高三数学最后冲刺综合练习

高三数学最后冲刺综合练习

第I卷(选择题共40分)

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A•B)=P(A)•P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的

概率

Pn(k)=CF"P严

球的表面积公式S=4成？

其中R是表示球的半径

球的体积公式V=—冰3

3

其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

(1)设全集为R,A={x|x<3或x>5},B={x]—3<x<3},贝I」()

A.C«AU8=RB.AUgB=R

C.CRA\JCRB^RD.AU8=R

(2)已知m是平面a外的一条直线，直线“ua,那么m//n是机〃a的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(3)已知向量2=(2,3),b=(1,2),且(a+4b)J.(a-。)，则九等于()

55

A.-B.--C.-8D.7

33

(4)已知函数/(x)=sin3在[0,工]上单调递增且在这个区间上的最大值为

4

则实数。的一个值可以是()

(5)从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，

如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有()

A.C[A：种B.C；A；种C.种D.C；/种

/yJ?

(6)如下图，正方形ABCD的顶点A(0,—),B(―,0),顶点C、D位于第

22

一象限，直线/:x=将正方形ABCD分成两部分，记位于直线/左侧阴影部

分的面积为f(t),则函数S=/(f)的图象大致是()

(7)过双曲线』=1(。＞0,b＞0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,

ab~

垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为()

A.2B.V3C.3D.V2

(8)设函数f(x)在定义域D上满足/(｝=一1,〃x)w0,且当x,ye。时，

“X)+/(＞)=/(户)，若数列｛%｝中，占=＜，X川=二7a“eO,neN*)，

则数列｛/(x,,)｝的通项公式为()

A./(x„)=-2w+lB./(x„)=-2n-'

nn+l

C-f(xn)=-3-'D./(x„)=3

第II卷(非选择题共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。

(9)设复数石=l+i,z2=2-3i,贝晨1々2等于。

(10)(x3--!)”的展开式共有15项，则n的值为,其中常数项为

(11)一平面截得一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该

球的表面积是cm2,球的体积是cm\

(12)已知。＜0,则关于x的不等式的解集为o

x+a

(13)一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳

动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4

次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为则»

(14)下表给出一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，

记第i行，第j列的数为%(iNJ,i,jeN*),则第3列的公差等于,均等

于o

1

256

11134649

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)(本小题满分13分)

7TC

已知cos29=—，—<0<7i

252

2cos2--sin^

(I)求tan0；(II)求--------------

夜sin(e+£)

(16)(本小题满分13分)

已知口袋中有大小相同的m个红球和n个白球，〃22,从袋中任意取出两个球。

(D若〃?=4,n=3,求取出的两个球中至少有一个红球的概率；

(H)设取出的两球都是红球的概率为0,取出的两球恰是1红1白的概率为。2,且

Pi-2p2,求证：〃？=4"+1。

(17)(本小题满分13分)

已知矩形ABCD中，AB=y[2,AO=1,将AABD沿BD折起，使点A在平面BCD

内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。

(I)求证：DAJ_平面ABC；

(II)求点C到平面ABD的距离；

(III)求二面角G—FC—E的大小。

(18)(本小题满分13分)

V2V2

已知椭圆■+彳=1(。>%>0)的中心在坐标原点O,一条准线的方程是X=23,过

ab

椭圆的左焦点F,且方向向量为Q=(l,1)的直线/交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。

(I)求直线0M的斜率(用a、b表示)；

(II)直线AB与0M的夹角为a,当tana=7时，求椭圆的方程。

(19)(本小题满分14分)

(IX

已知函数/(x)=1—,在x=l处取得极值为2。

x+b

(I)求函数/(x)的解析式；

(II)若函数/(幻在区间(m,2m+l)上为增函数，求实数m的取值范围；

HYC1Y

(HI)若P(X。，必)为/(x)=会一图象上的任意一点，直线I与/(x)=-^―的

x+bx+b

图象相切于点P,求直线/的斜率的取值范围。

(20)(本小题满分14分)

在各项均为正数的数列｛4｝中，前n项和Sn满足2s“+1=许(2%+1),nwN*。

(I)求这个数列的通项公式；

(H)在XOY平面上，称直线C与x轴、直线x=a、x=〃所围成的图形的面积为直

线C在区间［a,b］上的面积，试求直线C在区间风，Xk］上的面积；

参考答案及评分标准

选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分)

(1)B(2)B(3)A(4)C

(5)D(6)C(7)D(8)D

填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

105500万

(9)5-i(10)10(11)100五，

323

(12){x\2a<x<-4a,Jix-a}(13)11

]i

(14)—,——

1627+1

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

7,7

(15)解：(I)由cos26=——，得l-2sin-。—,sin26>=—2分

252525

71八34

•：—<0<71/.sin^=-,cos。

255

八sin。_3

/.tan0=-----

~~46分

cos夕

D28-n

2cos---sin，

(II)---------------

V^sin(6+W)

_cos。+1-sin。

10分

sin6+cos6

4,3

——+1--

55

_3_4

5—5

=2……13分

(16)解：

CXCX4C22

(I)设取出的红球个数为J,则26=1)=二4二=二，PC=2)=U=*

C*j7C1-y7

426

所以取出的两个球中至少有一个红球的概率为一+—=—...6分

777

C2C'C'

(II)由已知得Pi

一c2，P22

M+/Jc

•r2—

乂Pi=2P2♦•一10分

2mn,即加2-加一Amn-0

2

m=4/?+113分

(17)方法1：

(D证明：依条件可知DA，AB①

•点A在平面BCD上的射影落在DC上

即平面ACD经过平面BCD的垂线

，平面ACDJ_平面BCD

又依条件可知BC±DC

8(2，平面ACD

：DAu平面ACD

ABC1DA②

■：AB[}BC=B

，由①、②得DA_L平面ABC.......4分

(II)解：设求点C到平面ABD的距离为d

于是^C-ABD~^D-ABC

由(D结论可知DA，平面ABC

DA是三楂锥D—ABC的高

••由^C-AHI)=匕，-ABC'得3dsM

5

解得d=»

2

即点C到平面ABD的距离为J8分

2

(或者证明CG_L平面ABD,求CG的长即可)。

(III)解：由(I)结论可知DAJ_平面ABC

：AC、CGu平面ABC

ADA1AC①

DA±CG②

由①得AADC为直角三角形，易求出AC=1

于是AABC中AC=BC=1

；G是等腰AABC底边AB的中点

/.CG±AB(3)

vABr\DA=A④

由②、③、④得CG_L平面ABD

YCGu平面FGC

平面ABD_L平面FGC

在平面ABD内作EHJ_FG,垂足为H

，EH_L平面FGC

作HK1.FC,垂足为K

连结EK,故EK_LFC

AZEKH为二面角E—FC—G的平面角……10分

设RtAABD边BD上的高为h,容易求出力=逅

3

.FH-瓜

6

在AEFC中，容易求出FE==,EC=—,FCV5

222

三边长满足FC2=FE2+EC2,：.ZFEC=90°

于是在RtAFEC中容易求出EK=----

10

sinZEKH=—=—12分

EK3

.V5

于是二面角E—FC—G的大小为arcsin——13分

3

方法2：

如图，以CB所在直线为x轴,DC所在直线为y轴，过点C,平面BDC方向向上的法

向量为Z轴建立空间直角坐标系。

V272、

则C(0,0,0),A(0,------,--------)9B(1,0,0),D(0,—yfi,0)>E(—,

222

VI3贬拒、

——,0),F(0,------,——)，G(-,也

2442

(I)证明:

—>V2V2->

•/DA=(0,—,—),BA=(-1,—),CB=(1,0,0)

2222

—>II—>—»

且。454=0——+—=0,DACB=0+0+0=Q,BAC]CB=B

22

.♦.DA_L平面ABC..4分

(ID解：设点C到平面ABD的距离为d

•.•AC=(0,—,A8=(l,—,AO=(0,,--)

222222

容易求出平面ABD的一个法向量为〃2=(-行，1，-1)

V2V2

fTA0+V+VV2

d=11ACIcos<AC9々>H1x------,-\=—

lxj2+l+l2

五

即点C到平面ABD的距离为—……8分

2

(III)解：•.•启=(—L—,0),EF=(--,—)

22244

容易求出平面FEC的一个法向量为〃3=(、历，1，3)

▽工/1后V2..1立八、

又GC=（——，，）,Gr=（——,,。）

24422

容易求出平面FGC的一个法向量为〃4=（一/1，3）

-2+1+92

cos<n,“4>=-i=----1==~12分

3V12xV123

2

,于是二面角E—FC—G的大小为arccos-......13分

3

解：设》）,因为、在椭圆上

（18）（I）A（X”B（x2,y2）,AB

2222

所以q+乌=1,容+与=1

“2/q2h2

两式相减，得：=_巨

尤］尤］+九2

-x2a

•.%二江区=1，%»±乃

王一九2X）+九2

a2

(II)因为直线AB与0M的夹角为a,tana=7

i2

由(D知KB=1，k0M=---2

a

l+—

tana=——*=7①

a2

又椭圆中心在坐标原点O,一条准线的方程是x=4

在椭圆中，a2=b2+c2③

a2=4

联立①②③，解得：<……12分

b2=3

X2y2

所以，椭圆的方程为二+乙=1……13分

43

(19)解:

八、“一皿，/、ax小/、a(x2+b)-ax(2x)

⑴已知函数/(x)=”'(M/2口、2

x+b(x2+by

r(i)=o

又函数/(x)在x=l处取得极值2,.■」

J(l)=2

a(l+b)-2a-0

a-4

即.

3b=l

4%

4分

4(x2+1)-4x(2x)4-4/

(II)v/'(x)=

(x2+1)2(x2+1)2

由/'(x)〉0,得4-4尤2>0,即一1<%<1

4r

所以/(x)=F—的单调增区间为(-1,1)……6分

X+1

因函数/(x)在(m,2m+l)上单调递增，

m>-1

则有彳2机+141,解得一1<小<0

2m+1>m

即加£(一1,0］时，函数/(%)在(m,2m+l)上为增函数……9分

,、...4x,,,.4(x2+1)-4x(2x)

(III)vf(x)=——/'(x)=-----F~

x2+l(x2+l)2

4(x；+1)-8x；

直线/的斜率为％=/'(%)=10分