同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章 重积分

------------------------------------高等数学教案§9重积分------------------------------------内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分第九章重积分教学目的：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：利用极坐标计算二重积分；利用球坐标计算三重积分；物理应用中的引力问题。§9.1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先,用一组曲线网把D分成n个小区域s1,s2,,sn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个si中任取一点(xi,hi),以f(xi,hi)为高而底为si的平顶柱体的体积为f(xi,hi)si(i=1,2,×××,n).这个平顶柱体体积之和可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值,将分割加密,只需取极限,即其中l是个小区域的直径中的最大值.2.平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为r(x,y),这里r(x,y)0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M.用一组曲线网把D分成n个小区域s1,s2,×××,sn.把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:r(xi,hi)si.各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:将分割加细,取极限,得到平面薄片的质量其中l是个小区域的直径中的最大值.定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域s1,s2,×××,sn.其中si表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个si上任取一点(xi,hi),作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即.f(xy)被积函数,f(xy)d被积表达式,d面积元素,xy积分变量,D积分区域,积分和.直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域si的边长为xi和yi,则si=xiyi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性:当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义:如果f(x,y)0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.二.二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则.性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域D1与D2,则.性质3(s为D的面积).性质4如果在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式.特殊地有.性质5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,则有.性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h)使得.§9.2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X--型区域:D:j1(x)yj2(x),axb.Y--型区域:D:y1(x)yy2(x),cyd.混合型区域:设f(x,y)0,D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.对于x0[a,b],曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为.即V=.可记为.类似地,如果区域D为Y--型区域:D:y1(x)yy2(x),cyd,则有.例1.计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.解:画出区域D.方法一.可把D看成是X--型区域:1x2,1yx.于是.注积分还可以写成解法2.也可把D看成是Y--型区域:1y2,yx2.于是.例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.解画出区域D,可把D看成是X--型区域:-1x1,xy1.于是.也可D看成是Y--型区域：-1y1,-1x<y.于是.例3计算,其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.解积分区域可以表示为D=D1+D2,其中;.于是.积分区域也可以表示为D:-1y2,y2xy+2.于是.讨论积分次序的选择.例4求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x2+y2=r2及x2+z2=r2.利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D={(x,y)|0y,0xr}为底,以顶的曲顶柱体.于是.二.利用极坐标计算二重积分有些二重积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量r、q表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.按二重积分的定义.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:,其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.在si内取点,设其直角坐标为(xi,hi),则有,.于是,即.若积分区域可表示为j1(q)rj2(q),aqb,则.讨论:如何确定积分限?..例5.计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系中,闭区域D可表示为0ra,0q2.于是.注此处积分也常写成利用计算广义积分:设D1={(x,y)|x2+y2£R2,x³0,y³0},D2={(x,y)|x2+y2£2R2,x³0,y³0},S={(x,y)|0£x£R,0£y£R}.显然D1ÌSÌD2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式.因为,又应用上面已得的结果有,,于是上面的不等式可写成.令R®+¥,上式两端趋于同一极限,从而.例6求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.解由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍.,其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域.在极坐标系中D可表示为0r2acosq,.于是.§9.3三重积分一、三重积分的概念定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数.将任意分成n个小闭区域v1,v2,×××,vn其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积.在每个vi上任取一点(xi,hi,i),作乘积f(xi,hi,i)vi(i=1,2,×××,n)并作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分,记作.即.三重积分中的有关术语:——积分号,f(x,y,z)——被积函数,f(x,y,z)dv——被积表达式,dv体积元素,x,y,z——积分变量,——积分区域.在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分,则vi=xiyizi,因此也把体积元素记为dv=dxdydz,三重积分记作.当函数f(x,y,z)在闭区域上连续时,极限是存在的,因此f(x,y,z)在上的三重积分是存在的,以后也总假定f(x,y,z)在闭区域上是连续的.三重积分的性质:与二重积分类似.比如;;,其中V为区域的体积.二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算:三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域可表为z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,则,即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是闭区域在xOy面上的投影区域.提示:设空间闭区域可表为z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,计算.基本思想:对于平面区域D:y1(x)yy2(x),axb内任意一点(x,y),将f(x,y,z)只看作z的函数,在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分,得到一个二元函数F(x,y),,然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分,这就完成了f(x,y,z)在空间闭区域上的三重积分.,则.即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是闭区域在xOy面上的投影区域.例1计算三重积分,其中为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解作图,区域可表示为:0z1-x-2y,,0x1.于是.讨论:其它类型区域呢?有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分.设空间闭区域={(x,y,z)|(x,y)Dz,c1zc2},其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域,则有.例2计算三重积分,其中是由椭球面所围成的空间闭区域.解空间区域可表为:,-czc.于是.练习1将三重积分化为三次积分其中(1)是由曲面z=1-x2-y2,z=0所围成的闭区域.(2)是双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域.(3)其中是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域.2将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式,其中由曲面z=1-x2-y2,z=0所围成的闭区域.2利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P(r,q),则这样的三个数、q、z就叫做点M的柱面坐标,这里规定r、q、z的变化范围为:0r<+,0q2,-<z<+.坐标面r=r0,q=q0,z=z0的意义:点M的直角坐标与柱面坐标的关系:xcosysinzz柱面坐标系中的体积元素:dv=rdrdqdz.简单来说,dxdy=rdrdq,dxdydz=dxdy×dz=rdrdqdz.柱面坐标系中的三重积分:.例3利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面z=x2+y2与平面z=4所围成的闭区域.解闭区域可表示为:r2z4,0r2,0q2.于是.3利用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点,则点M也可用这样三个有次序的数r、j、q来确定,其中r为原点O与点M间的距离,j为与z轴正向所夹的角,q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里P为点M在xOy面上的投影,这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标,这里r、j、q的变化范围为0r<+,0j<,0q2.坐标面r=r0,j=j0,q=q0的意义:点的直角坐标与球面坐标的关系:x=rsinjcosq,y=rsinjsinq,z=rcosj.球面坐标系中的体积元素:dv=r2sinjdrdjdq.球面坐标系中的三重积分:.例4求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积.解该立体所占区域可表示为:0r2acosj,0ja,0q2.于是所求立体的体积为.提示球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐标下此球面的方程为r22arcos即r2acos§9.4重积分的应用元素法的推广:有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分的应用中.如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说,当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域ds时,相应的部分量可近似地表示为f(x,y)ds的形式,其中(x,y)在ds内,则称f(x,y)ds为所求量U的元素,记为dU,以它为被积表达式,在闭区域D上积分:,这就是所求量的积分表达式.一、曲面的面积设曲面S由方程z=f(x,y)给出,D为曲面S在xOy面上的投影区域,函数f(x,y)在D上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y).现求曲面的面积A.在区域D内任取一点P(x,y),并在区域D内取一包含点P(x,y)的小闭区域ds,其面积也记为ds.在曲面S上点M(x,y,f(x,y))处做曲面S的切平面T,再做以小区域ds的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面.将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值,记为dA.又设切平面T的法向量与z轴所成的角为g,则,这就是曲面S的面积元素.于是曲面S的面积为,或.设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(fxfy1),所以提示dA与xOy面的夹角为(n^k)dAcos(n^k)dn×k|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1讨论:若曲面方程为x=g(y,z)或y=h(z,x),则曲面的面积如何求？,或.其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域,Dzx是曲面在zOx面上的投影区域.例1求半径为R的球的表面积.解上半球面方程为,x2y2R2因为z对x和对y的偏导数在D:x2+y2R2上无界,所以上半球面面积不能直接求出.因此先求在区域D1:x2+y2a2(aR)上的部分球面面积,然后取极限..于是上半球面面积为.整个球面面积为A=2A1=4R2.提示:,,.解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为而,,所以例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h36000km运行的角速度与地球自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)解取地心为坐标原点地心到通讯卫星中心的连线为z轴建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分的方程为x2y2R2sin2于是通讯卫星的覆盖面积为其中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域利用极坐标得由于代入上式得由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面二、质心设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点P(x,y)处的面密度为r(x,y),假定(x,y)在D上连续.现在要求该薄片的质心坐标.在闭区域D上任取一点P(x,y),及包含点P(x,y)的一直径很小的闭区域ds(其面积也记为ds),则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为,.设平面薄片的质心坐标为,平面薄片的质量为M,则有于是,.在闭区域D上任取包含点P(x,y)小的闭区域ds(其面积也记为ds),则平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为,.设平面薄片的质心坐标为,平面薄片的质量为M,则有于是,.提示:将P(x,y)点处的面积元素ds看成是包含点P的直径得小的闭区域.D上任取一点P(x,y),及包含的一直径很小的闭区域ds(其面积也记为ds),则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论:如果平面薄片是均匀的,即面密度是常数,则平面薄片的质心(称为形心)如何求？求平面图形的形心公式为,.例3求位于两圆=2sin和=4sin之间的均匀薄片的质心.解因为闭区域D对称于y轴,所以质心必位于y轴上,于是.因为,,所以.所求形心是.类似地占有空间闭区域、在点(xyz)处的密度为(xyz)(假宽(xyz)在上连续)的物体的质心坐标是其中例4求均匀半球体的质心.解取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上,又设球半径为a,则半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)|x2+y2+z2a2,z0}显然,质心在z轴上,故..故质心为.提示0ra,,0q2.,三、转动惯量设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点P(x,y)处的面密度为(x,y),假定r(x,y)在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量.在闭区域D上任取一点P(x,y),及包含点P(x,y)的一直径很小的闭区域ds(其面积也记为ds),则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为dIx=y2(x,y)ds,dIy=x2(x,y)ds.整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为,.例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量