华师大版九年级下册初三数学（提高版）(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版九年级下册数学

重难点突破

全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习

二次函数的概念一知识讲解(提高)

【学习目标】

1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；

2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；

3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；

4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.

【要点梳理】

要点一、函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x,y,对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，

y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.

对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a,函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做

当x=a时函数的值，简称函数值.

要点诠释：

对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：

(1)函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

(2)判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值

与它相对应；

(3)函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问

题有意义.

要点二、函数的三种表示方法

表示函数的方法，常见的有以下三种：

(1)解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，(或解析式)，用数学式子表示函数

的方法称为解析法.

(2)列表法：用一个表格表达函数关系的方法.

(3)图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.

要点诠释：

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有

的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值

带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而

且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

对照表如下：

表示方法全面性准确性直观性形象性

列表法XVVX

解析式法VVXX

图象法XXVV

要点三、二次函数的概念

一般地，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a乎0）的函数叫做x的二次函数.

若b=0,则y=ax2+c;若c=0,则y=ax?+bx；若b=c=0,则y=ax?.以上三种形式都是二次函数的特

殊形式，而y=ax?+bx+c（aKO）是二次函数的一般式.

在二次函数的一般式y=ax?+bx+c（a子0）中，ax?叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数

项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.

要点诠释：

（1）如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a*0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次

函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.

（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其

前面的符号.

【典型例题】

类型一、函数的相关概念

▼1、下列说法正确的是（）

A.变量X，丁满足2工+丁=3,则y是工的函数；

B.变量X，y满足1丁1=*，则沙是x的函数；

c.变量兀丁满足沙。=矛，则丁是”的函数；

D.变量九丁满足v—x=、则丁是x的函数.

【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断.

【答案】A;

【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的X的值，都有两个丁值和它对应，不满足单值对应的条件，

所以不是函数.

【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值

是惟一确定的.

举一反三:

【答案】B.

、求函数y=J竺?的自变量的取值范围.

2x-l>0..j2x-l<0,

【思路点拨】要使函数有意义，需，或<解这个不等式组即可.

X-1>0,x-1<0.

【答案与解析】

解：要使函数y=有意义,则需要目三之。

2z-l>0,2x-l<0,

即<或

x-1>0,x-1<0.

解方程组得，自变量取值是x>1或

2

【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的X的值.

IF3>(2016•北京二模)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果

调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售

额为y元，则y与x的关系式为()

A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

【思路点拨】根据降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件，由题意可得等量关系：

总销售额为y=销量X售价，根据等量关系列出函数解析式即可.

【答案】B

【解析】解：降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件，

根据题意得，y=(60-x)(300+20x),故选：B.

【总结升华】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等

量关系，再列函数解析式.

举一反三：

【变式】圆的半径是1cm,假设半径增加xcm,圆的面积增加ycm2,则y与x的关系式为：______.

【答案】y=7TX2+171X

类型二、函数的三种表示方法

▼4、问题情境

已知矩形的面积为a(a为常数，a>0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+3)(x>0).

X

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=X+,(x>0)的图象性质.

x

①填写下表，画出函数的图象：

③在求二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.请

你通过配方求函数_y=■一(x>0)的最小值.

X

解决问题

⑵用上述方法解决"问题情境"中的问题，直接写出答案.

【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一

定要跟着题目教给我们的思路走.

【答案与解析】

..1710551017

解⑴①y的值依次是：—,—,—,2,—,—,—.

函数y=x+，(x>0)的图象如图.

当Ovxvl时，y随x增大而减小；当工>1时,y随x增大而增大；当％=1时函数y=x+，(x>0)的

x

最小值为2.

®y=x+-

x

=向+(出

=(Vx)2+(J~)2~2>/x-J-+2\[x-^―

=(>/x-^―)2+2

当五一J'=0,即x=l时，函数y=x+，(x〉0)的最小值为2.

Vxx

⑵当该矩形的长为G时，它的周长最小，最小值为4&.

【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察了

列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法.

类型三、二次函数的概念

、一个二次函数y=(A—l)x"-"+4+2x—i.

(1)求k的值.

(2)求当x=3时，y的值？

【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2,二是最高次项系数不能为0.

【答案与解析】

公―3左+4=2

解(1)依题意有<

%—IWO

解之得，k=2.

⑵把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x-l,

当x=3时，y=14.

【总结升华】此题考察二次函数的定义和函数值.

举一反三：

【变式1】函数)=(加一3)川“1+3》—1是二次函数，则m的值是().

A.3B.-3C.±2D.±3

【答案】B.

【变式2】已知函数y=(加-1)%病+，"+2%—加是二次函数，求切的值，并指出二次项系数，一次项系

数及常数项.

【答案与解析】

m~2+m=。2

解：由题意得<

m-IWO

m=-2或加=1

m=-2.

，函数为y=-3x2+32x+2

，二次项系数为-3,一次项系数为2,常数项为2.二次函数的概念---巩-固练习

(提高)

【巩固练习】

一.选择题

1.下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示y是x的函数的是()

2.在函数y----中，自变量X的取值范围是()

x-\

A.x>-1且x/lB.x>-lC.x》-1且xrlD.x>-l

3.张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟

返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系()

4.(2016秋•西青区校级期中)下列函数中，不是二次函数的是()

A.v=l-B.y=2(x-1)2+4C.v=—(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x2

''2'

5.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函

数关系式为().

A.y=60(l-x)2B.y=60(l-x)C.y=60-x2D.y=60(l+x)2

1,

6.汽车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=三V(x>0)若汽车某次的刹

车距离为5m,则开始刹车时的速度为().

A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5rn/s

二.填空题

7.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

2

8.(2016秋•天津期末)如果函数丫=(k-3)7阱2+kx+l是二次函数，那么k的值一定是

3

9.下列函数一定是二次函数的是.①y=ar+bx+c；②丁二一一；

X

@y=4x2-3x+l；@y=(m-l)x2+bx+c;(B)y=(x-3)2-x2

10.边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长xcm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cn?)

与x(cm)之间的函数关系式为.

11.y=(2x-1)2-6中的二次项系数。＞一次项系数b=，常数项c=.

12.同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式

三.解答题

13.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格,

每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x元，求每周的利润y(元)与涨价x之间的函数关系式，

并写出自变量的取值范围.

14.如图所示，正方形ABCD的边长为4cm,E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均

以1an/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止.设运动时间为x(S),

运动过程中AAEF的面积为y,请写出用x表示y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

15.某她绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，

外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香茹的市场价

格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在

冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.

(1)若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的

函数关系式.

(2)李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？(利润=销售总金额一收购成本

一各种费用)

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B;

【解析】依据函数的定义，对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值和它对应.B选项中对于

一个x值有两个y与之对应，所以不是函数.

2.【答案】C;

x+l>0

【解析】要使函数y==1有意义，需要＜

x-iX—1H0

3.【答案】D;

4.【答案】D_

【解析】A、y=l是二次函数；

B、y=2(x-1)2+4=2X2-4X+6,是二次函数；

C、y=L(x-1)(x+4)=工?+之-2,是二次函数；

222

D、y=(x-2)2-x2=-4x+4,是一次函数；故选：D.

5.【答案】A;

【解析】一年后这台机器的价格为60-60x=60(1-x),两年后这台机器的价格为y=60(l-x)(l-x)=

60(1-x)2.以此类推.

6.【答案】C;

【解析】当y=5时,x2=100,x=10.

二.填空题

7.【答案】S=6w2;

【解析】根据圆柱的表面积=两个底面圆+侧面积，有S=2乃，+2〃rx2r=6"产.

8.【答案】0;

【解析】根据二次函数的定义，得：k2-3k+2=2,解得k=0或k=3;又•：k-3*0,

...k#3.，当k=0时，这个函数是二次函数.

9.【答案】③.

10.【答案】y=144-x2;

【解析】剩下四方框的面积为两个正方形的面积差.

11.【答案】4;-4;-5

【解析】提示：y=(2x-l)2-6=4x2-4x-5.

121

12.【答案】m=-n2一一n

22

【解析】n位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，考虑到两

位同学彼此的握手只算一次，所以n位同学共握手(〃一1)次.即1)='〃2一'〃

2222

二.解答题

13.【解析】

解：每件的利润为：60+x-40=(20+x)元，每周的销售量为：(300-10x)件，

所以y=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000

,.■300-10x>0,.'.x<30

y=(20+x)(300-1Ox)=-10x2+100x4-6000(0<x<30).

14.【解析】

解：y—S正方形,皿—S,MBE—SAW—S^CEF

,1_11

=BC2--ABJBE一一ADDF一一EFFC

22

,111

=4、——x4x(4—x)——x4x(4-x)——xx

222

1,

=--x+4x(0<x<4).

15.【解析】

解：(1)由题意得y与x之间的函数关系式为：

y=(10+0.5xX2000-6x)

2

=-3x+940x+20000(i<x<no,且x为整数)；

(2)由题意得：-3X-+94OX+2OO()O_IOX2OOO-34OX=225OO

解方程得：x,=50,X2=150(不合题意，舍去)

答：李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售.

二次函数y=a(x-h)2+k(aW0)的图象与性质一知识讲解(提高)

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数y=aO-〃)2+k(a、h、k常数，a#0)的图象.掌握抛物线y=a(x-%

与旷=仪2图象之间的关系；

2.熟练掌握函数y=a(x-+&的有关性质，并能用函数y=a(x-〃>+Z的性质解决一些实际问题;

3.经历探索y=a(x-/z)2+Z的图象及性质的过程，体验y=a(x-〃)2+左与旷=仪2、y-ax1+k.

y=a(x-hY之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及薮形结合的思想方法.

【要点梳理】

要点一、函数y=a(x-h)2(aH0)与函数y=a(x-h)2+k(a*0)的图象与性质

1.函数y=a[x-h)2(aw0)的图象与性质

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>〃时，y随x的增大而增大；xv〃时，y随

向上(〃，0)x=h

a>0x的增大而减小；x=/z时，y有最小值0.

x>〃时，y随人的增大而减小；xv〃时，y随

a<0向下(h,0)x二h

x的增大而增大；x=〃时，y有最大值0.

2.函数y=a(x-h)2+k(a。0)的图象与性质

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>h0t,y随尢的增大而增大；x<hHf,y随

a>0向上(小)x二h

x的增大而减小；x=/i时，y有最小值%.

尤>〃时，y随x的增大而减小；xv〃时，y随

a<0向下(h,k)x=h

x的增大而增大；x=〃时，y有最大值%.

要点诠释：

二次函数y=a(x—〃门+女团利)的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象

与性质.运用数形结合、函数、方程思想解决问题.

要点二、二次函数的平移

1.平移步骤：

(1)将抛物线解析式转化成顶点式丫="工-/?)2+%,确定其顶点坐标(力，k)；

⑵保持抛物线y=ay2的形状不变，将其顶点平移到(/?,4)处，具体平移方法如下：

向上(上0)1或下(收0)】平移网个单位吨也应支

2.平移规律:

在原有函数的基础上“也值正右移，负左移；左值正上移，负下移”,概括成八个字“左加右减,

上加下减”.

要点诠释：

⑴y+〃x+c沿y轴平移:向上(下)平移〃2个单位，y=ox2+〃x+c变成

y=ax2-^bx+c+m(或y=分之+。式+。一加)

⑵y=ax?+Z?x+c沿x轴平移：向左(右)平移机个单位，yua^+Ox+c变成

y=<1(x4-m)2+/?(x+m)+c(或y=a{x-m)2+b(x—m)+c)

【典型例题】

类型一、二次函数y=a(x-h)2+k(a*0)图象及性质

1

.已知y-a(x-h)~0+k是由抛物线y=0向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度

得到的抛物线.

⑴求出a、h、k的值;

(2)在同一坐标系中，画出y=a(x-h)2+k与y=-^x2的图象；

(3)观察>=。(工一")2+4的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大

而减小，并求出函数的最值；

(4)观察y=Q(X—〃了+2的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？

【答案与解析】

1

(1),.•抛物线了二一5/2向上平移2个单位长度,

1

再向右平移1个单位长度得到的抛物线是丁二-5(1-1)92+2,

a=——,h=l,k=2.

2

1>

(3)观察丁=一耳。-1)2+2的图象知，当XV1时，y随x的增大而增大；

当X>1时，y随X增大而减小，当x=1时，函数y有最大值是2.

(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y«2.

1

【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线>=一万必2平移后的抛物线的解析式，再对比

y=a(x-〃)2+%得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题.

举一反三:

【课程名称：《二次函数》专题第二讲：函数丁=。(工一〃)2(。/0)与函数y=a(x-")2+A3rO)的

图象与性质

391919练习3】

【变式】把二次函数丁二奴工一人产+女的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函

1-

数y=-5(x+l)—1的图象.

(1)试确定a、h、4的值；

(2)指出二次函数y=a(x-/z)2+后的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性.

【答案】(1)a=--,/i=l,k=-5.(2)开口向下，对称轴x=l,顶点坐标为(1,-5),

2

当x>1时，y随x的增大而减小；当xVl时，y随x的增大而增大.

2.(2016•杭州校级二模)二次函数丫=(x-1)2+1,当2<y<5时，相应x的取值范围

为.

【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=l,根据对称性求x

的取值范围.

【答案】-1<XW0或24xV3.

【解析】解：当y=2时,(x-1)2+1=2,

解得x=0或x=2,

当y=5时，(x-1)2+1=5,解得x=3或x=-l,

又抛物线对称轴为X=1,

-1<x<0或2&xV3.

【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性.关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，

再结合图象确定x的取值范围.

类型二、二次函数y=a(x-h)2+k(aH0)性质的综合应用

^^3.已知:二次函数y=x2-4x+3.

(1)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)求出该抛物线与x轴的交点坐标；

(3)当x取何值时，y<0.

【解析】解：(1)­/y=x2-4x4-3,

「.y=(x-2)2-1,

「•对称轴为：直线x=2,

「•顶点(2,-1);

(2)令尸0,

则，x2-4x+3=0,

(x-1)(x—3)=0,

••X]—1,x2—3,

.,.与X轴的交点坐标为(1,0),(3,0);

(3)当l<x<3时，y<0.

【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性

质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便.

举一反三：

【变式】已知抛物线y=2(x-1)2-8.

(1)直接写出它的顶点坐标：,对称轴：；

(2)x取何值时，y随x增大而增大？

【答案与解析】

解：(1)抛物线y=2(x-1)2-8的顶点坐标为(1,-8),对称轴为直线x=l；

故答案为(1,-8),直线x=l;

(2)当x>l时，y随x增大而增大.

4.如图所示，抛物线另=G(X+1)2的顶点为C,与y轴交点为A,过点A作y轴的垂线，交抛

物线于另一点B.

⑴求直线AC的解析式%=丘+。；

⑵求△ABC的面积；

(3)当自变量x满足什么条件时，有X>为?

【答案与解析】

⑴由％=G(x+l)2知抛物线顶点C(-l,0),令x=0,得>=百，

A(0«3.由待定系数法可求出。=,k=y/3,

y-,=\j3x+\[3.

⑵•：抛物线y=6(x+1)?的对称轴为x=-l,根据抛物线对称性知B(—2,百).

SMC=gx2xC=«3.

(3)根据图象知x>0或x<-l时，有必>必•

【总结升华】图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满

足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结

合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之

间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图

象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围.

二次函数y=a(x-hy+k(ar0)的图象与性质一巩固练习(提高)

【巩固练习】

一、选择题

1.不论m取任何实数，抛物线尸a(x+m)2+m(ar0)的顶点都()

A.在y=x直线上B.在直线y二一x上C.在x轴上D.在y轴上

2.二次函数y=(九一+2的最小值是().

A.-2B.2C.-1D.1

3.如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是().

k>nD.k>0,n<0

4.将抛物线｝，=(x-1)2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是().

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,7)

5.如图所示，抛物线的顶点坐标是P(l,3),则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是().

A.X>3B.X<3C.X>1D.x<\

6.若二次函数y=(工一加)2—1.当元41时，y随工的增大而减小，则机的取值范围是()

A.m=1B.tn>\C.m>1D.m<1

二、填空题

7.(2015•巴中模拟)抛物线y=x?+2x+7的开口向,对称轴是,顶点是.

8.(2016•温州模拟)已知二次函数y=l.(x-1)2+4,若y随x的增大而减小，则x的取值范围是.

9.如果把抛物线y=a(尤+份,向上平移一3个单位，再向右平移3个单位长度后得到抛物线

1,

y=—(x+2)2-3,则求。的值为;b的值为.

10.请写出一个二次函数，图象顶点为(-1,2),且不论X取何值，函数值y恒为正数.则此二次函数为

11.若二次函数y=3(x-l>+2中的x取值为2<x<5,则该函数的最大值为;最小值为

12.已知抛物线y=x?+x+b2经过点和(-ay,,则yi的值是.

三、解答题

2②行方(的图象.说出

13.(2016•东西湖区期中)请在同一坐标系中画出二次函数①y=yX；x-2)2

两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点.

14.已知二次函数y=-x?+2(m-1)x+2m-m?的图象关于y轴对称，其顶点为A,与x轴两交点为B、

C.

(1)求B、C两点的坐标.

(2)求AABC的面积.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE•的垂直平分

线交AB于M,交DC于N.

(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;

(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B;

【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a毛0)的顶点为(-m,m),所以顶点在直线y=-x上.

2.【答案】B;

【解析】当x=l时，二次函数y=(x-l)2+2有最小值为2.

3.【答案】B;

【解析】由两抛物线对称轴相同可知〃,且由图象知左>〃，k>0,n<0.

4.【答案】B;

【解析】抛物线y=(x-1)，3的顶点坐标为(1,3),

把点(1,3)向左平移1个单位得到点的坐标为(0,3),

所以平移后抛物线解析式为y=x，3,

所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).

故选:B.

5.【答案】C;

【解析】由顶点坐标P。，3)知抛物线的对称轴为直线x=l,因此当x>l时，y随x的增大而减小.

6.【答案】C;

【解析】画出草图进行分析得出结论.

二、填空题

7.【答案】上，x=-l,(-1,6).

【解析】：y=x2+2x+7,

而a=l>0,

开口方向向上，

•­,y=y=x2+2x+7=(x2+2x+l)+6=(x+1)2+6,

.,.对称轴是x=-l,顶点坐标是(-1,6).

8.【答案】x<l.

【解析】•.•二次函数的解析式产融-1)2+4的二次项系数是方，

二该二次函数的开口方向是向上；

又〔,该二次函数的图象的顶点坐标是(1,4),

该二次函数图象在［-81m］上是减函数，即y随x的增大而减小；

即：当x《l时，y随x的增大而减小.

9.【答案】a=-,b=5.

2，

【解析】抛物线y=。0+〃尸向上平移一3个单位得到y=a(x+〃)2_3,再向右平移3个单位长度

得到y=a(x+3/—3,即y=〃(％+力—3/—3与y=g(x+2)2—3相同，故。=；,

b=5.

10.【答案】y=(x+l)2+2等；

【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即。>0,所以y=(x+iy+2或y=2(x+l)2+2

等均可.

11.【答案】50;5.

【解析】由于函数y=3(工-1)2+2的顶点坐标为(1,2),。=3>0,

当%>1时，y随x的增大而增大，

当x=5时，函数在2<x<5范围内的最大值为50;

当x=2时，函数的最小值为y最小=3x(2—I)2+2=5.

3

12.【答案】

4

【解析】把(“,_!•)代入y=x?+x+b2得“2+a+〃+J.=o,(a++6=o,

442

5=0,a——,代入即可求得.

2

三、解答题

13.【答案与解析】

①向左平移两个单位得到②，

②的开口方向向上，对称轴是x=2,顶点坐标为(2,0).

14.【答案与解析】

解：由二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m?的图象关于y轴对称，得

m-1=0.

解得m=l.

函数解析式为y=-x2+l,

当y=0时，-x2+l=0.

解得X[=11,X2=l,

即B(-1,0),C(1,0);

(2)当x=0时，y=l,即A(0,1),

SAABC=-^X2X1=1.

15.【答案与解析】

(1)连接ME,设MN交BE交于P,

根据题意得MB=ME,MN1BE.

过N作NF1AB于F,在RtZ\MBP和RtZ\MNF中，ZMBP+ZBMN=90",

NFNM+/BMN=90°,NMBP=/MNF,又AB=FN,RtAEBA^RtAMNF,MF=AE=x.

在RtZ\AME中，由勾股定理得

ME2=AE2+AM2,

所以MB2=X2+AM2,即(2-AM)2=x2+AM2,AM=l--x2.

4

所以四边形ADNM的面积

AM+DNAM+AF,1,、1,

S=---------------xA4D=---------------X2=AM+AM+MF=2AM+AE=2(1--x2)+x=--x2+x+2.

2242

即所求关系式为S=--x?+x+2.

2

(2)S=-—x2+x+2=-—(x2-2x+l)+—(x-1)2+—.

22222

当AE=x=l时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是2.

二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象与性质一知识讲解(提高)

【学习目标】

1.会用描点法画二次函数y=o%2+8x+c(ax0)的图象；会用配方法将二次函数y=ax2+/zr+c-的解

析式写成y=a(x-〃)2+k的形式；

2.通过图象能熟练地掌握二次函数y=依2+fer+c的性质；

3.经历探索y=ax?+Z?x+c与y="(X—〃尸+上的图象及性质紧密联系的过程,能运用二次函数的图象

和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.

【要点梳理】

要点一、二次函数旷=ax2+bx+c(aw0)与y=a(x-无/+k(aw0)之间的相互关系

1.顶点式化成一般式

从函数解析式y=a(x-"-+上我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称

y=a(x-/z)2+4为顶点式，将顶点式y=a(x-/i)2+左去括号，合并同类项就可化成一般式

y-ai-\-bxv.

2.一般式化成顶点式

b丫4ac-b2

=aXH----+---------

2a)4a

4ac-b2

对照y=。(工一力)2+左，可知Zz=-----,k

2a4a

hb,(b4ac-b2\

：.抛物线y=or2+〃x+c的对称轴是直线x—,顶点坐标是----,

2a(la4。)

要点诠释:

hb(b4ac-/?*'

1.抛物线y=。氏2+〃x+c的对称轴是直线x=---,顶点坐标是-----,,可以当作公

2。2aI2a4〃

式加以记忆和运用.

2.求抛物线y+c的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这

三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

要点二、二次函数y=a/+bx+c(aHO)的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

其步骤为：

⑴先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.

(2)求抛物线^=如2+/?x+c与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C关于

对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C、M、D

三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,

然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

要点三、二次函数y+bx+c(a羊0)的图象与性质

1.二次函数y=ax2+bx+c(a。0)图象与性质

函数二次函数y=以2+〃x+c(a、b、C为常数，aHO)

图象a>0a<0

V

L

\/PV

开口方向向上向下

..