纠错码环与域的基本概念演示文稿

纠错码环与域的基本概念演示文稿目前一页\总数一百一十七页\编于十二点（优选）纠错码环与域的基本概念目前二页\总数一百一十七页\编于十二点

例R1

全体整数构成环，用Z表示。例R2

全体偶数构成环。例R3

某一整数m的倍数全体构成环，如3的倍数全体…，-3，0，3，6，9，…，构成一个环。例R4

模整数m的全体剩余类构成环，称此环为剩余类环，用Zm表示。如模m=7所构成的全体剩余类：0，1，2，3，4，5，6

构成环Z7，且为可换环。例R5

实系数多项式全体构成环。例R6

n阶方阵全体构成环。目前三页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.3.1任何a，b∈R，有

(1)a0=0a=0；

(2)a(-b)=(-a)b=-ab。除了以上性质外，环中还有许多较特殊的性质。

(1)环中可以有零因子。设a、b∈R，且a≠0，b≠0，若ab=0∈R，则a、b为零因子，称有零因子的环为有零因子环。目前四页\总数一百一十七页\编于十二点

二、域除上面所讲的群、格和环以外，域在编码理论中起着关键作用。域是定义了两种代数运算的系统。定义2.3.2非空元素集合F，若在F中定义了加和乘两种运算，且满足下述公理：目前五页\总数一百一十七页\编于十二点(1)F关于加法构成阿贝尔群。其加法恒等元记为0。

(2)F中非零元素全体对乘法构成阿贝尔群。其乘法恒等元(单位元)记为1。

(3)加法和乘法间有如下分配律：a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca则称F是一个域。目前六页\总数一百一十七页\编于十二点

例F1有理数全体、实数全体、复数全体对加法、乘法都分别构成域，分别称有理数域、实数域和复数域。且这3个域中的元素个数有无限多个，所以称它们为无限域。例F20、1两个元素按模2加和模2乘构成域。该域中只有两个元素，记为GF(2)或F2。目前七页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.3.2设p为素数，则整数全体关于模p的剩余类：0

，1

，2

，…，p-1

，在模p运算下(模p相加和相乘)，构成p阶有限域Fp(GF(p))。目前八页\总数一百一十七页\编于十二点

证明由前面已知，模m整数(m不一定为素数)剩余类集合构成交换环Zm，现在只需证明当m=p为素数时，非0元素有逆元即可。1为单位元，因为p为素数，因此任何小于p的数a和p均互素。所以，由欧几里德算法可知：

(a，p)=1=Aa+Bp

在等式两边对p取模，则

1≡Aa(modp)

所以1

=Aa

也就是剩余类中任一元素a均有逆元a-1=A。目前九页\总数一百一十七页\编于十二点

例F3以p=3为模的剩余类全体：0

，1

，2

构成一个三阶有限域GF(3)，它们的模3加法和乘法运算表如下所示：目前十页\总数一百一十七页\编于十二点§2.4子群、正规子群和商群

一、子群定义2.4.1若群G的非空子集H对于G中定义的代数运算也构成群，则称H为群G的子群。例如，偶数全体构成的群是全体整数所构成加群的一个子群。每个群一定有两个子群，群自己和由一个恒等元所构成的群，称这两个子群为假子群或平凡子群。除这两个假子群以外，所有其它子群称为真子群。目前十一页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.4.1群G的非空子集H为G的子群的充要条件是：

(1)若a∈H，b∈H，则ab∈H；

(2)若a∈H，则a的逆元a-1∈H。证明若H为子群，则(1)、(2)自然成立。反之，由(1)可知，H关于G的代数运算封闭。由(2)知，H中的每一元素均有逆元。因为H是G的子集，所以G中的结合律在H中同样适用，又因a∈H，a-1∈H及aa-1=e∈H(由(1)条件)，H中有单位元，故H是一个群。目前十二页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.4.2H是G的子群的充要条件是：对任何a，b∈H，恒有ab-1∈H。证明若H是G的子群，则上述条件自然成立。反之，假定上述条件成立，现在要证H是G的子群。因为H为非空子集。所以必有a∈H，再令b=a，由假设条件可得aa-1∈H，而aa-1=e，所以e∈H，H中有单位元存在。目前十三页\总数一百一十七页\编于十二点

其次，由a∈H，e∈H，由条件可推出ea-1∈H，而ea-1=a-1，a-1∈H，故H中的每一元素a均有逆元a-1存在。最后，由a∈H，b∈H(从而b-1∈H)，再根据条件可知a(b-1)-1=ab∈H，所以在H中封闭性成立。由此可知，H满足群的公理，所以H是一子群。目前十四页\总数一百一十七页\编于十二点二、陪集若G中有子群H，则可用H把G划分成等价类，如下所示：设群G的元素是：g1，g2，g3，g4，…；子群H的元素是：h1，h2，h3，…；目前十五页\总数一百一十七页\编于十二点h1=eh2h3

…

子群

g1h1=g1g1h2g1h3

…

左陪集

g2h1=g2g2h2g2h3

…

左陪集…

…

…

…gnh1=gngnh2gnh3

…

左陪集

↑

陪集首

目前十六页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.4.2设H是群G的子群，g是G中的任一元素，将g左(右)乘H中的每一元素，便得到gh(hg)的元素集合，记gH(Hg)，称之为它的子群H在群G中的一个左(右)陪集，称e，g1，g2，…，gn为陪集首。目前十七页\总数一百一十七页\编于十二点

由定义可知，若g=e∈H，则eH=H。因此子群本身就是一个左(右)陪集。同样，若b∈gH，即b=gh(h∈H)，则bH=ghH=g(hH)=gH。这表明左(或右)陪集gH可由其中任一元素唯一确定。从上可知，陪集其实就是把G中的元素按子群H划分成等价类，在同一陪集中都含有一个共同的元素gi(陪集首)。目前十八页\总数一百一十七页\编于十二点

在阿贝尔群中，由于对任何g，h∈G，gh=hg，因此左陪集等于右陪集。例如，全体整数构成一个加群，以m为倍数的整数全体是其中的一个子群，所以可以按此子群把全体整数划分陪集。如m=5，则陪集表如下：目前十九页\总数一百一十七页\编于十二点子群

H:

0

5

-5

10

-10

…，

01+h：

1

6

-4

11

-9

…，

12+h：

2

7

-3

12

-8

…，

23+h：

3

8

-2

13

-7

…，

34+h：

4

9

-1

14

-6

…，

4目前二十页\总数一百一十七页\编于十二点

引理2.4.1群G的两个元素ga、gb属于子群H的同一陪集的充要条件是g-1agb∈H。证明若ga、gb属于H的同一陪集，则

ga=gihj

gb=gihk

j≠k

gi为该陪集的陪集首。由此

g-1agb=(gihj)-1gihk=h-1jg-1igihk=h-1jehk=h-1jhk∈H目前二十一页\总数一百一十七页\编于十二点

反之，若g-1agb∈H，现证ga、gb属于H的同一陪集中。

g-1agb∈H，所以g-1agb=h′∈H，两边同乘ga得gb=gah′。因此，若设ga=gihj，则gb=gihjh′=gihi，因为hi∈H，所以ga与gb都在以gi为陪集首的陪集中。目前二十二页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.4.3两个陪集要么相等要么不相交。证明若两个倍集g1H与g2H相交，则必定有公共的元素c，即H存在有元素h1、h2，使g1h1=g2h2=c，则g1h1h-11=g2h2h-11，h2h-1=h，g1=g2h。所以，

g-12g1=h∈H，由引理2.4.1可知，g2、g1必在同一陪集中，所以两个陪集完全相等。目前二十三页\总数一百一十七页\编于十二点

前面已谈到过，群中元素的个数可以是无限的，也可以是有限的。例如，所有整数全体所构成的加法群，其元素个数为无限的，是一无限群。若元素个数为有限的，则称为有限群，且称元素的个数为有限群的阶。同样，我们称子群中元素的个数为子群的阶。目前二十四页\总数一百一十七页\编于十二点

由上面的讨论可以得出如下结论：

(1)有限群G可以按子群H划分成有限个互不相交的陪集，且各陪集都具有相同的元素个数，即等于子群H的阶。

(2)在划分陪集的以下阵列(称Slepian阵)中，若仅有j个陪集：目前二十五页\总数一百一十七页\编于十二点H：

1h1h2

…hna2H:a2a2h1a2h2

…a2hn…

…

…

…

…aj-1H:aj-1aj-1h1aj-1h2

…aj-1hn

目前二十六页\总数一百一十七页\编于十二点

则G中的所有元素都在此阵列中，无一遗漏。若有一元素b∈G不在该阵列中，则我们可再作陪集bH，若它与上述某一陪集重合，则b含于该陪集中，否则便得到第j+1个陪集，而这与仅有j个倍集的假设相矛盾。因此，G中所有元素都在该阵列中。所以，若G的阶为N，H的阶为n，有j个陪集，则N=jn。由此得到以下的定理。目前二十七页\总数一百一十七页\编于十二点

格拉朗日(Lagranges

)定理有限群的子群的阶数，一定是整个群的阶数的因子。例如，模m=9的剩余类全体：0

，1

，…，8

，对模9加法运算构成一个群，而0

，3

，6

是它的一个子群，以此子群划分陪集：

H

：0

3

6

1+H：1

4

7

2+H：2

5

8

共有3个陪集。子群的阶为三，是群的阶(等于九)的因子。目前二十八页\总数一百一十七页\编于十二点

三、正规子群定义2.4.3设H是G的一个子群，若对每一个a∈G，恒有aH=Ha，则称H是G的一个正规子群或不变子群。该定义表明，群G的正规子群H是这样的一个子群：对每一个a∈G，都有aH=Ha。因此，阿贝尔群的每一个子群都是正规子群。定理2.4.4H是G的正规子群的充要条件是：对每一个a∈G，恒有a-1

ha∈H，h∈H。目前二十九页\总数一百一十七页\编于十二点

证明若H是G的正规子群，则由定义可知：

H=He=H(aa-1)=Ha(a-1)=aHa-1

立即得到

aha-1∈H

h∈H

反之，若a-1ha∈H，现证明H是正规子群。目前三十页\总数一百一十七页\编于十二点

因为对每一个h∈H，都有a-1

ha∈H，因此

a-1

Ha=H

两边左乘a，便得

aa-1

Ha=aH

所以

Ha=aH

例如，全体整数在加法下构成群，其中整数m的一切倍数所构成的一个子群M，就是正规子群。

目前三十一页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.4.5若H为群G的正规子群，则H的全体陪集必构成群。证明首先，定义陪集之间的乘法运算。设a=aH，b=bH是H的两个陪集，我们规定：以ab为代表的元的陪集ab=(ab)H定义为陪集aH与bH之积，即ab=ab

。为表明这一规定的合理性，我们必须证明，如此规定的陪集(ab)H并不因从陪集aH与bH中所选取代表元的不同而改变，即它仅与陪集aH与bH自身有关，而与所选的代表元是什么无关。目前三十二页\总数一百一十七页\编于十二点

事实上，若分别从aH和bH中另选两个代表元，设为a1和b1，则可令

a1=ah1

b1=bh2

h1h2∈Ha1b1=ah1bh2

由于H是正规子群，故bH=Hb，因而h1b∈Hb=bH，所以可将h1b写为

h1b=bh3

h3∈H目前三十三页\总数一百一十七页\编于十二点

因此

a1b1=a(h1b)h2=a(bh3)h2=(ab)(h3h2)=abh

式中，h=h3h2∈H。这表明a1b1∈abH，故

(a1b1)H=abH

目前三十四页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.4.4设H是群G的正规子群，于是把H的全体陪集所构成的群称为G关于H的商群，记为G／H。因此模m的剩余类群也可写成Z／M，可知模m的剩余类群与商群Z／M同构。目前三十五页\总数一百一十七页\编于十二点§2.5子格与划分

一、子格定义2.5.1若格Λ中的部分格点集合Λ′满足格的条件，则称Λ′为Λ的子格。由此可知，子格其实就是Λ中的子群。例如Z2是一个格，则RZ2就是其中的一个子格。它就是二维整数平面上格点范数为偶数的点的集合，如图2-3中的黑点·集合。

目前三十六页\总数一百一十七页\编于十二点图2–3Z2格和它的子格目前三十七页\总数一百一十七页\编于十二点

又如m是任一整数，则m的整数倍所组成的格mZ就是Z格的子格。它类似于整数加群中所有m的整数倍是整数加群的子群。因此子格mZ与模m的剩余类加群同构。可知2Z子格就是分量的范数为偶数的格点集合所组成，它与整数加群中的偶整数子群同构，也与模2剩余类加群同构。目前三十八页\总数一百一十七页\编于十二点

二、划分(分割)

一个格Λ的陪集用Λ+C表示，这里λ∈Λ，而C是一个n重(类似于陪集首)。可知Λ+C这一陪集其实就是在n维欧氏空间中，Λ平移一个C。与定理2.4.2相同，若两个格点的差在Λ中则两个格点处在同一陪集。目前三十九页\总数一百一十七页\编于十二点

在格Λ中，若以Λ的子格Λ′对Λ划分等价类，则称为按模Λ′对Λ进行划分(分割)，用Λ′+C表示。因此每一个格均包含一个划分，用Λ／Λ′表示。与群一样，Λ／Λ′也组成一个群。划分的阶数也就是Λ／Λ′中等价类的数目，用｜Λ／Λ′｜表示。例如｜Z2／RZ2｜=2，如图2-3所示。可知按Λ′划分的每一等价类，其实就是Λ′的一个陪集，从几何上讲就是Λ′的一种平移。目前四十页\总数一百一十七页\编于十二点

用［Λ／λ′］

表示Λ′划分Λ／Λ′的陪集表示。因此，格Λ中的每一格点λ可唯一地表示成λ=λ′+C，λ∈Λ′，C∈［Λ／Λ′］

是等价类的代表元，也就是陪集表示中的陪集首。所以，λ′=λ-C，与定理的意义相同。称

Λ=Λ′+［Λ／Λ′］(2.5.1)目前四十一页\总数一百一十七页\编于十二点

为格Λ的陪集分解。如Z2按RZ2的陪集分解，可表示为

Z2=RZ2+［RZ2(10)］

相应于图2-3中黑点与白点集合。在Zn格中，mZn是子格，它的陪集表示是

Zn=mZn+［Zn／mZn］(2.5.2)目前四十二页\总数一百一十七页\编于十二点

三、某些重要的格这里简单介绍一下在编码理论中起着重要作用的一些格。

(1)D4(Schlafli)格。D4格是四维整数格，它由四维整数空间中偶范数的格点组成。因此，它是Z4的一个子格，其陪集分解表示为

D4=RZ4+［RZ4+(1010)］

目前四十三页\总数一百一十七页\编于十二点(2)二进制格。二进制格是最有用的一类格，它与二进制分组码密切相关。定义2.5.2一个n维实数格Λ，对某一整数m，若有一个整数格2mZn作为子格，则称格Λ为二进制格，m称为格的2-层次。目前四十四页\总数一百一十七页\编于十二点E8

格是另一个非常重要的模2格，它是八维实数空间中的一个子格，其最小均方距离d2m(E8)=4，它与以后将讲到的距离为4的(8，4)RM码相对应。E8格也称Gosset格。里奇(Leech)格Λ24是一个很重要的二十四维模4格，它的d2m(Λ24)=8，它与以后讲到的扩张Golay码密切相关。有关格及格与编码的详细关系请参阅文［5］

。目前四十五页\总数一百一十七页\编于十二点§2.6线性空间和矩阵

一、线性空间

1.线性空间和子空间由一般的初等数学可知，平面上二维矢量的全体构成一个二维的矢量空间。空间中，三维矢量的全体构成三维矢量空间，现加以推广引入一般的线性空间概念。目前四十六页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.1如果域F上的n重元素集合V满足下述条件时：

(1)V关于加法构成阿贝尔群。

(2)对V中任何元素v和F中任何元素c，cv∈V。我们称V中元素v为矢量(向量)，F中元素c为纯量或标量，称乘c运算为数乘。目前四十七页\总数一百一十七页\编于十二点(3)分配律成立，对任何u，v∈V，c，d∈F恒有：

c(u+v)=cu+cv

(c+d)v=cv+dv

(4)若c，d∈F

，v∈V，有：

(cd)v=c(dv)1·v=v1∈F

则称V是域F上的一个n维线性空间或矢量空间，一般用VnF表示。目前四十八页\总数一百一十七页\编于十二点

例L1

实数域R上的n重数组全体：{(a1，a2，…，an)；ai∈R}组成一线性空间VnR。例L2GF(2)上的n重数组全体：{(a1，a2，…，an)；ai∈GF(2)}是一线性空间Vn2。目前四十九页\总数一百一十七页\编于十二点

例L3

系数取自实数域R上的次数小于n次的多项式全体：{(f0+f1x+…+fn-1xn-1)；fi∈R}也组成一个线性空间。上述例中的两个数组相加是对应的分量相加，数乘c是对每位分量乘以c，这将在后面更详细讲到。目前五十页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.2若子集V1∈V，且满足线性空间的条件，则称V1是V的一个子空间。例L4例L1中所有偶数分量(ai=2b∈R)所组成的线性空间就是实数n维数组线性空间中的一个子空间。例L5例L2

中的第i个分量ai=0的n重数组全体是它的一个子空间。例L6平面上的通过原点的任一条直线是平面上二维矢量空间中的一个子空间。目前五十一页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.3域F上的矢量v1，v2，…，vk的线性组合定义为

u=b1v1+b2v2+…bkvk

bi∈F

例如线性空间V：{(a1a2a3)；ai∈GF(3)}是一个三重数组。设v1是(012)，v2是(011)，v3是(002)，b1=2，b2=0，b3=1，则

u=2(012)+0(011)+1(002)=(021)+(000)+(002)=(020)目前五十二页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.6.1线性空间V中矢量v1，v2，…，vk的所有线性组合所构成的集合S是V的子空间。证明只要证明S中矢量加法和数乘封闭即可。令：

w=b1v1+b2v2+…+bkvk

bi∈F，vi∈Vu=c1v1+c2v2+…+ckvk

ck∈F

目前五十三页\总数一百一十七页\编于十二点是S中的任两个矢量，则

w+u=(b1+c1)v1+(b2+c2)v2+…+(bk+ck)vk

=d1v1+d2v2+…+dkvk(bi+ci)=di∈Faw=ab1v1+ab2v2+…+abkvk

=e1v1+e2v2+…+ekvkabi=ei∈F

仍在集合S中，因此S是一线性空间。目前五十四页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.4设v1，v2，…，vk是线性空间V中的一组非全零矢量，当且仅当存在有一组不全为零的纯量c1，c2，…，ck(ci∈F；i=1，2，…，k)使

c1v1+c2v2+…+ckvk=0

成立时，则称这组矢量线性相关。否则，称这组矢量线性无关(或称线性独立)。目前五十五页\总数一百一十七页\编于十二点

例L7判断GF(2)上的三重：(010)，(100)，(001)是否线性相关，关键是看能否找到3个不全为0的数c1，c2，c3∈GF(2)，使

c1(010)+c2(100)+c3(001)=(000)

成立。显然找不到，故这3个矢量线性独立。例L8GF(2)上的三重：(010)，(100)，(110)是否线性相关？

1(010)+1(100)+1(110)=(000)

所以这3个矢量线性相关。目前五十六页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.6.2线性空间中，非零矢量v1，v2，…，vk为线性相关的充要条件是：存在有一个矢量vk，它可以表示为其余矢量的线性组合。该定理的证明比较简单，读者可自行证明。下面介绍张成的概念。定义2.6.5线性空间V中的每一矢量，如果可以由其中的一组矢量集S′中的矢量线性组合生成，则我们说S′张成了矢量空间V。目前五十七页\总数一百一十七页\编于十二点

例L9GF(3)上二重数组：(00)，(10)，(01)，(20)，(21)，(11)，(12)，(22)，(02)组成一个矢量空间V。在其中挑选(11)，(20)两个矢量组成子集S′，显然，通过这两个矢量的线性组合，可以生成中的所有9个矢量。例如：

(21)=1(11)+2(20)=(11)+(10)=(21)

所以(21)、(01)这两个矢量的线性组合张成了线性空间V。目前五十八页\总数一百一十七页\编于十二点

又例如挑(21)、(01)矢量组成子集S′，显然，通过它们的线性组合也能生成V中的所有矢量。例如：

(21)=1(21)+0(01)=(21)(12)=2(21)+0(01)=(12)

因此，在V中可以存在有很多组的矢量子集，它们都能张成整个矢量空间。下面我们讨论这些都能张成同一空间的矢量组有什么特点。目前五十九页\总数一百一十七页\编于十二点

引理2.6.1如果k个矢量的集合v1，v2，…，vk张成了含有m个线性独立的矢量u1，u2，…，um的空间V，则k≥m。证明因为v1，v2，…，vk张成V，而u1，u2，…，um在V中，所以

u1=a1v1+a2v2+…+akvk

ai∈F目前六十页\总数一百一十七页\编于十二点

且总有一个ai≠0。设a1≠0，则

v1=a-11u1-a-11a2v2-…-a-11akvk

所以v1可用u1，v2，…，vk的线性组合表示。因此，V可以由u1，v2，v3，…，vk张成。由于u2∈V，所以u2也可以由u1，v2，…，vk的线性组合表示，即

u2=b1u1+b2v2+…+bkvk

bi∈F目前六十一页\总数一百一十七页\编于十二点

式中，至少有一个bi不为0，设b2≠0，则v2也可由u1，u2，v3，…，vk的线性组合表示，即

v2=b-12u2-b1b-12u1-…-b-12bkvk

所以，u1，u2，v3，…，vk可以张成整个线性空间。由于u1，u2，…，um是线性独立的，因此在

uj=c1u1+c2u2+…+cj-1uj-1+cjvj+…+ckvk

中，至少存在有一个不为0的系数cj，使上述用uj替换vj的过程一直能进行下去，直到全部vj用完为止，由于每一步只替换一个v，因此m≤k。目前六十二页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.6.3如果两组线性独立矢量集合张成同一空间，则在每一组集合中含有相同多的矢量数。证明设一个矢量集合中矢量数为m，另一个为k，则由引理知m≤k和k≥m，所以m=k。目前六十三页\总数一百一十七页\编于十二点

该定理说明张成同一空间的集合，含有相同的独立矢量的数目，在例L9中，(11)、(20)与(21)、(01)这两组矢量集都能张成GF(3)上的二重矢量组的全体，且这两组矢量集中的矢量均是线性独立，独立矢量数均是2。目前六十四页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.6在任何线性空间中，能张成该空间的线性独立矢量的集合称为该线性空间的基底。而称这组线性独立矢量的数目为该线性空间的维数。若基底中矢量的个数为有限，则称为有限维数线性空间，否则，称无限维数线性空间。在例L9中GF(3)上二重数组构成的线性空间维数为2，所以称为二维空间。它的基底是(11)，(20)或(21)，(01)等。下面定理给出了如何寻找矢量空间的基底。目前六十五页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.6.4如果V是k维线性空间，则V中任意k个线性独立的矢量是V的基底。证明用反证法。设v1，v2，…，vk是V中k个线性独立矢量，如果它们不能张成整个空间V，则V中必定还有一个矢量v，不能由v1，v2，…，vk的线性组合表示，所以v，v1，v2，…，vk共k+1个矢量是线性独立的，但这和V是k维线性空间的假设相矛盾。所以，v1，v2，…，vk必张成整个空间V。目前六十六页\总数一百一十七页\编于十二点

推论如果线性空间V1V2中，且二者有相同的维数，则V1=V2。证明V1的基底必含在V2中，且是V2中的k个线性独立的矢量(设V1和V2的维数为k)。所以，这k个线性独立的矢量不仅张成V1，也必张成V2。反之也一样，V2中的k个线性独立矢量也必张成V1，故V1=V2。目前六十七页\总数一百一十七页\编于十二点2.n维数组的内积(点积)和正交由前面知，域F上的n维数组是n重：(a1，a2，…，an)，ai∈F。若我们如下定义n维数组之间的相加和数乘运算：

+：a+b=(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)ai，bi∈F

数乘：ca=c(a1，a2，…，an)=(ca1，ca2，…，can)c∈F，ai∈F

则n维数组全体所构成的n维线性空间，它的自然基底是：

(10…0)，(010…0)，(0010…0)，…，(00…01)目前六十八页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.7两个n维数组a、b的内积(或点积)表示为

a·b=(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)=a1b1+a2b2+…+anbn

ai，bi∈F

它是一个纯量。如果两个矢量a、b的内积a·b=0，则a、b矢量互为正交。显然

a·b=b·a

a·(b+c)=a·b+a·c目前六十九页\总数一百一十七页\编于十二点3.线性结合代数定义2.6.8域F上的有限维线性空间A，若元素之间定义了乘法，且有如下性质：

(1)乘法封闭。对每一个a，b∈A，恒有ab∈A。

(2)乘法结合律成立。对每一个a，b，c∈A恒有

(ab)c=a(bc)。

(3)分配律成立。

①a(αb+βc)=α(ab)+β(ac)②(αb+βc)a=α(ba)+β(ca)α，β∈F,a，b，c∈A目前七十页\总数一百一十七页\编于十二点

则称A是一个线性结合代数。它的阶数定义为它作为线性空间时的维数。如果A关于乘法有逆元(0元除外)，则称A为可除代数。从上面定义看来，线性结合代数非常像一个环。目前七十一页\总数一百一十七页\编于十二点

二、矩阵从环R中选出m×n个元素aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，按一定次序排列成如下m行n列的方阵：称为环R上的一个m×n阶矩阵，用Am×n或［aij］m×n(有时以简写A或［aij］)表示之。目前七十二页\总数一百一十七页\编于十二点

在今后学习的纠错码论中，矩阵内的第i行第j列元素aij一般取自域上，今后我们仅讨论域上的矩阵。下面我们首先介绍矩阵的基本运算，然后介绍行空间与列空间的概念。矩阵中的行数m与列数n通常情况并不相等。如m=n，则称为方阵，n称为方阵的阶。目前七十三页\总数一百一十七页\编于十二点1.矩阵的转置、相等、相加和相乘m×n阶矩阵A的转置矩阵AT(或A′)表示为

AT=［aij］T=［aji］

它是把A矩阵的第一行变成AT矩阵的第一列，第二行变成第二列等等而得到的。若A为m×n阶矩阵，则AT为n×m阶矩阵。

目前七十四页\总数一百一十七页\编于十二点

两个m×n阶矩阵［aij］和［bij］相等，定义为它们对应位的元素相等，即

aij=bij

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n

两个m×n阶矩阵［aij］和［bij］相加，定义为它们对应位元素相加，即目前七十五页\总数一百一十七页\编于十二点目前七十六页\总数一百一十七页\编于十二点m×n阶矩阵［aij］和域元素c∈F相乘之积定义为m×n阶矩阵［aij］和n×k阶矩阵［bij］相乘定义为目前七十七页\总数一百一十七页\编于十二点式中是［aij］矩阵的第i行与［bij］矩阵的第j列的内积，因此要两个矩阵能相乘，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数必须相等，否则不能相乘。目前七十八页\总数一百一十七页\编于十二点例M1实数域上的两个矩阵相乘目前七十九页\总数一百一十七页\编于十二点

应注意的是，在相乘或相加运算中，矩阵中元素之间的运算必须按域的运算规则进行。若两个矩阵［aij］、［bij］为n×n阶矩阵，则可以交换相乘，但结果一般不相同，即

［aij］［bij］≠［bij］［aij］目前八十页\总数一百一十七页\编于十二点

例M2在GF(2)上的两个方阵相乘，例如而目前八十一页\总数一百一十七页\编于十二点显然也就是说，矩阵相乘不满足交换律。目前八十二页\总数一百一十七页\编于十二点

下面介绍分块矩阵概念。如果我们把矩阵的每一行(或每一列)看成一个

n(或m)维数组，或者行(列)矢量，则可把一个m×n阶矩阵［aij］表示如下：目前八十三页\总数一百一十七页\编于十二点或目前八十四页\总数一百一十七页\编于十二点

像这种表示方法称为分块矩阵的一种表示。因两个矩阵［aij］和［bjk］相乘也可表示成

根据矩阵相乘的规则，显然只有［aij］矩阵中行矢的维数等于［bjk］中列矢的维数时，相乘才有意义，否则不能相乘。目前八十五页\总数一百一十七页\编于十二点

矩阵不仅可以按列或按行进行分块，也可以按照需要，以几行几列分块。如目前八十六页\总数一百一十七页\编于十二点

可按阵中虚线所示划分成4块。在分块矩阵表示下，两个矩阵［aij］和［bjk］的相乘可写成

根据矩阵乘法规则，必须保证分块矩阵中每一块矩阵相乘有意义，即只有Aij

的列数等于Bjk

的行数时，这两个分块才能相乘。目前八十七页\总数一百一十七页\编于十二点2.矩阵的秩定义2.6.9m×n阶矩阵A的行(列)空间是以A的行(列)作为矢量所张成的空间，它是n(m)维矢量空间中的一个子空间。行(列)空间的维数叫做行(列)秩，它等于行(列)空间中的线性无关的最大行(列)数(即基底中的矢量数)。上面定义了矩阵的行(列)秩概念，而矩阵的秩定义为：矩阵中不等于零的子式(矩阵的子行列式)的最大阶数，或定义为行(列)秩。今后我们主要用后者的定义计算矩阵的秩。目前八十八页\总数一百一十七页\编于十二点例M3在GF(2)上的以下矩阵：由行矢：(10001)，(01010)，(10101)张成的行空间共有8个矢量：(10001)，(01010)，(10101)，(11011)，(00100)，(11111)，(01110)及(00000)。显然，这3个行矢是该行空间的一组基底，所以是五维空间的一个三维子空间。目前八十九页\总数一百一十七页\编于十二点

由列矢(101)，(010)，(001)，(010)，(101)，张成的列空间也有8个矢量：(101)，(010)，(001)，(110)，(111)，(100)，(011)，(000)。其中(101)，(010)，(001)是一组基底。故列秩为3。由此可知，矩阵的秩为3。目前九十页\总数一百一十七页\编于十二点3.初等行运算矩阵的初等行运算定义为：(1)交换矩阵任意两行(或两列)。例如把以下矩阵交换第一行与第二行，变为目前九十一页\总数一百一十七页\编于十二点这相当于用以下的m×m阶矩阵左乘A矩阵。目前九十二页\总数一百一十七页\编于十二点若称主对角线元素均为1，其余元素均为0的矩阵

为m×m阶单位方阵，则交换矩阵Am×n的第j和第i行，就是把Im×m矩阵交换第j行和第i行后左乘Am×n矩阵得到的。而交换矩阵Am×n的第j列和第k列，就是把In×n矩阵交换第j列和第k列后右乘Am×n得到的。目前九十三页\总数一百一十七页\编于十二点例M4交换以下矩阵的第二与第三行为目前九十四页\总数一百一十七页\编于十二点(2)以非0元素c∈F，乘以任一行。如矩阵Am×n

用c∈F乘以矩阵Am×n的第二行，则为目前九十五页\总数一百一十七页\编于十二点这相当于进行以下运算：目前九十六页\总数一百一十七页\编于十二点(3)任意第j行的c倍加至第k(≠j)行。这种运算，相当于把Im×m阶单位方阵的第j行的1换成c，与第k行相加后，左乘Am×n矩阵。例如：目前九十七页\总数一百一十七页\编于十二点

定义2.6.10完成初等行运算的矩阵称为初等矩阵。由此定义可知，初等行运算的逆也是同类型的初等行运算，得到的矩阵也是初等矩阵。例如：目前九十八页\总数一百一十七页\编于十二点就是(3)例中的逆运算，而就是(2)例中的逆运算，而这些例中的左乘Am×n矩阵的方阵，例如：等均称为初等矩阵。目前九十九页\总数一百一十七页\编于十二点

定理2.6.5如果一个矩阵可以由另一矩阵逐次施行初等运算得到，则该二矩阵有同样的行空间，称这两个矩阵为等价矩阵。目前一百页\总数一百一十七页\编于十二点

证明在(1)、(2)初等运算中定理显然成立。现检验(3)，设矩阵A3是A作第(3)种行运算得到的，它的行空间为V3，A的行空间为V。由于A3中改变了的行仅是A中相应行的线性组合，所以A3中行的线性组合就是A中行的线性组合，故V3V。但是A可由A3作逆变换得到，所以A的行空间V在A3的行空间V3内，

VV3，由此得到V3=V。目前一百零一页\总数一百一十七页\编于十二点

推论2.6.2初等行运算中，矩阵的秩不变。上面所述的3条初等行运算和定理，同样也适用于初等列运算。今后，初等行运算或初等列运算统称为矩阵的初等运算。目前一百零二页\总数一百一十七页\编于十二点4.梯形标准(典型)阵为了很快地得到矩阵的秩，可以通过初等运算把矩阵化成梯形标准阵或梯形典型阵。定义2.6.11如下形式的矩阵称为梯形标准阵：

1°非0行自左算起，第一个非0元素为1。

2°包含这一个首项的，列的其余元素均为0。

3°下一行的首项元素，在上一行首项元素的右边，所有0行均在非0行的下面。

目前一百零三页\总数一百一十七页\编于十二点例M5如下两个矩阵：都是梯形典型阵。显然，任一矩阵的梯形标准阵是唯一的，梯形标准阵的非0行均线性无关，所以梯形标准阵中非0行的数目，就是行空间的维数，也是矩阵的秩。目前一百零四页\总数一百一十七页\编于十二点例M6求GF(2)上矩阵的秩。把该矩阵进行初等行运算化成梯形典型阵目前一百零五页\总数一百一十七页\编于十二点第1行与第2行交换第2行加第3行为第3行第3行与第4行相加为第4行由此可知，该矩阵只有三行线性独立，故矩阵的秩是3。目前一百零六页\总数一百一十七页\编于十二点

推论2.6.3任何矩阵的秩等于其等价梯形标准阵中非0行的数目。

5.奇异与非奇异矩阵定义2.6.12n阶方阵的每行若为线性独立，则称该方阵为非奇异(或称满秩)矩阵；否则，称为奇异(非满秩)矩阵。目前一百零七页\总数一百一十七页\编于十二点

显然，n×n阶