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文档简介
第一~三章复习极限与连续函数有定义、连续、可导、可微之间的关系有定义连续可导可微有极限常用等价无穷小:5/13
数列极限,函数极限的求法(1)四则运算(无穷小分离,消零因子,有理化,通分等)(2)单侧极限与极限的关系(3)夹逼定理(4)两个重要极限(5)等价无穷小代换(6)罗必达法则(7)有界变量与无穷小相乘还是无穷小。(8)用定积分定义计算极限几个常用的极限
连续:一点处的连续性与单侧连续性——局部性质;闭区间上连续函数的性质——整体性质.有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理,注意定理成立的条件:
1.闭区间;2.连续函数.f(x)在x0连续意味着:(1)函数f在某U(x0)内有定义(包含x0点),且(2)函数f在x0有极限(左右极限存在且相等),且(3)函数f在x0点的极限值等于函数f(x0)。间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点
.为跳跃间断点
.为无穷间断点
.为振荡间断点
.1、设f(x)在x0处不连续,则f(x)在x0处必定()(A)无定义;(B)左、右极限不相等;(C)不可微;(D)不一定可导.
2、设f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的().(A)必要非充分条件;(B)充分非必要条件;(C)充分必要条件;(D)无关条件.
CA二、2二、4解:二、6间断点:x=1,x=-1∴间断点为x=0,-6,1.∴x=0,-6,1分别为无穷间断点,无穷间断点,可去间断点。二、7解解由夹逼定理得3/17解:因为解11解C-1-2例3证由零点定理,证毕6/9三、4.求解:原式=函数在一点可导的定义导数与微分导数与微分的计算方法:1)用定义;2)用导数与单侧导数的关系(求分段函数的导数);3)用基本函数的导数(微分)公式、运算法则(四则运算法则、复合函数的求导法则(微分的形式不变性)
、反函数的求导法则);4)用导数与微分的关系;5)用隐函数的求导法;6)对数求导法(适合幂指函数、连乘、连除、连续开方);7)用参数方程确定的函数的求导法(特别注意二阶导数);8)用乘积的高阶导数公式(莱布尼茨公式)。B解已知解解:求解:
方法1
利用导数定义.方法2利用求导公式.二、2
设其中在解:求处连续,由于f(a)=0,故二、3解解二、9解解解法一二、10解法二两边对x求导数:两边求微分:解解二、8解y是一个5次多项式,最高次幂的系数为解解导数的应用
拉格朗日中值定理1.微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
泰勒中值定理
柯西中值定理
常用函数的麦克劳林公式(皮亚诺余项)定理1(极值的必要条件):定理2(极值的第一充分条件)5/18定理3(极值的第二充分条件)定理4(极值的第三充分条件)拐点的判定拐点只能是f的零点或f不存在的点。定理4(拐点的第一充分条件)14/21拐点就是的单调性改变的点。*定理5(拐点的第二充分条件)15/21注意:
当在内只有一个极值可疑点时,
当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)
对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)二、1二、3解二、7二、1012.二、14解求证存在使*例.
设可导,且在连续,证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得已知f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,证明例13.
证明:则满足拉格朗日中值定理,即例11.
设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:
问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点作业3-2中的二、2一、5水平渐近线。铅垂渐近线。解7/202作业3-2中的二、502-0+++0---
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