知识讲解二项式定理理提高

知 识 讲 解 二 项 式 定 理 理 高RevisedbyBLUEontheafternoonofDecember12,2020.二项式定理,n,(ab)

C0anC1an1bCranrbrCnbn(nN*)，n n n n(ab)nTr

CranrbrTnCranrbr，n

r+1

r+1Crr=12…n）n(a+b)n特共n+1比次1；r+1Cr最大居；n次各次幂指na次n0；字母b次0n每ab和均n；两常①(ab)n

C0anC1anb ()rCranrbr ()nCnbn(nN*)n n n n②x)n

1C1xC2x2 Crxn n n

xn、TrTr1Cran-rbrr,,,n）n①它r+1该是Cr；n②字母b次和组合上相同；③ab次之和n诠释：1）(a+bnr+1Cranrbr和(b+annr+1Crbnrar是区别应时abn（2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是Tr1

(1)rCranrbr（只需把－ b看成 b代入二项式定理）。n要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所着的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。(ab)n展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,…时,如下表所示:(ab)1………1 1(ab)2……1 2 1(ab)3…………………1 3 3 1(ab)4………………1 4 6 4 1(ab)5……………1 5 10 10 5 1(ab)6…………1 6 15 20 15 6 1…… …… ……在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中anrbr的系数Cr的意义：为了得到n(a+b)n展开式中anrbr的系数，可以考虑在(ab)(ab) (ab)这n个括号中取 r个nb，则这种取法种数为Cr，即为anbr的系数．n(ab)nC0C1C2…Cnn n n n“CrCnrn n性：二项式系数在，在，在n.nC2n当n为数时，二项展开式中两项的二项式系数C

n12，n

n1C2n

等，且.各二项式系数和为2n，即C0C1C2C3C4 Cn2n；n n n n n n④二项展开式中各数项的二项式系数和等于各数项的二项式系数和，即Cn

Cn

Cn

Cn

Cn

Cn

2n1。要点诠释：二项式系数展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项Cranrbr的二项式系数是组合数Cr，展开式的系数是单n n项式Cranrbr的系数，二者不一定等。n(ab)n的二项展开式的通项是Tr1

(1)rCranrbr，在这里对应项的二项式系数n都是Cr，但项的系数是 (1)rCr，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．n n(abc)n展开式中apbqcr的系数求法（ p,q,r0的整数且 pqrn）10!如：(abc)10a3b2c5C3C2C5要点诠释：

10 7 5

3!2!5!三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四：二项式定理的应用求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 f(x)(axb)na axax2 axn令x=0，则a 0

0 1 2 nf(0)bn令x=1

aa a f(ab)n0 1 2 n)令=－1，则a aa a ()na f(0 1 2 3 n

(ab)na

a

f

f(-1)0 2 4 2aa

f

f(-1)1 3 5 2利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：32n

8n9能被64整除（nN*）证明有关的不等式问题：((n(nxn2近似计算：

1nx；②x)n1)nn

1nx

x22

x0）n次幂近似底最靠近它那加(减)的形式。当x小时，用式值：n(n①x)

1nx；②x)n

1nx

x2；21.0561.2x 3 5 2x212x 3 5 22x 3 5

x2(4x

3)5 2x2

32x1032x

120x

180135405 243 。x x4 8x7 32x10(a+b)n2 x 1 6x x 2213)55x212(2)6xx21T Cr(x3)5r( )r(2)rCrx155r1 5 x2 55552()2Cr055T

Cr22)6r(1)r()26Crx123r1 6 x 61304(1)4

2C6

60,,r111(x

x

x

x

.126126；1r1 9 9T Cr(x2)9r(x)r(1)rCrx18r1 9 9183r3∴r5，x3C

C

126，x3为(1)

C9

9 9126.2(3x

)154.x5455x2；51 15 5T C

(

x153(

)3(1)3C3x6 455x2。4 15

x 15x3（1）( 3间两项

3 x

x（2( 3

3 x

x 3 93rT Cr( )9r( )rCr32r9x 2 ，r1 9 3 x 93

r0r6为T

C

3

2268；x（2）( 3

23 )9x

7 910它间两分5、6TC

38

x912

42

C

310

915x2x

3785 9 x3 6 9x3x3例3．x

1 102 x

理． 1 rr+1Cr10

(x2)10r 2 x 2 x

xT

Cr

1 2 xx ( 2)10r 2 xx

Cr

x205r 1rr105

102 2

220 r2

Z0246820 r Z。210TC

x20

x20，1 10

212 45TC

x15

x15，3 10

2 414

105TC

x10

x10，5 10

2 816

105T C

x5 x5，7 10

2 3218 45TC8

x0 。9 10 2 256 1 10 45x2

91x 256 45 105

105 45x03

x1554

x1078 32

x59

．256x24x x 24x

n

n n(n1)11，，n n(n1)2× =1+

2 8n=8。2 81 163rr+1

r

c8

r

4 r4倍r=48。T1

x4,T5

358

x,T9

1 。256x2、 式之积及三式展开问题4．求

x)2

x)

x3的系数.】 将

x)

2xx2

x31x3为xx

x

x公式Tr1

Cranrbr化简解答。n1x)2

x)

2xx2

x)5，1x)

Tk

C5

(x)

(1)kCkxk（k0,1,2,3,4,5 ），5分三讨论：当前一个因式1x3

，即T (1)3C2x

10x3；4 5当前一个因式2x时，后面的应该x2，即T

(1)2C2x210x2；3 5x2x即T (11C1x15x；2 5x3的系数1021055。：1x)

Tr

C2

xr（r01,21x)

Tk

C5

(x)

(1)kCkxk,（k0,1,2,3,4,5 ），5令kr

,则k1r2

或k2r1

或k3，r0x3的系数C

C1C2C

5。举一反三：

5 2 5 51】求

x2

x)

x3的系数.

15；x)5

k

C5

(x)

()kCkxkk0,1,2,3,4,551x3T (1)3C2x

10x3；4 5x2xT C1x1

5x；2 5x3。21)5(1-)43 ．1)5-)41-2)4-2)4Cr(-2)，43C14．45(1+x+x2)8x5解成两积再用定理解析】x2)8x2]8以T Cr(xx2)r则x5由x2)rr1 8

r5

r4T'

Ckxrkx2

Ckxrk5解得

或 或k1 r rr3

k0

k1k。k 2x5C5C0C4C1C3C2

504。8 5 8 4 8 31xx2

1x)x2

C0x)8C1x)7x28 8C2x)6(x2)2C3x)5(x2)3 C7x)(x2)7C8(x2)8，8 8 8 8x5C0C5C1C3C2C18 8 8 7 8 6

504。x2)8x2x2x2)88x5来源有三：21x2611x共有C2C1种；8 611x2731xC1C1种；8 61x251xC58

x5C2C1C1C3C5504．8 8 8 7 811x1xx

32

.11xx

3 xx2=xx

1 6x x

求C362在(1+x+px2)10x4p值．由通T Cr(x2)rCr

xr

px)r，r1 10 10又r

Cmpx)m。rT CrCmpmxrm。r1 10 rm+r=0≤m≤r≤1。m∴

m

m2 。r

r

r2∴x4C4C

C

C1pC2C2p2

45p2

360p21045(p2

8p)210

45(p4)2

51010 4 10 3 10 2。=－4x4类型关性质及计算例6.1(1+2x7最大；2－2x7最大。思路点拨利通得到表达进而求其最大值。析1r+1最大则有 7! 7!

2 1即r即

r)!2

(r1

r12r

r 8r ， 7! 7! 1 2r7r)!2r(r17r1!2r1 7rr1r16 3 1 1r

4 r5 r=。13 3 33∴系数最大的项为T T C525x5672x5。6 51 7（2）8系数最大的项必为正项在第一、三、五、七这四项中取1－2x)7括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值故系数最大的项必在中间或偏右故只需要比较TT5 7

两项系数大小可，T5T

C4(2)4 7C6(2)6

C3 7C1

1，7 7 7TC4(2x)40x4。5 7TT

r r。TT举一反三：【变式】设(15

2)n10n.51 2 1 2

r r【答案】展开式的通项为T

Cr( x)nr(

Cr( )nr( )rxnr2r2为Crn5n

r1 n 5 5 29 28

n 5 5C9

C80

n5n29

n5n ，210nnC95nn

C10n 5n252

nN+∴n=13或n=14212an，2 求展开式中二项式系数最大的项。】 为C4C62C5

n! n! 2n! 。n n nn2－21n+98=n=147

4!(n4)! 6!(n6)! 5!(n5)!n=148TC7

1

(2a)7

3432a7。8 45

21T C3

(2a)3

35

a3

31C41

(2a)

70a4。4 7 2

2 5

2 47.(12x7=aax+ax2++ax70 1 2 71a+a++a2a+a+a+a3a+a+a+a4）1 2

1 3 5

0 2 4 6|a|+|a+|a|++|a|0 1| 2 7x=a+a+a+a+a+a+a+a=1 0 1 2 3 4 5 6 7x=1aa+aa+aa+a7=7 0 1 2 3 4 5 61aC01x=aaaa+a20= 7

0 1 2 3 72÷2aaa

137

10941 3 5 7 232a

a

137

0 2 4 6 247aaaaaaaa

0 2 4 6

1 3 5 7|a

aaaa

aaa0 1

7 0 2 4

1 3 5 7a0

1

2

|即)77|a0

1

|=37=21877的可可=1=1举一反三：变12x)7

a axax2 ax70 1 2 71aa

2aaaa

1 2 7

1 3 5 7

0 1 71

x1

2x)7

1为∴aaa

，0 1 2 7x0

a 1∴aa

112，0 1 2 72x1aaa

①0 1 2 7x1

aa aa aa

37 ②0 1 2 3 4 5 6 7

1372(aaaa)137

aaaa .1 3 5

1 3 5 7 23由展开式知a,a,a,a均为负a,a,a,a均为正，1 3 5 7 0 2 4 8∴由2中+2(a0

a a a)137，2 4 6∴a

a

137，0 2 4 6 2∴|a||a| |a

aa aa aa a0 1 7举一反三：

0 1 2 3 4 5 6 7【变式1】求值2nC1213C22232 ()nCn3n.n n n】2nC12n13C22n232 nCn

(2nnn n n式2设11213 1na axax2 axn，0 1 2 n当aaa a 254求n0 1 2 nx1

2(2na aa