静定结构在荷载作用下的位移

16.3静定结构在荷载作用下的位移16.3静定结构

在荷载作用下的位移16.3静定结构在荷载作用下的位移一、静定结构在荷载作用下的位移计算公式从前述可知,静定结构在荷载作用下会产生变形,使其上的各截面产生不同的位移。现以如图所示刚架为例来建立静定结构在荷载作用下的位移计算公式。设刚架由于荷载发生如图中虚线所示的变形,这是结构的实际位移状态。现要求该状态中结构上K点沿K-K方向的位移ΔK。16.3静定结构在荷载作用下的位移应用虚功原理（虚力原理），在所求位移点沿着所求位移的方向，作用一个单位虚拟荷载，即在K点沿K-K方向施加一个单位虚拟荷载

（在力的符号上面加一杠以表示虚拟），如图所示。在该单位虚拟荷载作用下，结构将产生虚拟反力（即固定端处的三个反力分量，在图中未画出）和虚拟内力、、（在内力的符号上面加一杠同样表示虚拟的内力），它们构成一个虚拟力系，这就是虚拟的力状态。16.3静定结构在荷载作用下的位移根据虚功原理，虚拟的力状态的外力

在实际的位移状态的虚位移ΔK上作外力虚功，其值为：

16.3静定结构在荷载作用下的位移在上面的受虚拟单位荷载作用的力状态中,取出一微段ds,如图所示,在该微段上有内力分别为、和。16.3静定结构在荷载作用下的位移同样,在上面的受实际荷载作用的实际状态中,同一位置上也取出同一微段ds,如图所示,该微段有实际状态的内力FN、FS及M作用。16.3静定结构在荷载作用下的位移如图所示,实际状态中的微段ds,在实际状态的内力FN、FS及M作用下，产生相应的变形。其中：16.3静定结构在荷载作用下的位移其中k称为剪应力不均匀系数，是与截面形状有关的因数。对于矩形截面，k

=1.2；对于圆形截面，k

=10/9；对于薄壁圆环形截面，k

=2；对于工字型截面，k

=A/A1

（A1为腹板面积）。

16.3静定结构在荷载作用下的位移于是微段中虚拟的力状态的内力、和，在实际的位移状态相应的虚变形（即上面的轴向变形、剪切变形与弯曲变形）上将作内力虚功16.3静定结构在荷载作用下的位移微段中虚拟状态内力，在实际状态相应的虚变形作的微内力虚功为：而结构的总内力虚功为：16.3静定结构在荷载作用下的位移根据虚功原理公式（16－4）T12=

W12

所以静定结构在荷载单独作用下，其位移计算公式为：式中：、、——在虚拟状态中由单位虚拟荷载作用引起的虚拟内力；FN、FS、M

——原结构在实际状态荷载作用引起的内力；EA、GA、EI

——杆件的抗拉压刚度、抗剪切刚度、抗弯曲刚度。16.3静定结构在荷载作用下的位移公式（16－5）不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移（例如角位移和相对线位移等），只是要求所设单位虚拟荷载必须与所求的位移相对应，具体可能的情况如下：（1）若计算的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力，如图所示。（2）若计算的位移是结构上某一截面的转角位移，则应在该截面上施加一个单位集中力偶，如图所示。16.3静定结构在荷载作用下的位移（3）若计算的是桁架中某一杆件的转角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数，如图所示。（4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对反向共线的单位集中力，如图所示。16.3静定结构在荷载作用下的位移（5）若计算的位移是结构上某两个截面的相对转角位移,则应在这两个截面上施加一对反向单位集中力偶,如图所示。（6）若计算的是桁架中某两杆的相对转角位移,则应在该两杆上施加两个方向相反的单位力偶,如图所示。16.3静定结构在荷载作用下的位移在这里还应注意，单位虚拟荷载的指向可以任意假设，因此按公式（16－5）计算出来的结果，既可能为正也可能为负。结果若为正，说明内力虚功为正，所以外力虚功也为正，因此实际位移的方向与虚单位荷载的方向相同；同理，结果若为负，则表示实际位移的方向与虚单位荷载的方向相反。16.3静定结构在荷载作用下的位移二、几种典型的静定结构在荷载作用下的位移计算公式分析公式（16－5）右边的三项，可以发现，它们依次分别表示轴向变形、剪切变形和弯曲变形对结构位移的影响。计算表明，对不同形式的结构，这三项的影响量是不同的。对一具体结构而言，某一项（或两项）的影响是显著的，其余项的影响则可以忽略不计。因此，在结构位移计算中，对不同形式的结构可分别采用不同的简化计算公式。16.3静定结构在荷载作用下的位移1．梁和刚架在一般情况下,对梁和刚架而言,弯曲变形是主要的变形,而轴向变形和剪切变形的影响量很小,可以忽略不计,因此公式（16－5）简化为2．桁架桁架中各杆只有轴向变形，而且每一杆件的轴力和截面面积沿杆长不变，于是公式（16－5）简化为16.3静定结构在荷载作用下的位移3.组合结构在组合结构中，梁式杆件主要承受弯矩，其变形主要是弯曲变形，在梁式杆中可只考虑弯曲变形对位移的影响；但是二力杆只承受轴力，只有轴向变形。于是其位移计算公式简化为16.3静定结构在荷载作用下的位移4.三铰拱：当不考虑曲率的影响时,拱结构的位移也可以近似的按式（16－6）来计算,而且,通常情况下,只需考虑弯曲变形的影响,所以按式（16－6）计算,其结果已足够精确。仅在计算扁平拱的水平位移或者拱轴线与合理轴线接近时,才考虑轴向变形的影响,即需要说明的是，在以上的位移计算中，都没有考虑杆件的曲率对变形的影响，这对直杆是正确的，对曲杆则是近似的。但是，在常用的结构中,例如拱结构、曲梁和有曲杆的刚架等，构件的曲率对变形的影响,相对都很小,因此可以略去不计。16.3静定结构在荷载作用下的位移★求静定结构在荷载作用下的位移的步骤：（一）梁与刚架（用积分法）1.将原荷载作用状态作为实际状态，针对所求位移补充建立虚拟状态（在所求位移点沿所求位移方向作用虚拟单位力），并求出两个状态的支反力；2.建立恰当的坐标系；3.分别求出两个状态的内力（弯矩）方程；4.代入公式计算。16.3静定结构在荷载作用下的位移★求静定结构在荷载作用下的位移的步骤：（二）桁架1.将原荷载作用状态作为实际状态，针对所求位移补充建立虚拟状态（在所求位移点沿所求位移方向作用虚拟单位力），并求出两个状态的支反力；2.分别求出两个状态下各杆的轴力；3.代入公式计算。16.3静定结构在荷载作用下的位移★求静定结构在荷载作用下的位移的步骤：（三）组合结构1.将原荷载作用状态作为实际状态，针对所求位移补充建立虚拟状态（在所求位移点沿所求位移方向作用虚拟单位力），并求出两个状态的支反力；2.求出两个状态下各二力杆的轴力；3.分别求出两个状态下梁式杆的内力（弯矩）方程；4.代入公式计算。16.3静定结构在荷载作用下的位移★求静定结构在荷载作用下的位移的步骤：（四）三铰拱※1.将原荷载作用状态作为实际状态，针对所求位移补充建立虚拟状态（在所求位移点沿所求位移方向作用虚拟单位力），并求出两个状态的支反力；2.建立恰当的坐标系；3.分别求出两个状态的内力（弯矩）方程；4.代入公式计算。16.3静定结构在荷载作用下的位移例16-1

求如图所示简支梁的中点C的竖向位移ΔCy。设梁的抗弯刚度EI为常数。解：（1）建立虚拟力状态。为求点C的竖向位移ΔCy，应在点C沿竖向虚加单位力，得到如图所示的虚拟力状态。（2）对实际状态与虚拟状态建立合理的坐标系。应注意两个状态的坐标系是对应的。16.3静定结构在荷载作用下的位移（3）分别求出在虚拟力状态和实际位移状态中梁的弯矩（方程）.当0≤x≤l/2时，有（4）应用公式计算位移。由于左右对称，可以利用对称性由公式（16－6）得（↓）

计算结果为正，说明ΔCy的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCy向下，在计算结果后面画（↓）表示。16.3静定结构在荷载作用下的位移例16-2

求图示刚架中C点的竖向位移ΔCy，并比较弯矩、轴力和剪力对位移的影响。设刚架各杆的截面均为相同的矩形。解：（1）针对所求位移，在C点施加竖向单位荷载，如图所示。16.3静定结构在荷载作用下的位移（2）在CB杆和AB杆上分别建立坐标系x，如图所示。在这样的坐标系下，各杆由于实际荷载和虚拟单位荷载的内力为：CB杆：BA杆：16.3静定结构在荷载作用下的位移（3）分别计算弯矩、轴力和剪力对所求位移的影响。弯矩的影响为轴力的影响为剪力的影响为（矩形截面，k=1.2)16.3静定结构在荷载作用下的位移将以上三项相加，得C点的竖向位移为

若设材料的泊桑比为=0.3，矩形截面的高和宽分别为h和b，从而即有E/G=2(l+)=2.6,I/A=h2/12。于是可得三种内力对位移的影响的比为：可见轴力和剪力的影响与截面高度对结构几何尺寸之比的平方成正比。如果h/l=l/10，则两者的影响分别只有弯矩影响的0.15％和0.12％。因此，对于由细长杆件组成的梁和刚架结构，计算位移时忽略轴力和剪力的影响是完全可以的。

16.3静定结构在荷载作用下的位移例16-3

如图所示桁架，已知各杆的弹性模量和横截面面积为：上弦杆，E=3.0×104MPa，A=360cm2；下弦杆，E=2.0×105MPa，A=7.6cm2；斜腹杆(GE、EH)，E=3.0×104MPa，A=270cm2；竖腹杆，E=2.0×105MPa，A=3.8cm2。求下弦中点E的竖向位移ΔEy。解：在E点施加竖向单位虚拟荷载，如图所示。16.3静定结构在荷载作用下的位移分别计算桁架在实际荷载和单位荷载作用下的内力，按公式(16－7)计算E点的竖向位移。为使计算条理化和避免出错，对于杆件较多的桁架，计算一般列表进行，如右表所示。表中的最后一行即为最后的计算结果，即：ΔEy

=3.78mm(↓)

16.3静定结构在荷载作用下的位移例16-4组合结构如图所示。其中CD、BD为二力杆，其拉压刚度为EA；AC为梁式杆，其弯曲刚度为EI。在D点有集中荷载F作用。求D点的竖向位移ΔDy。（1）建立虚拟力状态：为求点D的竖向位移ΔDy，应在点D沿竖向作用虚拟单位力得到如图所示的虚拟