自适应有限元在水利工程中的应用

自适应有限元在水利工程中的应用摘要：本文将自适应有限元用于水利工程，提出了大坝有限元计算的应力取值标准：给定全局误差限作为自适应有限元网格剖分的准则，在此误差限控制下所得网格计算的应力为有限元应力取值。本文应用ZZ后验误差估计方法以及h-型自适应策略，对一个典型的重力坝剖面进行了线弹性自适应有限元计算。计算结果表明：给定一个全局误差限，网格剖分调整若干次后即可满足误差要求，不会出现因角缘应力集中出现剖分不收敛的情况；对于不同的初始网格，给定一个全局误差限，可以得到应力水平相当的有限元应力取值；存在一个全局误差限，使得当继续降低误差限时，坝踵和坝趾的角缘应力趋于稳定值。关键字：后验误差估计自适应有限元容许误差限重力坝Abstract:Theadoptionofstressbasedonadaptivefiniteelementisdiscussed,anditisreceivedfromaoptimizedmeshwhichisdividedundercontrolofagivenglobalerrorlimit.TheZienkiewicz-Zhuposteriorierrorestimateandcorrespondingadaptivestrategyarefirstlypresent.Andthelinearelasticadaptivefiniteelementcalculationisappliedtoatypicalgravitydam.Resultsindicatethatthereexistsaglobalerrorlimit,whichmakethestressesatdamheelandtoeasymptoticallykeepstabilizationratherthanincreasewithoutlimit.Fordifferentmesh,equivalentstressvaluearegainedandaoptimizedmeshareunderthecontrolofthisglobalerrorlimit,.5%percentasaglobalerrorlimitissuggested.Keywords:hydraulicstructure;stressadoption;adaptivefiniteelementmethod;aposteriorierrorestimate;errorlimit由于有限元法的应力成果往往与所采用的单元型式和单元划分有较大的关系，因此目前还难以提出相应的应力控制指标。另外，有限元法应力分析中存在着坝踵、坝趾的应力集中效应，这对应力评价及确定控制应力带来困难，因此，有限元分析中应力取值一直是坝工界长期关注且尚未得到很好解决的关键技术问题之一。坝踵、坝趾等角缘应力集中部位往往是最受关注的应力控制部位。结构应力控制标准是建立在一定的应力取值方法基础上的，两者必须配套，这也是建立有限元应力控制标准的难点所在。李启雄等通过工程实例的分析[1]，提出以坝基上游部分垂直拉应力分布的相对宽度作为控制标准。一些学者[4,5]以有限元计算所得应力成果推求大坝建基面内力，并用材料力学公式反求等效应力。虽然最大等效应力比最大有限元应力减小了，但从拉应力范围来看，等效应力的拉应力范围比有限元应力的范围增加了。从这一点来说，有限元等效应力法建议的方法和拉应力分布的相对宽度作为控制标准的方法产生了矛盾，因此它们不能相互统一。另外，李胜福[2]和赵代深[3]还从网格剖分的优化方面研究了有限元应力控制标准的问题。本文提出了基于自适应网格误差控制的有限元应力取值标准：即给定一个全局误差作为自适应有限元网格剖分的准则，以此网格计算所得应力即为有限元应力取值。以全局误差作为应力取值标准，优点是明显的：自适应网格误差综合反映了结构几何形状、材料特性和分区，荷载等结构要素的影响，且直接和应力精度相关联；其本身又是一个客观的无量纲数，特别适合作为不同结构的统一控制标准。本文应用ZZ后验误差估计方法及h-型自适应策略，分析了一个重力坝实例，重点考察三个问题：（1）给定一个全局误差限，网格剖分是否总能满足误差要求且收敛？（2）对于不同的初始网格，给定一个全局误差限控制值，有限元应力计算是否给出大致相同的应力取值？（3）是否存在一个全局误差限控制值，使得当继续降低误差限时，坝踵和坝趾的角缘应力大体趋于稳定值？不至于因全局误差限改变，应力计算值即急剧变化。1后验误差估计与自适应策略后验误差估计的关键在于选择合适的范数度量误差。在大多数文献中，是以能量范数度量误差，即对每个单元估计其误差的能量。如果计算结果的全局误差不满足要求，则需要重新设计网格，即对局部误差较大的单元进行加密。1.1误差估计及其渐进精确性[8,9]对于线弹性力学问题，令为有界域，为其边界，基本方程如下：（1）在区域内（2）（3）其中，—位移，—应力，—应变微分矩阵，—弹性常数矩阵，—体积力矢量，—线性微分算子，。为讨论方便，假设被剖分为矩形单元。以位移为基本变量的有限元系统方程一般根据最小势能原理建立。设分别为位移精确解和有限元解，应力精确解和有限元解分别为，定义位移和应力的局部误差（4）养能量准范数误差拖定义为（5）窜通常遵，除了简打单问题之趣外，应力恶精确解怒很难求得育，因此需谈要使用一拳个从有限驰元解颠修匀得到标的改进应叹力声来代替应钻力精确解错。使用应野力改进值局来近似计键算能量范混数误差为（6）省系统引相对误差妄和误差估铺计有效性迫指数菜定义为（7）式中赶蛇尺1.2粘留应力修匀辰过程虏对于羊阶的位移遗有限元逼济近，应力以在区域内俘不连续也堡不准确。棉可以通过脊应力修匀沙，使应力驻在区域内世具有与位令移相同的裁连续性，岔而且修匀印后的（改冠进）应力逗值比应力挽有限元解挂的精度高碎。妻令础为改进的和节点应力泻值，采用烘和位移相刑同的插值旧形函数垂，则应力湖改进值可量以写作（8）扮本文叛介兵绍纤Zien捉kiew商icz海&Zh角u冠所使用的庭应力修匀凳方法，也臭就液是导Z晶Z缘应力修匀午过毅程脾[8杜]葡，从本质衰上说它是身一种投影净法。狮在戒上，引入峰加权的余可量条件（9）按由此承解出（10）蚂如果允方扔程余(10宪)便中的缝取为整个源求解域，助那么它所敞导出的方精程规模较炒大，计算秤求解开销柄太大，在透实际计算途中，应力距修匀往往诚局限于局旋部的需要至进行网格尘自适应划习分的区域逢（单元分逮片）。设佩表示单元哲分片中的绑单元个数屈，抚表示形成氏的积分点乒个数。在胀单元分片聪中，保我们至少瓜需要难个积分点校数据来计小算未知量士。引入的天加权余量冈条件可以衔转化为线追性单方程蓬，其中（11）岭将求草得的祖代简入准(8劝)镇式即可得君到修匀后桥的应力值灶，然后将新其回代荷入哪(6喜)汇式即可得丙到用修匀骗应力值表樱示的误差棉，接下来享就可以使夫用允、夹来控制自纯适应过程野。讯互幻1.3弯纷自适应策链略必自适遵应分析的蝶最终目的技就是要实义现有限元坦的自动离婚散，实现无最优网格港布局，以苹提高求解绳精度，其很依据就是粪以上求得杠的误差估掏计值，它昌要求所估眠计的各单焰元误差指帮标相等，恼且应小于捎容许极限掘。杆脱秧Mar芬c掏程序引入书了网格的当局部自适慧应，并且阴提供了基宝于篇Z集Z躲应力修匀邻后得到的史后验误差攻的自适应桶网格细探化维[9惩]裤。实际计霸算中，（12）凶其中事是需要局倘部加密的走单元片中圾的单元个压数。泉如果覆，并且（13）截那么世单元笋就需要进梳行细化，埋网格细化莲的内容将此在下一节平中进行介魂绍。因需要战说明的是害：笋的典型值给为：物通常情况缩下，超如果每个所网格对于具全局误差猎的贡献都类相等，则樱称为数学多上的最优筒化网格鲁。宜搁因子翻可以用来逆增强全局吵误差航在自适应渡网格细化舒中所起的添作用，全午局误差通趋过仪来影响网爷格细化过昆程。一般去情况下，说系数梳满足关系崭式将谈莲1.4早捞网格细化奸如果惑条奔件垃(13屋)堡成立，单材元哀可以按照羽三种方式粥进行自适齐应改进：耽方式：改掌变网格节心点的位置灵，如阿图裙1(a音)磁所示鞠；赔运方式：改份变单元形窑函数阶次蝴，如益图班1(b阴)获所示祝；戏条方式：改漂变单元尺慨寸，如碑图辆1(c亮)尽所示处。喝闻强皂Mar膊c尝软件中采铁用的是伴方式的网舒格细化，准而且在细冈化过程中净产生了非铜协调的网抓格。汁为了龟从有限元亲近似解中旷获得相对券平滑的应恨力解，需体要对生成护的细分网况格有所控凯制，使得慈相邻单元脾之间的级钞差不超过气一级，如张图依2缩所示。从狡图帽2碑中可以看换出来，新椅生成的单咏元之间可面能存在非篮协调节点惩，如单图裂3悬所示，在净实际的有挽限元计算问中需要引捎入多点约础束附加条伞件。对袍于拣2倍维层和邀3熄维情形，跨分别有：否柱贡此(航14)理仗凳(凑a)衫方楚式洪(哈meth扛od扰)弟婆汉(西b)凯方蜜式预(硬meth各od本)尿盖峡(蛙c)飘方浙式纪(显meth台od)阔伸图啦1文连续单元根网格细化欲的三种不蔬同方法饲细化此单亲元，创建薪平滑的级嫌差过渡恭捞秩购2兴维蜻恢置犯3鉴维渡渣鹿根图奋2非细化单元办之间保证店级差连续搞坟杏矿图嫩3饿引入多点幼约束方程足疑直汤跨2邻君大坝应力染取值研掩究劈虎选取找某典型重选力坝剖面心，使姐用粥Mar眠c石程序进行洋平面应变聚条件下的添有限元计度算。计算别使陶用侍Z慈Z监后验误差遣估计，进葡行线弹性裙计算捉。虾Mar哪c旱程序根据浙给定的初哭始误差限看，决定是简否需要细途分网格，速最终结束链计算时得浸到一套优苗化的计算始网格，通距过它求得闭的应力场凯的全局误伙差以及各铸个单元上俩的误差将卖会满足所骄给定的误恶差限。耳计算龟条件：坝惜高顾100名m旅，底边汽长院70勾m腾，坝顶宽摔度筛5冲m日；计算范稍围是上游殃一倍坝高珠，下游两管倍坝高，袋向下为两俭倍坝高深螺度，如汁图缎4趟所示。用把户参数袍代表给定锋的容许误烛差限，可订以调节，斧，最大级鲜差疑为亡3弊。简初始静网格如尊图脏5障所示，本锋文分别对零规则网格斜（左图）兰和非规则陵网格（右将图）进行江计算，以鸦期证明：倘采用不同装网格时，矛给定同样姿的全局误唇差限得到兆的有限元禾解应力水舰平相当。软图凝6输从左到右谈、从上到析下分别是篮误差限设挨定阳为脏10选%自、罗7侵%苦、毛6也%奸、渐3拔%卷、木1牲%皇和芝0.5务%叫时的最终终网格。根击据计算结喇果整理出灾表校1酬的数据，得并将数据遍归一化后贡绘制成如撞图絮7普所示图表涝。课从昏表诞1表我们可以说得到两个睡结论：对爸于给定的惩全局误差涨限，网格描剖分调整桥若干次后对即可满足继误差要求茧；对于不扮同的初始鱼网格，存抽在一个全沃局误差限董控制值，耳使得坝踵页处应力值迎趋于稳定六【闯1妙】多。另外，救从鲜图橡6宿可以看出悦，同样使姻用四边形抵网格，对黎于结构化刚的网格以体及非结构屠化的网格袋而言，利仿用后验误丧差估计指亮导产生的鹊网格加密俩区域反映皆了坝踵以猜及坝址应灶力集中区厚域应力梯节度较大的长特征。在长坝踵和坝驾趾存在角兆缘应力的蛇区域，网哄格密度也首较大，这储样得到的烘网格更加冲接近于工中程优化网崖格。由技表滥1继以及先图吗7玩我们还可闹以得到本师文所提出帝的最后一每个结论：艰存在一个惭全局误差枯限，使得钟当继续降眠低误差限容时，坝踵乎和坝趾的辅角缘应力忠趋于稳定或值。说采西用乐5膨％的容许劈误差限，麦所需网格冶规模中等聋，而特征什应力值已钓经处于稳净定状态，跨因此由本给例的计算忽可以推荐船，设抖定学5神％的容许凝误差限，没求得的有使限元应力讯解可以看失作工程实难际可接受勉的应力解丢，用于指帆导工程设顽计。宰表绸1辫网格细化爹过程中的猴一些结果墓规则网捕格旋(兰Stru柔ctur根edM愧esh)贷非规则网榨格痒(炊Unst劳ruct基ured色Mes蛋h)捞误做差劈(说%)避细化次数转单元数绘节点数烂(注MPa)漠(间MPa)掠最大杨(述MPa)武误贫差营(误%)饮细化次数训单元数拉节点数察(惰MPa)擦(机MPa)罪最大吸(暮MPa)脊18疑1势394宋448阵3.81苦3.99贝7.23凡16罚1救318场360拨3.29亩3.08庆8.58区15奥2愉460苏534舰6.12左6.47瓣10.4脆9属15禾2查318毯360朵3.29患3.08友8.58栗13档3去580如677描9.30援9.85墨14.7晒7铁13师2塞363递418洋5.44进5.27探8.59守10撞4粪814吃945考13.7毯0谋14.5忧7北18.2完4吧10站3另471豆555渣8.37胀8.23拦11.1伍1燃7煎5边1189尺1358柴13.7朴5始14.5法9杆20.5蓄4禾7售5肃924他1063乓12.4逼8狭12.3源7云15.8凝4滥6嫁6灵1669阔1875巩13.7葬7臣14.6参2船20.5急8揉6谎6淘1221垃1405纹12.5姻0西12.4捆0极15.8储7兽5舍13佣2431巴2689赶13.7袖8伏14.6浮3魄20.6携0析5抵15油1899而2116布12.5孟1弟12.4虑0万15.8冷8全4饭15暮2467达2734茄13.7柄8匆14.6蹄3映20.6津0桥4趋13萝1899淘2116疯12.5弃1连12.4粉0麦15.8仰8战3肠13饭2473格2731茧13.7胀8敌14.6妻3咽20.6源0犁3泛17魂1950策2171轻12.5正1地12.4耍0范15.8哨8顿2怠13俯2479径2730栽13.7厕8窄14.6狼3殿20.6摄0姑2明14执1968厉2189数12.5浑1苦12.4露0与15.8悼8霞1罗15阳2521心2783诊13.7绩8跟14.6榴3答20.6球0火1亲15脊1953普2176撇12.5敌1意12.4递0傍15.8旱8奥0.5教17婚2563警2822畅13.7六8葡14.6自3伞20.6冻0轻0.5匠16凭1998虑2223村12.5欧1耕12.4鸣0分15.8俱8牛η懒=1谎0酒％穷η偷=辟7肆％汉η围=航6咸％改η州=1馒0丘％炕η下=红7唤％胖η鸭=死6在％长η团=酿3转％叹η昼=往1哪％末η行=0.那5系％同η贞=偏3虚％涛η拔=鉴1座％拴η今=0.帖5锹％匆贯役(a)手灰规则网格鱼旦议忌旅葬徐(b)镜匪非规则网钳格遵软图方6遭设置不同剧误差限时纷的最终网翼格学迁图透7惯归一化坐椅标与误差燥的关系宴误给踏荷图洪8羊坝踵至坝嫩趾一线灿应力分布饱由于转容许误差诚限是一个赢无量纲常伙数，因此捐适用于各侦种不同体换形、高度蜜的结构物惩。要作为饶指导工程我实践的合虫理的取值猜标准，还浇需要针对诱不同的建欧筑物类型刊和级别，呀规定相应城的允许误止差。当然闲，疼5玩％的数值患由本次计术算得出，暴还需要做饺大量的校盈准分析和日应用经验宵积累等工铜作。另外豪，本次计术算是线弹腾性的，因候此容许误敲差限对塑示性的影响谋还需要作处专门研究熔。限如宅图华8愈所示，绘宋制了坝踵煎到坝趾一售线节点的嫁应力值与金容许误差至限的关系糖，从中可斥以看出，窜当容许误阴差达桑到舞3仰％时，失已经渐进贪收敛于确袋定的应力萝值，而且摄，在坝踵便和坝趾附命近的确存睬在应力集默中现象。型在坝体内石部，使用磁不同误差啦限算出的切应力值非丈常接近，嗽因此，此酸处的网格储尺寸可以吧取得较大鉴一些。妄劫无3俭穿结刷论当攻通过悦本文的分屯析，说明槐了以下三革个问题：贯（宽1位）给定一惑个全局误专差限，网耀格剖分调老整若干次竿后即可满聋足误差要迈求，不会速出现因角窝缘应力集启中出现剖误分不收敛孟的情况；努（均2懒）对于不授同的初始室网格，给虏定一个全丸局误差限垃控制值，腾从有限元专应力计算善中能够得归到大致相俯同的应力损取值；趣（苏3伸）存在一瓦个全局误肠差限，使盼得当继续偏降低误差跟限时，坝那踵和坝趾甘的角缘应谣力趋于稳东定值。铺这三电点认识奠保定了以全帅局误差限吨作为应力们取值标准展的基础，论使坝踵和镜坝趾的角舞缘应力趋社于稳定值起的最大全器局误差限叨即可作为伐全局误差派限控制标羡准，通过扯本文的计副算，该全钻局误差限疯范围可以轿取打为锁5笑％。脆参考医文献；罚１．赴李启雄，辩苗琴生，者用有限元袭法计算重骂力坝应力倘时的控制萝标才准拘[J浩]绣，西北水粱电热.19诸96.4磨２．冶李胜福，殖混凝土重缴力坝自适驱应有限元浓应力分析额及改善坝捞踵应力分咐布状态方展法探哄讨勉[D凯]萄，大连理稀工大学硕漆士论文溉，哥2002袖.6烧３．萝赵代深，输重力坝有言限元计算拾网格剖分桑与应力控罪制标准问薪题维[J逃]塘，水利学箩报座.19止96.5朱４．止傅作新，祸钱向东，灾有限单元口法在拱坝驾设计中的扒应尾用歉[J孤]碗，河海大园学学墙报泽.19绪91.3打５．探李同春，筐温召旺，割拱坝应力多分析中的若有限元内馅力着法嫂[J