2023年高考数学一轮复习课件：第七章 7-5基本不等式的综合应用

第七章§7.5基本不等式的综合应用例1

(1)(2022·成都模拟)已知直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝4相切，则log2a＋log2b的最大值为A.3 B.2C.－2 D.－3√题型一基本不等式与其他知识交汇的最值问题因为直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝4相切，因为a2＋b2≥2ab，所以log2a＋log2b的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sinB＋sinC＝2sinA，则√∵sinB＋sinC＝2sinA.∴b＋c＝2a.由余弦定理知当且仅当b＝c时取等号.又A∈(0，π)，教师备选√设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，∴2mn＝4a2－4c2＝4b2，思维升华基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件.√∵函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，又a>0，b>0.当且仅当2a＝b＝4时，等号成立.此时满足在x＝1处有极值.(2)已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则a9＋9a1的最大值为_____.－12∵a2a5a8＝－8，∴a5＝－2，∴a1<0，a9<0，a9＋9a1＝－(－a9－9a1)＝－12，当且仅当－a9＝－9a1时取等号.题型二求参数值或取值范围√A.6 B.8C.16 D.36A.(－∞，9] B.(－∞，16]C.(－∞，25] D.(－∞，36]√因为x，y属于正实数，所以m≤25.教师备选√(2022·沙坪坝模拟)已知函数f(x)＝2x3＋3x(x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围为∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－2x3－3x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，且f(x)在R上单调递增，则不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0等价于f(2m＋mt2)<－f(4t)＝f(－4t)，思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点.利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.跟踪训练2

(1)(2022·杭州模拟)已知k∈R，则“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√因为对任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，而对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab，所以－2≤k≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的充分不必要条件.(2)(2022·济宁质检)命题p：∃x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1＝0，当p是真命题时，则λ的取值范围是__________.[2，＋∞)依题意，方程x2－λx＋1＝0有正解，∴λ≥2.题型三基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0<x≤10，x∈N*)，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm2.72600设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，由题意可得3ab＝60000，所以该海报的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，所以整个矩形海报面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600＝30×400＋60600＝72600，所以当广告栏目的高为200cm，宽为100cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－

.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元.37.5即最大月利润为37.5万元.KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练√123456789101112因为x≠0，所以x2>0，13141516A.13 B.12C.9 D.6123456789101112√13141516123456789101112得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，131415163.(2022·北京人大附中模拟)数列{an}是等差数列

，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q>1，且a5＝b5，则A.a3＋a7>b4＋b6

B.a3＋a7≥b4＋b6C.a3＋a7<b4＋b6

D.a3＋a7＝b4＋b6√12345678910111213141516因为数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，所以a3＋a7＝2a5＝2b5，123456789101112所以a3＋a7≤b4＋b6，又因为公比q>1，所以a3＋a7<b4＋b6.13141516A.2 B.4C.6 D.8123456789101112√1314151612345678910111213141516123456789101112即正实数a的最小值为4.131415165.(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是A.第一种方案更划算

B.第二种方案更划算C.两种方案一样

D.无法确定√12345678910111213141516设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则方案一：两次加油平均价格为123456789101112方案二：两次加油平均价格为故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.131415166.已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是A.(－∞，－2] B.(－∞，－2)C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)√12345678910111213141516123456789101112∵綈p为假命题，∴p为真命题，即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解.由4x＋2x·m＋1＝0，∴m的取值范围为(－∞，－2].13141516123456789101112√13141516因为数列{an}满足a2＝9，an－1＋n＝an＋1(n≥2且n∈N*)，所以a1＋2＝a2＋1，解得a1＝8，所以an＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＋a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋812345678910111213141516123456789101112131415168.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为(单位：cm2)A.8 B.10C.16 D.20123456789101112√13141516123456789101112所以矩形ABCD的面积≤x2＋16－x2＝16，1314151612345678910111213141516123456789101112因为x>0，y>0，1314151610.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________.12345678910111213141516设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则a2＋b2＝25.123456789101112所以(a＋b)2≤50，13141516123456789101112913141516因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(－2a,0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，123456789101112当且仅当b2＝2a2时等号成立.1314151612345678910111212.(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m＝3－

.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_____万元.313141516设李明获得的利润为f(x)万元，则x≥0，123456789101112因为x≥0，即当x＝3时，等号成立.1314151613.(2022·柳州模拟)已知△ABC中，a2＋b2－c2＝ab≥c2，则△ABC一定是A.等边三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形123456789101112√技能提升练13141516123456789101112由a2＋b2－c2＝ab，又因为0°<C<180°，所以C＝60°，因为a2＋b2－c2≥2ab－c2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥2ab－c2，解得ab≤c2，又因为ab≥c2，13141516123456789101112所以ab＝c2，且a＝b时取等号，