初升高衔接教材

中学初高中数学衔接教材

目录

引入乘法公式

第一讲因式分解

1.1提取公因式

1.2.公式法(平方差，完全平方，立方和，立方差)

1.3分组分解法

1.4十字相乘法(重、难点)

1.5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a/))的因式分解.

第二讲函数与方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系(韦达定理)

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

2.2.2二次函数的三种表示方式

2.2.3二次函数的简单应用

第三讲三角形的“四心”

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a~-b~•,

(2)完全平方公式伍±。)2=/±2"+。2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)^a3+b3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三数和平方公式(a+/7+c)，—ci~+b~+c~+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式(a-bf-3a2b+3ab2-b3.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+1).

解法一：原式=，-1)[，+1)2_*2]

=(x2-l)(x4+x2+l)

=x6-1.

解法二：原式=(x+l)(%2-X4-1)(X-1)(X2+X+1)

=(x3+l)(x3-1)

=x6-l.

例2已知〃+/?+c=4,ab+hc+ac=4,求Q^+Z^+C?的值.

ft?：ci~+h~+c~=(〃+/?+c)~—2(ab+he+etc)—8.

练习

1.填空：

/、121,2/,1、/

(1)=弓8+^〃)();

(2)(4m+)2=16m2+4in+()；

(3)(4+2。-c)2=+4b2++().

2.选择题：

(1)若/+—mx+Z是一个完全平方式，则人等于()

2

(A)m2(B)—m~(C)—m2(D)—m2

4316

(2)不论a,b为何实数，2a—4b+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

第一讲因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,

另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

2

(1)x—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(df+b)xy+ahy2；(4)盯一l+x-y.

解：(1)如图1.1-1,将二次项f分解成图中的两个x的积，再将常数项

2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3羽就是

X2—3x+2中的一次项，所以，有

x2,—3x+2=(九一l)(x—2).

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1—1中的

两个x用1来表示(如图1.1—2所示).

(2)由图1.1-3,得

X2+4X-12=(X-2)(X+6).

(3)由图1.1-4,得

x2—(Q+Z?)xy+Q》y2=&一今)&一勿?)

(4)xy-1+x-y=孙+(1一丁)一]

=。-1)。，+1)(如图1.1—5所示).

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

(1)+5x-6—o

(2)-5x+6=o

(3)+5x+6=©

(4)-5x6=o

(5)x2-((2+l)x+a=°

(6)x2-1lx+18=o

(7)612+7x+2=o

(8)4m2-12m+9=°

(9)54-7x-6%2=o

(10)12x2+xy-6y2=°

2、x­_4x+=(x+3)(x+)

3、若x?+ax+b=(x+2)(x-4)则〃=,b=o

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1>在多项式(1)r+7x+6(2)x?+4x+3(3)x2+6x4-8(4)x*-4-7x4-10

(5)/+15X+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8M-33〃得()

A>(a+11)(〃一3)B(a+1lb)(a-3。)C、-1lb)(a-3b)D、

(a-1\b)(a+3b)

3、(〃+。)2+8[+。)一20分解因式得()

A、(q+/?+10)(q+Z?-2)B、(a+/?+5)(a+/?-4)

C、(o+。+2)(Q+。-10)D、(a+/?+4)(a+Z?—5)

4、若多项式——3X+Q可分解为(不小心一》)，则八方的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=-10,b=-2D、a=-10,

b=2

5、若/+nzx-10=(x+a)(x+b)其中a、6为整数，则机的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1>6(2p——1l(q—2P)+32、a~—5ci~b+6db~

3、2)2-4y-64、b4-2b2-8

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)/俗_5)+4(5-6)(2)xi+9+3x2+3x

解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)

(2)x3+9+3x2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(x+1)+2][(x+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3)

课堂练习：

一、填空题:

1、多项式6/y-2盯2+4xyz中各项的公因式是o

2、m(x-y)+〃(y-x)=(x-y)»。

3、m(x-y1+n(y-x)2=(x-y)'•。

4、m(x-y-z)+n(y+z-x)=(x-y-z)*»

5、/心-y-z)-x+y+z=(x-y-z)・»

6、-13ab2x6-39aib2xs分解因式得。

7.计算992+99=

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

1、2a2b-4ah2-1ab[a-b)............................................................................()

2、am+bm+m=m(a+b)...............................................................................()

3、-3x'+6x?—15x=-3x(x~+2x-5)..........................................................()

4、=/i(x+l).......................................................................................()

3：公式法

例3分解因式：（1）-G4+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

解：(1)—04+16=42—仅2)2=(4+q2)(4—a2)=(4+a2)(2+a)(2—a)

(2)(3x+2y)2-(x-/J=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

课堂练习

一、a2-2ab+b2,a2-b2,L—/的公因式是

二、判断题：（正确的打上“J”，错误的打上"义”）

1、0.01=(|x)—(0.1)2=旨+01)停x—0.1)..................(

)

2、9a2-8b2=(3a)2-(4Z>)2=(3a+4b)(3a-4b)........................()

3、25a2-16b=(5a+4b)(5a-4/7)...................................()

4、-x2—y2=-(x2-y2)=-(-v+y)(x->,)................................()

5、a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c).................................()

五、把下列各式分解

1、-9(m-/?)2+(m+«)22、3x2--

3

2

3、4—(x-4x+2)4、X4-2X2+1

4.分组分解法

例4(1)x2-xy+3y-3x(2)lx1+xy-y2-4x+5y-6.

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x?+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x4-y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+y-3).

课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x2-y2+a2-b2+2ax+2by

（2）/一4〃。+4。2—6〃+12。+9

5.关于x的二次三项式。/+加什以。/))的因式分角毕.

若关于X的方程。W+/?X+C=0(4工0)的两个实数根是玉、X29则二次三项式

ax2+加;+c(aw0)就可分解为a(x-尤I)(x-).

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令/+2x—1=0,则解得x=—l+JL4=-1一&，

X2+2X-1=[X-(-1+V2)][.X-(-1-V2)]

=(尤+1-扬(x+1+物.

(2)令/+4^—4)，2=0,贝IJ解得玉=(—2+2直)y,玉=(—2—2后)y,

/.x2+4xy-4y2=[x+2(l-V2)y][x+2(l+V2)^].

练习

1.选择题：

多项式2x2-盯-15y2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)?+6x+8；(2)81一户

(3)x2—2x—1；(4)4(冗一y+l)+y(y-2x).

习题1.2

1.分解因式：

(1)/+1；(2)4%4—13x^+9；

(3)/?2+c2+2ah+2ac+2bc；(4)3—+5孙一2y?+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)5x+3；(2)x"-2>/2x—3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.

3.AA8C三边。，b,c满足。2+Z?2+c"=Q》+bc+c。，试判定A4BC的形状.

4.分解因式：x2+x—(6Z2—«).

第二讲函数与方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

2

如求方程的根(DX2+2X-3=0(2)x+2x+1=0(3)尤2+2x+3=0}

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#)),用配方法可以将其变

形为

因为。邦，所以，4«2>0.于是

(1)当廿一4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不

相等的实数根______

-b±y/b2-4ac

=

修，2-----------2--a-------------；

(2)当4砒=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数

根

(3)当b2-4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+2y

2a

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程ax2+hx+c=0(〃#))的根的情况可以由h2—4ac

来判定，我们把从一4〃c叫做一元二次方程办2+^+c=0(ar0)的根的判别式,

通常用符号公'来表示.

综上所述，对于一元二次方程ax2+〃x+c=o(0#0),有

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b±y/b2-4ac

x\.2=-----------------------;

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根

b

X\=X2=~—；

2a

(3)当AVO时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实

数根，写出方程的实数根.

(1)?-3x+3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—ax+(a—1)=0；(4)x2—2x+a=0.

解：(1)•.•△=32—4x1x3=-3<0,.•.方程没有实数根.

(2)该方程的根的判别式△=a2-4xix(-i)=a2+4>0,所以方程一定有

两个不等的实数根

_a+V«2+4_a-yJa2+4

(3)由于该方程的根的判别式为

A=a2—4xlx(a—l)=a2—4a+4=(a—2)2,

所以，

①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根

X]=12=1；

②当时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根

—1,-1•

(3)由于该方程的根的判别式为

A=22—4x1x^—4—4a=4(1—a),

所以

①当△>(),即4(1一㈤>0,即时，方程有两个不相等的实数根

X]=1+>/1—a,々=1——a；

②当△=(),即4=1时，方程有两个相等的实数根

X\=尤2=1；

③当AV。，即。＞1时，方程没有实数根.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而

变化，于是，在解题过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类

讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题

中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程办2+法+‘=0(4知)有两个实数根

一/?+”2-4ac-b-\h2-4ac

X,=------------------，Xj=------------------，

12a22a

则有____________

一/7+J-2-4〃。-/7-V&2-4ac-2hh

%+工2=；+~二—一；

2a2a2aa

-b+y/h2-4ac-h-y/h2-4acb2-(h1-4〃c)4acc

2a2a4a24cTa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2+）x+c=0（存0）的两根分别是X1，X2,那么XI+*2=-2,Xr*2

a

=-.这一关系也被称为韦达定理.

a

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若为，应是其

两根，由韦达定理可知

羽+尤2=-P，工「工2=4，

即P=一（修+%2），q-X\'X2,

2

所以，方程/+px+q=O可化为x—（xi+xi）x+x\-%2=0,由于xi，x2是一

元-：次方程x2+px+q=0的两根，所以，X],X2也是一元二次方程f—（X]+》2）X

+x「X2=0.因此有

以两个数XI，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

X2—（Xi+x2）x+xrX2=0.

例2已知方程5/+履-6=0的一个根是2,求它的另一个根及人的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出女的值，再

由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，

即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之

积求出方程的另一个根，再由两根之和求出女的值.

解法一：是方程的一个根，

.,.5x22+jtx2-6=0,

：.k=~l.

所以，方程就为5x2—7x—6=0,解得a=2,x2——-.

所以，方程的另一个根为一々的值为-7.

解法二：设方程的另一个根为乃，则2内=一（，.•.xi=-g.

3k

由（一士）+2=—2,得k=T.

55

3

所以，方程的另一个根为一（，％的值为-7.

例3已知关于x的方程/+2（m-2）x+〃/+4=0有两个实数根，并且这

两个实数根的平方和比两个根的积大21,求加的值.

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到

关于〃？的方程，从而解得〃？的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的

方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.

解：设Xi，检是方程的两根，由韦达定理，得

X]+x2=—2（m-2）,x「X2=〃/+4.

VX|2+X22—XrX2=21,

（X1+%2）2—3尤1%2=21,

即[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21,

化简，得tn~—16m—17=0»

解得m=—\,或加=17.

当〃?二一1时，方程为7+6X+5=0,A>0,满足题意；

当〃?=17时，方程为d+30x+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，

舍去.

综上，加=17.

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对

应的〃?的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,

取满足条件的〃?的值即可.

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的

判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实

数根.

例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也

可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.

解法一：设这两个数分别是x,y,

则x+y=4,@

xy——12.②

由①，得y=4—x,

代入②，得

x（4-x）=-12,

即X2-4X-12=0,

••X\=1-2,X2=6.

,西=-2,或=6,

J=6,1%=-2.

因此，这两个数是一2和6.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

X2-4X-12=0

的两个根.

解这个方程，得

X]=2,%2=6・

所以，这两个数是一2和6.

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）

要比解法一简捷.

例5若xi和X2分别是一元二次方程2/+5x—3=0的两根.

（1）求|XL元2|的值;

（2）求的值；

再々

（3）XI3+%23-

解：和X2分别是一元二次方程2f+5x—3=0的两根，

・53

..x,+x2xxx2=--.

，|X\~X2\=—.

11(内+々)2-2邛2(—5)、2x(-2)彳+3:37

¥X2X^X2(王9(-2)229

33=2=2—

(3)Xi+%2(^I+^2)(X\2-X\X2+^2)(X1+%2)[(-^1+^2)3%I%2]

_z5、「/52o_215

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会

遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其••般规律：

设为和检分别是一元二次方程af+bx+cn。（。#0）,则

-b+yjb2-4ac-b-yjb2-4ac

X=------------，X）-------------------，

12a22a

...-h+Nb~-4〃c-h-J/?2-4〃c2J/?2—4ac

・・⑶—X2\=-------------------------------------------=----------------

2a2a2a

_\jb2-4ac_VA

aIIa|

于是有下面的结论：

若X1和X2分别是一元二次方程0X?+）x+c=O（咛0）,则|心一孙尸"^（其

\a\

中A=Z>2—4ac）.

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.

例6若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数

。的取值范围.

解：设的，也是方程的两根，则

X[X2~Cl—4<0,①

且△=（-1）2—43—4）>0.（2）

由①得a<4,

-17

由②得的取值范围是a<4.

练习

1.选择题：

（1）方程/一2限x+3F=0的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根

（2）若关于x的方程加f+（2〃z+1）龙+机=0有两个不相等的实数根，则实数的取值

范围是（）

(C)m<—,且用和(D)/?!>——,且团和

44

2.填空:

(1)若方程f—3x—1=0的两根分别是XI和X2,则J-+_L=.

玉x2

(2)方程加2m=0(〃[/))的根的情况是.

(3)以-3和1为根的一元二次方程是.

3.已知，/+8。+16+|5-1|=0,当n取何值时，方程依2+"+6=0有两个不相等的实

数根？

4.已知方程f—3x—1=0的两根为XI和X2，求(X]—3)(初一3)的值.

习题2.1

A组

1.选择题：

(1)已知关于x的方程履一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：

①方程/+2x—'7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程f—2x+7=()的两根之和为一2,两根之积为7；

7

③方程3/一7=0的两根之和为0,两根之积为-一：

3

④方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则«的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

填空:

(1)方程心^+氢一1=0的两根之和为一2,贝(IA=

(2)方程2_?一入一4=0的两根为a,。，则。2+伊=.

(3)已知关于x的方程f一以-3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是

(4)方程2/+2x—1=0的两根为用和尤2，则1制一闯=

3.试判定当机取何值时，关于x的一元二次方程/了2一(2机+1»+1=0有两个不相等的实

数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程f—7x-1=0各根的相反数.

B组

1.选择题：

若关于x的方程x2+(k2-\)x+k+\=0的两根互为相反数，则k的值为

()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若〃?，n是方程x+2005x—1=0的两个实数根，则m2n+mn2—mn的值等

于.

(2)如果a,b是方程x2+x-l=0的两个实数根，那么代数式a}+a2b+ab2+b3的值

是.

3.已知关于x的方程fcr—2=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为X1和龙2，如果2(X]+X2)>X|X2，求实数A的取值范围.

4.一元二次方程〃f+bx+c=O(〃加)的两根为即和应,求:

(1)|修一切|和外；々；

(2)X|3+%23-

5.关于尤的方程X2+4.T+〃?=0的两根为两，必满足|修一刈=2,求实数加的值.

C组

1.选择题：

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2f—8x+7=0的两根，则这个直

角三角形的斜边长等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若和应是方程2/-4尤+1=0的两个根，则工+上的值为()

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果关于x的方程W—2(1—•机)x+"/=0有两实数根a,p,则a+p的取值范围为

()

(A)a+花;(B)a+p<|

(C)a+p>l(D)a+p<l

(4)已知a,b,c是AABC的三边长,那么方程cf+g+bM+2nO的根的情况是

()

(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根

2.填空：

若方程d—8x+，〃=O的两根为为，x2＞且3制+2》2=18,则机=.

3.已知X,,X2是关于X的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.

3

(1)是否存在实数k,使(2x|一用)(2X2)=—5成立？若存在，求出k的值；若不存

在，说明理由;

(2)求使土+受一2的值为整数的实数上的整数值；

x2须

(3)若k=一2,几=土，试求4的值.

x2

m2

4.已知关于x的方程X2-(m一2)1--=0.

4

(1)求证：无论机取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

(2)若这个方程的两个实数根为，M满足助|=防|+2,求加的值及相应的片，

5.若关于x的方程f+x+a=O的一个大于1、零一根小于1,求实数〃的取值范围.

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=«x2+〃x+c的图象和性质

｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，

如作图(1)丁=/(2)y=_/(3)y=/+2x—3教师可采用计算机绘图软件辅助教

学｝

问题1函数y=a/与y=/的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2f,y=-x2,)，=-2x2的图象，通

2

过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与y=x的

图象之间所存在的关系.

先画出函数y=f,y=2f的图象.

先列表：

X.・•-3-2-10123

2

X・..9410149

2

2x.•・188202818

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应

的f的值扩大两倍就可以了.

再描点、连线，就分别得到了函数y=f,y=

2x2的图象（如图2—1所示），从图2—1我们可以

得到这两个函数图象之间的关系：函数y=27的图

象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来

的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数＞'

=y=-2f的图象，并研究这两个函数图象

与函数y=f的图象之间的关系.图2.2-1

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

2

二次函数y邦）的图象可以由j=X

的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在

二次函数邦）中，二次项系数a决定了

图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的

大小.

问题2函数y=a（x+/?）2+Z与y=ax2的图

象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象

之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可

以作出函数y=2（x+iy+l与y=2f的图象（如

图2—2所示），从函数的同学我们不难发现，

只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，

再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2（x

+1/+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.

2

类似地，还可以通过画函数y=-3f,y=-3（x-l）+l的图象，研究它们

图象之间的相互关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数尸於+4+4（分0）中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向；

h决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，h负右移”；k决定了二次

函数图象的上下平移，而且”正上移，左负下移”.

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c（。0）的图象的方

法：

由于y=ax2-\-bx-\-c=a(x1-{--x)+c=a(x2+—x+-^-)+c——

aa4a4a

2

/b、2b-4ac

=a7+

4a

所以，y=ax2+Ax+c（a/））的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平

移、上下平移得到的，于是，二次函数>=。7+法+。（4声0）具有下列性质：

b一h~

（1）当。>0时，函数以+。图象开口向上；顶点坐标为（-一—一）,

2a4a

对称轴为直线x=-=b:当XV-h3时，y随着x的增大而减小；当时h，），随着

2a2a2a

x的增大而增大；当工=-二b时，函数取最小值y=4u〃c——b°~.

2a4a

h_h~

（2）当«<0时,函数），="2+加+，图象开口向下;顶点坐标为（-一——）,

2a4a

对称轴为直线x=—=b;当xV-二b时，y随斗着x的增大而增大；当=时b，），随着“

2a2a2a

h4cic-b~

X的增大而减小；当*=-2时，函数取最大值y=C。.

2a4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2—3和图2.2—4直观地表示出来.因此，在

今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

例1求二次函数y=—3》2—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、

最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并

画出该函数的图象.

解：y——3,一6x+1=—3（x+1）2+4,

.•.函数图象的开口向下；

对称轴是直线％=-1；

顶点坐标为（-1,4）；

当x=-1时，函数y取最大值y=4；

当xV-l时，），随着x的增大而增大；当x>

一1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点以-1,4））,与x轴

交于点8（2牛3,0）和。（-当2,0）,与y轴的交

图2.2—5

点为0(0,1),过这五点画出图象(如图2—5所示).

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直

接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.

函数尸aV+W+c图象作图要领：

(1)确定开口方向：由二次项系数a决定

(2)确定对称轴：对称轴方程为

2a

(3)确定图象与x轴的交点情况，①若△>()则与x轴有两个交点，可

由方程/+，x+c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由

方程T+6x+c=0求出③①若△<()则与x轴有无交点。

(4)确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出尸c,所以交点坐标为(0,

c)

(5)由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图

(1)y—x~-x—6(2)y-x~+2x+1(3)y——+1

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产

品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：

x/元130150165

W件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润,

每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润=日销售量yx(销售价x—120),日销售量y又是销售

价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利

润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的

最大值.

解：由于y是x的一次函数，于是，设>=丘+(B)

将x=130,y=70；x=150,y=50代入方程，有

'70=130k+仇

[50=150k+仇

解得k=~\,8=200.

y——x+200.

设每天的利润为z(元)，则

z=(—x+200)(x—120)=-X2+320X—24000

=-(X-160)2+1600,

...当x=160时，z取最大值1600.

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.

例3把二次函数y^x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

函数的图像，求从c的值.

解法一：y=x2+W+c=(x+1)2+c-5,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4

个单位，得到y=(x+?+4)2+c-/+2的图像，也就是函数y=f的图像，所以，

24

---4=0,

2,

、2解得b=—8,c=14.

c--+2=0,

4

解法二：把二次函数y=f+以+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，

得到函数y=f的图像，等价于把二次函数y