2022-2023学年人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1.1变化率问题 课件（26张）

一元函数的导数及其应用情境引入17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等

导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？5.1.1变化率问题创设情境问题1高台跳水运动员的速度探究新知问题1高台跳水运动员的速度

在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.变化率问题请计算对应时间段的平均速度：概念生成请计算：追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?概念生成

要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.瞬时速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneousvelocity).

追问2

瞬时速度与平均速度有什么关系?

你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗?

变化率问题问题

运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.归纳总结

(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；求瞬时速度的步骤方法归纳新知应用思考(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?新知应用思考(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?解：因此运动员在某一时刻t0

的瞬时速度为探究新知问题2

抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？

探究：对于抛物线f(x)=x2，应该如何定义它在点P0(1,1)处的切线呢？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.xy121234O•PP0•xy121234O•PP0•

观察如图示，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T•

我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.新知探究探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？割线位置切线位置无限逼近割线斜率切线斜率无限逼近取极限记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0∆x<0∆x>0∆x∆x

通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.

割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为

思考观察问题1中的函数的图象，平均速度的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))例1求抛物线f(x)=x2+2x在点P