2023年高考数学一轮复习课件：第九章 9-12圆锥曲线中的探索性与综合性问题

第九章§9.12圆锥曲线中的探索性与综合性问题(1)求双曲线C1的标准方程；题型一探索性问题(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.由已知，A(－1,0)，B(1,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，l过点F(2,0)与右支交于两点，则l斜率不为零，∵l与双曲线右支交于两点，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，(1)求椭圆C的方程；教师备选(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.假设满足条件的直线l存在，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，＝－96t2＋672>0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练1

(2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t，0)(t>0)的直线l与C交于A，B两点.(1)若t＝4，求AP长度的最小值；(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得

＝－4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，即有y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3，0)，N(x4,0)，所以Q的轨迹方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝4m2＋2t，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2.所以Q的轨迹方程化为x2－(4m2＋2t)x＋t2＋y2－4my－4t＝0.令y＝0，得x2－(4m2＋2t)x＋t2－4t＝0.所以上式方程的两根分别为x3，x4，则x3x4＝t2－4t.即有t2－4t＝－4，解得t＝2.(1)求椭圆C的方程；题型二圆锥曲线的综合问题(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围.设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，因为O为△BMN的重心，则|BO|＝2|OD|＝|OA|，即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍.当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处.由|OB|＝2，得|OD|＝1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为D为线段MN的中点，所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，(2022·开封模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足

＝(0，－2).(1)求抛物线C的方程；教师备选得4＝p2，又p>0，∴p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x.消去y得4x2＋(4m－4)x＋m2＝0，满足Δ＝(4m－4)2－16m2＝－32m＋16>0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x1＋x2＋2＝4，即3－m＝4，m＝－1.思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有

＝0.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；所以抛物线C1的方程为y2＝8x，(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.要使S1∶S2＝3∶13，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件.KESHIJINGLIAN课时精练(1)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2＝1；基础保分练12341234设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，即k1k2＝1.1234由直线PF1的方程为y＝k1(x＋2)，12341234因为k1k2＝1，(1)求双曲线C的方程；1234由题意可得a＝1，1234所以渐近线方程为bx±y＝0，设M(x0，y0)，因为M(x0，y0)在双曲线上，1234解得b2＝3，(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由.1234假设存在D(t，0)，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，则可得kPD＋kQD＝0，F(2,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，直线l：y＝k(x－2)，1234可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，即k(x1－2)(x2－t)＋k(x2－2)(x1－t)＝0恒成立，整理可得k[2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t]＝0，1234所以8k2＋6－4k2(t＋2)＋4t(k2－3)＝0，12343.(2022·承德模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为

设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p>0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A).(1)求曲线C1的方程；1234技能提升练设动点P(x，y)(x≠±2)，1234(2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由.1234设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，显然直线l存在斜率，设l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，1234得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，1234得x2＝2p(kx＋m)，即x2－2pkx－2pm＝0，∴x1x0＝－2pm，∴k>0，1234123412344.(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，P为直线y＝x－2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.当P在y轴上时，OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；1234拓展冲刺练P为直线y＝x－2上的动点，当P在y轴上时，则P(0，－2)，1234又因为点P在过点A的切线上，1234又因为OA⊥OB，所以直线OA的斜率为1，解得p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y.(2)求点O到直线AB距离的最大值.1234