2023年高考数学一轮复习课件：第九章 9-6直线与椭圆

第九章§9.6直线与椭圆考试要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ

0；直线与椭圆相切⇔Δ

0；直线与椭圆相离⇔Δ

0.>＝<2.弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，或|AB|＝_______________＝______________________，k为直线斜率且k≠0.常用结论(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4).(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝

.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.(

)√××√1.直线y＝x＋1与椭圆

＝1的位置关系是A.相交

B.相切C.相离

D.无法判断√消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交.方法二(优解)直线过点(0,1)，而0＋

<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.√由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，3.已知椭圆

＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为___________.所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，TANJIUHEXINTIXING探究核心题型题型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：

＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.将直线l的方程与椭圆C的方程联立，可知原方程组有两组不同的实数解.

这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.当Δ＝0，即m＝±3

时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(2)有且只有一个公共点.A.相交

B.相切C.相离

D.无法判断教师备选√思维升华判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.跟踪训练1已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点

.(1)求m的值；解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，由0<m<2，得2m<4，可知曲线C是以两定点F1(－m,0)，F2(m,0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，(2)若直线l：y＝kx＋

与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围.题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题(1)求椭圆C的方程；∴a2＝4b2.∴a2＝8，b2＝2.点A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∴Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.命题点2中点弦问题例3已知P(1,1)为椭圆

＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_____________.x＋2y－3＝0方法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，又∵x1＋x2＝2，即x＋2y－3＝0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①－②得∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，即x＋2y－3＝0.教师备选(1)求直线l的方程；由斜率公式可知kOP＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).代入椭圆方程得，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴直线l的方程为3x＋4y－7＝0.(2)求△OAB的面积.将直线方程与椭圆方程联立，可得21x2－42x＋1＝0，Δ＝422－4×21>0，思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路思维升华A.3x－2y－2＝0 B.3x＋2y－4＝0C.3x＋4y－5＝0 D.3x－4y－1＝0√设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，①②即3x＋2y－4＝0.(2)已知椭圆E：

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝______.由题意得c2＝a2－b2＝4－3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直，所以设A(－1，y1)，B(1，－y1)，又点A在椭圆E上，题型三直线与椭圆的综合问题解得a2＝4，b2＝1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为

(O为坐标原点)，求直线l的方程.由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，整理得(3t－1)(t－3)＝0，(2020·天津)已知椭圆

＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；教师备选由已知可得b＝3，记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，(2)已知点C满足

，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y＝kx－3.消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.跟踪训练3

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；由题意知，△F1B1B2为等边三角形，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练√123456789101112131415161.直线y＝x＋2与椭圆

＝1有两个公共点，则m的取值范围是A.(1，＋∞) B.(1,3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0,3)∪(3，＋∞)得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.1234567891011121314151612345678910111213141516√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.12345678910111213141516√12345678910111213141516得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516解得m＝±1，经检验满足题意.12345678910111213141516√12345678910111213141516直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516F1(－1,0)，F2(1,0)，直线AB的方程为y＝x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；12345678910111213141516对于D项，若直线方程为y＝x＋2，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，所以D项不正确.7.直线y

＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是________.将直线y＝x＋1代入椭圆x2＋2y2＝4中，得x2＋2(x＋1)2＝4，∴3x2＋4x－2＝0，123456789101112131415168.与椭圆

＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为____.1234567891011121314151612345678910111213141516因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍).1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求椭圆C的方程；12345678910111213141516而a2＝b2＋c2，所以a2＝3，b2＝2，(2)过椭圆的左焦点且斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|.1234567891011121314151612345678910111213141516由(1)知，左焦点为(－1,0)，直线l的方程为y＝2(x＋1)，设A(x，y)，B(x′，y′)，联立直线l与椭圆的方程，消去y整理得7x2＋12x＋3＝0，12345678910111213141516(1)求椭圆M的方程；12345678910111213141516则3a2＝4b2，12345678910111213141516(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程.12345678910111213141516设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.12345678910111213141516即3x＋4y－7＝0.A.120 B.130C.240 D.26012345678910111213141516技能提升练√由已知可得a＝8，b＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.12345678910111213141516由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，12345678910111213141516√由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516设过点P的直线斜率为k，则直线方程为y＋2＝k(x－2)，即y＝kx－2k－2，则反射后的切线方程为y＝－kx－2k－2，12345678910111213141516得(3＋4k2)x2＋16k(k＋1)x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k(k＋1)]2－4(3＋4k2)(16k2＋32k＋16－3a2)＝0，化简得4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，12345678910111213141516因为a2＝6，b2＝2，所以椭圆的右焦点坐标为(2,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝ty＋2(t≠0)(显然当直线斜率为0和不存在时，不可能最大)，与椭圆方程联立，消去x得，(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)>0恒成立，1234567891011121314151612345678910111213141516当且仅当t2＝3时等号成立，拓展冲刺练12345678910111213141516√由题意可设过Q(0，r)与椭圆τ相切的直线方程为y＝kx＋r，123456789101