（4）两个重要极限（5）等价无穷小代换（6）罗必达法则（7）有界变量与无穷小相乘还是无穷小。（8）用定积分定义计算极限几个常用的极限

连续：一点处的连续性与单侧连续性——局部性质;闭区间上连续函数的性质——整体性质.有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，注意定理成立的条件：

1．闭区间；2．连续函数．f(x)在x0连续意味着：（1）函数f在某U（x0）内有定义（包含x0点），且（2）函数f在x0有极限（左右极限存在且相等），且（3）函数f在x0点的极限值等于函数f(x0)。间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.1、设f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处必定（）（A）无定义；（B）左、右极限不相等；（C）不可微；（D）不一定可导.

2、设f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的（）.（A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；（C）充分必要条件；（D）无关条件.

CA二、2二、4解：二、6间断点：x=1,x=-1∴间断点为x=0,-6,1.∴x=0,-6,1分别为无穷间断点，无穷间断点，可去间断点。二、7解解由夹逼定理得3/17解：因为解11解C-1-2例3证由零点定理,证毕6/9三、4.求解:原式=函数在一点可导的定义导数与微分导数与微分的计算方法：1）用定义；2）用导数与单侧导数的关系（求分段函数的导数）；3）用基本函数的导数（微分）公式、运算法则（四则运算法则、复合函数的求导法则（微分的形式不变性）

、反函数的求导法则）；4）用导数与微分的关系；5）用隐函数的求导法；6）对数求导法(适合幂指函数、连乘、连除、连续开方)；7）用参数方程确定的函数的求导法（特别注意二阶导数）；8）用乘积的高阶导数公式（莱布尼茨公式）。B解已知解解:求解:

方法1

利用导数定义.方法2利用求导公式.二、2

设其中在解:求处连续,由于f(a)=0，故二、3解解二、9解解解法一二、10解法二两边对x求导数：两边求微分：解解二、8解y是一个5次多项式，最高次幂的系数为解解导数的应用

拉格朗日中值定理1.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

泰勒中值定理

柯西中值定理

常用函数的麦克劳林公式（皮亚诺余项）定理1（极值的必要条件）：定理2(极值的第一充分条件)5/18定理3(极值的第二充分条件)定理4(极值的第三充分条件)拐点的判定拐点只能是f的零点或f不存在的点。定理4（拐点的第一充分条件）14/21拐点就是的单调性改变的点。*定理5（拐点的第二充分条件）15/21注意:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)二、1二、3解二、7二、1012.二、14解求证存在使*例.

设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得已知f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，证明例13.

证明：则满足拉格朗日中值定理，即例11.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:

问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点作业3-2中的二、2一、5水平渐近线。铅垂渐近线。解7/202作业3-2中的二、502-0+++0---