2022-2023学年人教A版（2019）选择性必修第二册 4.4数列：数学归纳法 课件（44张）

第四章数列4.4数学归纳法必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向素养目标·定方向课程目标学法指导★水平一1．借助教材实例了解数学归纳法的原理(数学抽象)．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(逻辑推理)．★水平二能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题(数学运算、逻辑推理).1．充分运用多米诺骨牌的影象或者实验体会数学归纳法的含义．2．通过一些实际案例，认真体会归纳奠基和归纳递推的内涵以及归纳法推理的结构化特征.必备知识·探新知一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝_____(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝_______时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．数学归纳法知识点n0

k＋1

知识解读：1．步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2．一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．3．第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1．关键能力·攻重难 (1)用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为

(

)A．1

B．2

C．3

D．4题型探究

题型一对数学归纳法的理解典例1C

(2)一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于

(

)A一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对[解析]

(1)根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的值应为3．(2)本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．B

C

(2020·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．题型二数学归纳法在数列中的应用典例2[规律方法]

用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤1．由已知条件求出数列的前几项．2．依据求出的前几项猜想数列的通项．3．用数学归纳法证明上面的猜想是正确的．【对点训练】❷(2021·甘肃武威高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的解析式，并用数学归纳法证明你的结论．

用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．[分析]

按照数学归纳法证题的步骤进行证明．题型三用数学归纳法证明等式典例3[解析]

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3．则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．[规律方法]

用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．[分析]

按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．题型四用数学归纳法证明不等式典例4[规律方法]

用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．

用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．易错警示

典例5未用归纳假设而致误[误区警示]

错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[正解]

(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．[点评]

在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2，3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．课堂检测·固双基1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 (

)A．1

B．1＋3C．1＋2＋3

D．1＋2＋3＋4[解析]

当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3．故应选C．C

B

[解析]

由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2，不是n＝k＋1，因为n是偶数，k＋1是奇数，故选B．3．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得

(

)A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D