平面与平面垂直

关于平面与平面垂直第1页，课件共42页，创作于2023年2月1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

复习回顾两异面直线所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：(0o,90o]．[0o,90o]．第2页，课件共42页，创作于2023年2月空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.问题提出第3页，课件共42页，创作于2023年2月

两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪坝水平面为此引入二面角的概念，研究两个平面所成的角第4页，课件共42页，创作于2023年2月1．半平面的定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面探究新知第5页，课件共42页，创作于2023年2月2．二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

棱为l，两个面分别为、的二面角记为

-l-

，lQP或P-l-Q第6页，课件共42页，创作于2023年2月AB⑴平卧式：⑵直立式：ABllABl3．画二面角第7页，课件共42页，创作于2023年2月αβABl4.二面角的平面角O注意二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内第8页，课件共42页，创作于2023年2月AOlBA’B’O’二面角的大小用它的平面角来度量思考:∠AOB的大小与点O在上的位置有关吗?∠AOB？∠A1O1B1第9页，课件共42页，创作于2023年2月平面角是直角的二面角叫做直二面角.当二面角的两个面合成一个平面时，规定为180o,当二面角的两个面重合时，规定为0o.因此,二面角大小的范围为［0o,180o］二面角的取值范围第10页，课件共42页，创作于2023年2月

如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何确定二面角α-l-β的平面角？OBBlAlAO----“定义法”由定义知：过A作AO⊥

交于O，在面β内作OB⊥则∠ＡＯＢ为所求的角。二面角的平面角的作法：----“垂线法”过A作AB⊥β交于B

，再过A作AO⊥交于O,连结OB，则∠AOB为所求的角。第11页，课件共42页，创作于2023年2月

第三种画法:

点P在二面角的两个面外时,经过P点分别作两个面的垂线,这两条垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角垂面法二面角的平面角的作法：lAOBP第12页，课件共42页，创作于2023年2月寻找平面角D端点中点第13页，课件共42页，创作于2023年2月中点EGF第14页，课件共42页，创作于2023年2月

练习1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，找二面角A-VC-B的平面角。VABC第15页，课件共42页，创作于2023年2月

ABP

M

N

C

DO解：在AB上取不同于P

的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º

例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。∠COD是二面角的平面角一“作”二“证”三“计算”例题分析第16页，课件共42页，创作于2023年2月AOlD

例2、已知锐二面角－l－

，A为面内一点，A到的距离为，到

l的距离为4，求二面角

－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD∴AO=2，AD=4∵AO为

A到的距离，AD为

A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小为60°在Rt△AOD中，∵sin∠ADO=第17页，课件共42页，创作于2023年2月1、找到或作出二面角的平面角2、证明找到或作出的角就是二面角的平面角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”二面角的有关计算:步骤:第18页，课件共42页，创作于2023年2月

练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O解：连结BD，交AC于点O，连结B1O。∵BD1是正方体∴BB1⊥面BD∴BB1⊥AC又∵AC⊥BD∴AC⊥面BB1O∴∠BOB是二面角的平面角。⊿BB1O中OB=BB1.第19页，课件共42页，创作于2023年2月第20页，课件共42页，创作于2023年2月第21页，课件共42页，创作于2023年2月观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。第22页，课件共42页，创作于2023年2月

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.面面垂直的定义：(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb第23页，课件共42页，创作于2023年2月

建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第24页，课件共42页，创作于2023年2月如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：下面我们来验证这个定理第25页，课件共42页，创作于2023年2月证明：设α∩β=CD，则B∈CD，在平面β内过B点作BE⊥CD。∵AB⊥CD，AB⊥BE。∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角，∴二面角α—CD—β是直二面角，即α⊥β。αβABCDE已知：直线AB⊥平面β于B点，AB平面α，求证:α⊥β第26页，课件共42页，创作于2023年2月平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直

面面垂直线面垂直线线垂直符号:第27页，课件共42页，创作于2023年2月

例1如图,AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCABCPO

证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC平面PAC⊥平面PBC第28页，课件共42页，创作于2023年2月2.正方体ABCD-A1B1C1D1中求证:证明:ACBDA1C1B1D1第29页，课件共42页，创作于2023年2月第30页，课件共42页，创作于2023年2月第31页，课件共42页，创作于2023年2月第32页，课件共42页，创作于2023年2月第33页，课件共42页，创作于2023年2月第34页，课件共42页，创作于2023年2月第35页，课件共42页，创作于2023年2月第36页，课件共42页，创作于2023年2月第37页，课件共42页，创作于2023年2月第38页，课件共42页，创作于2023年2月第39页，课件共42页，创作于2023年2月如图所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．(1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.第40页，课件共42页，创作于2023年2月(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.连结A1C，设A1C∩AC1＝O，连结MO，由题意可知，A1O＝CO，A1M＝B1M，∴MO∥B1C，又MO⊂平面AC1M，

B1C⊄平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M.(2)∵A1C1＝B