2022-2023学年人教A版（2019）选择性必修第二册 4.4数学归纳法 课件（35张）

4.4数学归纳法高二-—人教版数学—选择性必修第二册—第四章问题的提出

在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，通过定义an－an-1=d(n≥2)，逐一列举a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d，……

归纳得到其通项公式为an=a1+(n－1)d(n∈N*).

但当时并没有给出严格的数学证明.

那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都是成立的呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法.

数学归纳法问题探究

已知数列{an}满足，

，

计算a2，a3

，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.

计算可得a2=1,a3=1

,a4=1.再结合a1=1

,由此猜想：an=1(n∈N*).

如何证明这个猜想呢？

我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证.

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小的时候可以逐个验证，但当n比较大时验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.

因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法:

通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.

码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.

这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……

总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

经分析：可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？

经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下.这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1(n∈N*)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？

你可以类比多米诺骨牌游戏解决这个数学问题吗？

经分析：显然，如果能得到一个类似于“第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下”的递推关系式，那么猜想的正确性也就得到证明了.

思考：对于前面的猜想“数列的通项公式是an=1(n∈N*)”，这里的递推关系式是什么呢？分析：数列{an}满足a1=1

（条件1------第一块骨牌倒下），

（条件2------递推关系式）.根据以上两个条件，类似多米诺骨牌，我们能得到猜想的获得过程：由a1=1

，利用递推关系推出a2=1;

由a2=1

，利用递推关系由a3=1

，利用递推关系推出a3=1;推出a4=1;思考：归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？经分析，上述推导过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以成立为条件，推出

也成立.它相当于命题：

当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.只要能够证明这个命题，我们就可以在a1=1的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n，an=1成立.如果n=k时猜想成立，即ak=1,那么即n=k+1时，猜想也成立.类比多米诺骨牌，对于猜想“an=1

”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；…….

所以，对于任意正整数n，猜想都成立，

即数列{an}的通项公式是an=1

(n∈N*).一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

只要完成这两个步骤（缺一不可），就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，————这种证明方法称为数学归纳法．证明形式：记P(n)是一个关于正整数n的命题．条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真.原理：在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n=n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真.完成这两步，就有P(n0)为真，P(n0+1)为真，P(n0+2)为真，……，P(k)为真，P(k+1)为真，…….从而完成证明.例、

请用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a1+

(n－1)d(n∈N*)

问题：（1）利用数学归纳法证明这个命题，第一步应该做什么？为什么？

因为等差数列的通项公式涉及到全体正整数，

所以第一步应该证明n=1时命题成立.（2）利用数学归纳法证明这个命题，第二步需要完成什么？

第二步要明确证明的目标，

即要证明一个新命题：

如果n=k时，命题成立；那么n=k+1时，命题也正确.证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，

所以an=a1+(n－1)d对n=1成立；

（2）假设当n=k(k∈N*)时，ak=a1+(k－1)d成立，

根据等差数列的定义，有

ak+1－ak=d，

于是

即当n=k+1时，an=a1+(n-1)d也成立.由（1）（2）可知，an=a1+(n－1)d对任何n∈N*都成立.例1、如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a1+(n-1)d(n∈N*).例2、已知数列{an}满足

，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.例2、已知数列{an}满足

，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.例3、用数学归纳法证明：首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是

，前n项和公式是.证明:（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1q0=a1，等式成立.

（2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即.则当n=k+1时，所以，当n=k+1时，等式成立.由（1）（2）可知，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是下面证明：首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和公式是.证明：（1）当n=1时，左边=S1=a1，右边=a1，等式成立.

（2）假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即则当n=k+1时，所以，当n=k+1时，等式成立.由（1）（2）可知，首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和公式是数学归纳法证题的三个关键点：(1)归纳奠基是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值n0不一定是1，且若n>k(k为正整数)，则n0=k＋1

.

题1.证明“凸n边形对角线的条数

f(n)=”时，第一步应验证n=

是否成立.

题2.用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2=2n＋3－1”，验证n=1时，左边式子应为

.31＋2＋22＋23(2)归纳递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“n=k”到

“n=k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，明确由n=k到n=k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．题3.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，则当n=k＋1时应得到(

)A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=k2B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋1)2C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋2)2D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋3)2B(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k＋1时命题成立”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.A题4、反思与感悟用数学归纳法证明的两个关键：(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0=k＋1.(2)证明过程的第二步中，从n=k到n=k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳递推．4.4*

数学归纳法——答疑高二-—人教版数学—选择性必修第二册—第四章数学归纳法的框图表示注意：1.第一步归纳奠基是第二步归纳递推的基础，不可或缺. 2.第二步的归纳假设是归纳递推的根基，

不使用归纳假设，不是数学归纳法.课本P47---练习1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？这里的错误在于缺少了第一步的验证，因此归纳假设n=k时成立没有基础--------------缺少了归纳奠基（1）求证：当n∈N*时，n=n+1.

证明：假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即k=k+1.

则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边.

所以当n=k+1时，等式也成立.

由此得出，对任何n∈N*，等式n=