2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题14 解三角形（教师版含解析）

专题14解三角形十年大数据全景展示年份题号考点考查内容理16正余弦定理及三角形面积公式20112012文15理17文17理17文10已知边角关系利用正余弦定理解三角形算求解能力．卷1卷1已知边角关系利用正余弦定理解三角形算求解能力．公式解平面图形已知边角关系利用正余弦定理解三角形二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．2013思想．已知边角关系利用正余弦定理解三角形卷2理17卷2卷1卷2卷1卷2卷1卷2文4理16理4已知边角关系利用正余弦定理解三角形公式等基础知识已知边角关系利用正余弦定理解三角形三角形的面积公式、余弦定理2014正余弦定理在实际测量问题中文16文17理16理17的应用余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力合思想2015利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及三角形面积问题已知边角关系利用正余弦定理解三角形算求解能力．卷1卷2卷1卷1卷2卷3卷3卷2卷1卷2卷3卷1卷2卷3卷1卷2文17文17理17文4利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及两角和的三角公式已知边角关系利用正余弦定理解三角形积公式，运算求解能力．余弦定理解三角形．已知边角关系利用正余弦定理理13理8解三角形定理解三角形．2016利用余弦定理解三角形．文9利用正弦定理解三角形．公式、利用正弦定理解三角形．文15理17理17理17文11文16文15理17已知边角关系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面积，运算求解能力已知边角关系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面积，运算求解能力已知边角关系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面积，运算求解能力与化归思想与运势求解能力．2017已知边角关系利用正余弦定理正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求解三角形利用正弦定理解三角形．利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及角，数学应用意识．2018理6文卷3理9文已知边角关系利用正余弦定理二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长．711解三角形已知边角关系利用正余弦定理解三角形解三角形、求三角形面积，运算求解能力关系，运算求解能力卷1卷1卷2文16已知边角关系利用正余弦定理解三角形定理求角及三角函数值，运算求解能力．已知边角关系利用正余弦定理理17理15解三角形定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．求解能力．已知边角关系利用正余弦定理解三角形2019卷318已知边角关系利用正余弦定理解三角形卷1文11文15利用正余弦定理解三角形．已知边角关系利用正余弦定理卷2卷1卷2解三角形解三角形解三角形解三角形解三角形解三角形求角，转化与化归思想．文18理17文17理7余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式正弦定理、余弦定理，基本不等式余弦定理，三角函数公式2020余弦定理及其推论卷3文11余弦定理推论，平方关系、商关系大数据分析预测高考出现频率2021年预测考点考点已知边角关系利20/36用正余弦定理解三角形2021年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题．考点利用正弦定理、17/36余弦定理解平面图形考点正余弦定理在实1/36际测量问题中的应用十年试题分类探求规律考点44已知边角关系利用正余弦定理解三角形(2019ABC的内角A，BC的对边分别为abcasinAbsinB4csinC，1bA()4cA．6．5．4D．3【答案】A222abc11basinAbsinB4csinC，Acbc6，2b2c2a214A2c4A．(20189文的内角ABC的对边分别为abc的面积为a2b2c2，4则C()A．．．D．2346【答案】C【解析】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．的面积为a2b2c2，41a2b2c2a2b2c2SABCC，CC，0C，C，C．2442(20164)的内角A、BC的对边分别为abca5c2A，3则b()A．2．3．2D．3【答案】D2ba5，c2，A，由余弦定理可得：A2c2a2b2452332b21bb30，解得：b3或(舍去)，故选D．2312．(2014新课标Ⅱ，理4)钝角三角形的面积是AB=12)5A．5．．2D．1【答案】．12112【解析】∵S|AB||BC|sinB，即：12sinB，∴sinB，222即B45或135．又∵||2||2||2||||B2∴|21或5，又∵为钝角三角形，∴|25，即：5，故选．A2A0，(2013已知锐角△的内角ABC的对边分别为abc，23cos2a=7，c6b=A10B9C．8D5【答案】D123cosA2A0及△是锐角三角形得A=，∵a，c6，∴2【解析】由5113b650，解得b5或b=(舍)，故选D．7262b22bb255．(2014江西)在中，内角ABC所对应的边分别为a,b,c,ab2sin2Bsin2A的值为()sin2A191372A．．C．1D．【答案】D2sin2Bsin2AsinB)sinAb7【解析】∵ab，∴=2(212()1=，故选D．2sin2Aa2．(2017山东)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c为锐角三角形，且满足sinB2cosC)2sinACAsinC，则下列等式成立的是A．abB．baC．A2BD．B2A【解析】AsinB2cosC)2sinACAsinCB2sinBCACB，即2sinBCAC，所以2sinBAbaA．的内角A，B，Csin2Asin(ABC)=sin(CAB)．(2014重庆)1，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的2是A．bcbc)8ab(ab)1626D．C．．【解析】A1【解析】因为ABCsin2Asin(ABC)sin(CAB)21得sin2Asin2BsinC，212即sin[(AB)(ABsin[(AB)(ABsinC，1整理得sinAsinBsinC，8111又SabsinCbcsinAacsinB，22211S3a2b2c2sinAsinBsinCa22bc2，由1≤S≤28641得1≤a2b22c≤23，64即8≤≤2，因此选项、D不一定成立．又bca0，bcbc)bca≥8bcbc)8，选项A一定成立．又abc0，ab(ab)8，显然不能得出ab(ab)162，选项B不一定成立．综上所述，选A．．(2014江西)在a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若c2(a)26，C的面积是()3932332A3．．D．33【解析】C【解析】由c2(a)26a2b2c22ab6①，由余弦定理及C可得a2b2cab2可得31332②．所以由①②得6，所以Sabsin．23．(2013辽宁)在，内角,B,C所对的边长分别为a,b,caBC1csinBcosAbabB=2．B．．．6336【解析】A112【解析】边换角后约去Bsin(AC)，所以sinBB非最大角，所以B．26(2013陕西)设△的内角，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCcBasinA，则的形状为(A．锐角三角形)．直角三角形．钝角三角形D．不确定【解析】B【解析】∵bcosCcBasinA，∴由正弦定理得sinBCsinCBsin2A，∴sin(BC)2A，∴sinAsinA，∴sinA1，∴△是直角三角形．2asinABbA2．辽宁)△的三个内角BC所对的边分别为abc，baaA．23．22．3D．2【答案】D【解析】由正弦定理，得2ABB2A2AsinB(sin2A2)2sinA，bsinBsinAB2A，∴2．a(2019•新课标Ⅱ，理15)的内角A，B，C的对边分别为a，b，cb6，a2c，B，3则ABC的面积为【答案】63．b2a2c2acBb6a2cB36(2c)2c24c2c，2331SABCacsinBc2sinB63．2(201816)的内角ABC的对边分别为abcbsinCcsinB4asinBsinC，b2ca8ABC的面积为22．233【答案】【解析】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinCcsinB4asinBsinC，利用正弦定文可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，由于0B，0C，b2ca221sinBsinC0，所以sinAA或b2c2a28，则：A，266388331233当A，解得，所以SABCbcsinA．622238833当A，解得(不合题意)，舍去．62bc23故SABC．3(2017新课标卷216)的内角ABC的对边分别为a2bcosB=acosC+ccosA【答案】3【解析】由正弦定理可得1π32sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosBB245．(2016•新课标Ⅱ，理的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，cosC，513a1b．21【答案】1345162532512A，cosCsinA12A1，sinC12C1，513516913sinBsin(AC)sinAcosCAsinC3541263，由正弦定理可得basinBsinA513513656365312113．517．(2014新课标Ⅰ，理已知a,b,c分别为的三个内角,B,C的对边，a，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC面积的最大值为．3【答案】【解析】由a2且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，即(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由及正弦定理得：(ab)(ab)(cb)ccab2221∴b2c2a2bcA，∴A600，∴b2c42214b2cbcbcSbcsinA3．22中，角,B,C所对应的边分别为a,b,c．已知bC．(2014广东)在acBb．b【解析】2【解析】由bcosCcBbBCCB2sinB，a即sin(BC)2sinB，A2sinB，∴ab2．b,B,C所对边的长分别为a,b,cbca．(2013安徽)设的内角3sinA5sinB,C_____．2【解析】3a2b2c22ab1223【解析】3sinA5sinB3ab,bc2acosCC，所以．，23．(2012安徽)设的内角,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是．c2C②若abcC33a3b3c3C(ab)c2abC22(a2b2c2ab2C3【解析】①②③a2b2c2ab21【解析】①c2cosCC223a2b2c2a2b2)ab)21②abccosCC2823Cc2a2b2c3a2cb2ca3b3与a3b3c32abc1(ab)c2abC2abc1(a2b2c2a22bC．31．(2012北京)在ABC中，若abc7,cosBb=．4【解析】41【解析】根据余弦定理可得b24(7b)222(7b)()，解得=4．4．(2020全国Ⅰ文18)的内角A,B,C的对边分别为a,b,cB．若ac,b27的面积；2若sinA+3sinC=C．2【答案】(1)3(2)．a,cca,c【思路导引】(1)已知角B和b即可得出结论；(2)将A30C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三CC角函数值，结合的范围，即可求解．【解析】由余弦定理可得b2ac2，2c21ca2(2)AC30，SacsinB3．的面积21232A3CC)3CCCC)，220C3030C3060，CC．25．(2020全国Ⅱ文17)△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2AA．4求A；3若bca，证明：△ABC是直角三角形．3【答案】A；(2)证明见解析．3254【思路导引】根据诱导公式和同角三角函数平方关系，2AA可化为5312AA，即可解出；根据余弦定理可得bc22a代入可找到bcabc243a,b,c关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．25455【解析】∵2AA2AA，即12AA，441A0A，∴A．23b2c2a21∵AAbcabc222323b2c23bc2b2c20bcbc，又bca②，将②代入①得，3∴acb2ac，即△22是直角三角形．．(2020全国Ⅱ理17)sin求A；2AsinBsinCsinBsinC．22若3周长的最大值．【答案】(2)323．3【思路导引】利用正弦定理角化边，配凑出A的形式，进而求得；A2ACAB9，利用基本不等式可求得的最大值，进而得利用余弦定理可得到ACAB到结果．22212【解析】由正弦定理可得：222AAB，，2AA，．3由余弦定理得：BC2AC2AB22ACABAAC2AB2ACAB9，2ACAB9．即ACABACAB2ACAB(当且仅当时取等号)，2ACAB239ACAB2ACABACAB2ACAB，224解得：23(当且仅当时取等号)，L323，周长的最大值为323．(202016)在A，B，C的对边分别为a，b，ca3，c2，B．求C的值；4在边上取一点D，使得，求的值．5【答案】见解析a2c2b211b22【解析】由余弦定理，得B45，2622cb255b25，即b5，由正弦定理，得，因此C．sinCsinBsinC252435∵，∴sinADC12ADC，5255C)，∴C1C2∵ADC(,)，2225∴sinDACDAC)sin(ADCC)CC5sin112DAC(0,)，∴12．．2．(202016)在ABC中，角,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a22,bc(Ⅰ)C的大小；求sinA的值；4sin2A(Ⅲ)求的值．22【答案】(Ⅰ)C=(Ⅱ)sinA(Ⅲ)sin2A．44【思路导引】(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案；(Ⅲ)先计算出sin,cos,进一步求出sin2,cos2A，再利用两角和的正弦公式计算即可．【解析】(Ⅰ)在ABC中，由a22,bc及余弦定理得a2b2c2822252C，22又因为C(0,)，所以C=．42222在ABCC=，a22,csinAasinC；24c132313(Ⅲ)由acA为锐角，由sinA，可得A12A，13125sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1，1313sin(2A)2A2A25217226．44422．浙江18)在锐角△中，角A，C的对边分别为abcbsinAa．(I)求角；(II)cosA+cosB+cosC的取值范围．313B,【答案】(I)(II)322【思路导引】(I)首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；(II)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得ABC的取值范围．3【解析】(I)由bAa结合正弦定理可得：2sinBsinA3sinsinB，△为锐角2B三角形，故．3(II)结合(1)的结论有：13ABCAA21621313112sinAAAsinAsinAcosA．2222220A3332AAsinA,1由可得：，，2623630A2313,，即ABC312313,的取值范围是sinA．2222．(202017)在①3，②csinA3，③cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA3sinB，πC，？6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出ab的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可．【解析】选择条件①的解析：a3，不妨设am,bmm0由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm2据此可得：mmm23，m1，此时cm1．a3，不妨设am,bmm0选择条件②的解析：由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm22c2a2m2m2m212122b3据此可得：A，则：sinA1，此时：2m223cAm3，则：cm23．2a3，不妨设am,bmm0选择条件③的解析：由sinA=3sinB可得：，b3cm2．c2a2b2Cm2m22mmm2cm1b矛盾，则问题中的三角形不存在．据此可得，cb，与条件cbm29．(2019•新课标Ⅰ，理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设BC)求A；2ABC．2若2ab2csinC．【解析】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设BC)则sinBsinC2sinBsinCsin由正弦定理得：bca，22ABC．222AsinBsinC，222b2c2a21A，20A，A．32abc，A，3由正弦定理得2sinAsinB2sinC，6sin(C)2sinC232sin(C)，C，C，626446sinCsin()sinsin232162．46464622224AC(文的内角A、B、C的对边分别为a，b，casinbsinA．2求B；若ABC为锐角三角形，且c1面积的取值范围．ACBB【解析】asinbsinA，即为asinacosbsinA，222BBBsinAsinBsinA2sinsinA，222sinA0，BBBcos2sincos，222B若0，可得B(2k，kZ不成立，2B1sin，22由0B，可得B；3若ABC为锐角三角形，且c1，由余弦定理可得ba212aa2a1，3由三角形为锐角三角形，可得a2a2a11且1a2a1a，21a2，21338，3)．Sasina(2342a2(2017新课标卷17)△sinBsinCABC的内角，，的对边分别为，，abc△的面积为3sinA．求；若6BC1，a3△的周长．a21SSbcsinA【解析】(1)∵△ABCA2a21bcsinA∴3sinA23a2bcsin2A∴23sin2AsinBsinCsinA2∵由正弦定理得2，23sinBsinC由A0得．21sinBsinCBC36由(1)得，ABCπ∵12BCsinBsinCBcosCAπBC∴A0π，又∵31sinAAA，∴2，2由余弦定理得a2b2c92①aabsinBcsinCsinAsinA由正弦定理得，a2sinBsinC82A∴sin②①②得bc33∴abc333△ABC周长为333B(2017新课标卷2的内角C所对的边分别为a,b,csin(AC)2sin2，2求B；若ac6，的面积为2b．ABC得sinB8sin2【解析】由题设及2sinB4-cosB）17cos215上式两边平方，整理得1（舍去），=1715由cosB814sinBSABCcsinBac=得171721717又S=2，则ac2由余弦定理及ac6得ac2acB（a+c）2b2222362)24b=2(2017新课标卷317)的内角B的对边分别为abcsinA3A0，a27，b2．求c；设D为BC边上一点，且△ABD的面积．π32sinA0，【解析】由sinA3cosA0得πZπkAπ，即A∴A3π2ππA．331bcA．又∵a27,bA代入并整理得c12c4．由余弦定理a2b2c22∵27,4，a2b2c2277由余弦定理C．2∵为直角三角形，则CCD7．CD223．由勾股2π32π3ππ6又A，21π△ABD3．2634．(2016新课标卷1，理的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcos).(I)求C；33(II)若c7,的面积为的周长．2【解析】(I)由正弦定理及2cosC(acosB+bcos).2cosCABB)C得，，1即2cosCAB)C2CCC0CC0C，2C．3(II)由余弦定理得：c2a2babcosC217a2b22ab7213332SabsinC24∴6∴ab1827ab5∴△周长为abc57．(2015新课标Ⅰ，文17)a,b,c分别是,B,C的对边，sin(I)若abcosB;2B2sinAsinC．(II)若B90a2,求的面积．1【答案】(I)(II)14【解析】(I)由题设及正弦定理可得b=2ac．2又a=b，可得b=c，a=c，+c-b2a22214由余弦定理可得B==．(II)(1)知b=2ac．2B=°，由勾股定理得a2+c2=b2．故a2+c2=2acc=a=2．D的面积为．．(2013新课标Ⅱ，理17)A，，C的对边分别为a，b，c，已知a=bCcB．Ⅰ)求；Ⅱ)若b=2，求△面积的最大值．【解析】Ⅰ)由已知及正弦定理得ABCCB又A(BC)，∴BCBC=BCCB，即BCCB，∵C(0,)∴C0，∴BB，∵B(0,)B．412Ⅱ)△的面积acsinB=，24由已知及余弦定理得4a2c2ac24∵a2c22ac，4故，当且仅当ac时，取等号，22∴△面积的最大值为21．37．(2012新课标，理17)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，aCaCbc0．()求A；()若a=2，的面积为3bc，．【解析】()由aCaCbc0及正弦定理得AC3ACBC0，BAC，所以3ACACC01C0，所以sin(A)，62又0AA．31()的面积S=bcsinA=3=4，2a2b2c2bcA故cb2=8，解得bc=2．2而(201217)abc分别为三个内角ABC的对边，caCcA()求A；．()若a=2，的面积为3b，c．【解析】()由caCcA及正弦定理得3ACACC12C0，所以sin(A，)6又0AA．31()的面积S=bcsinA=3=4，2a2b2c2bcA故cb2=8，解得bc=2．2而．(2014陕西)的内角C所对的边分别为ac．(I)若ac成等差数列，证明：AC2sinAC；(II)若ac成等比数列，求B的最小值．【解析】ac成等差数列，acb由正弦定理得AC2sinBsinB(ACsin(AC)AC2sinACac成等比数列，b22aca2c2b2a2c2ac12由余弦定理得B222a2c22当且仅当ac时等号成立)1当且仅当ac时等号成立)a2c22a2c21当且仅当ac时等号成立)1112222112即B，所以B的最小值为2．(201915)在△中，角B，C的对边分别为，bc．2若a=3cb=2，cos=c的值；3AB若sin(B)的值．ab2a2c2b22c)2c2(2)21【解析】由余弦定理cosBc．22ac32cc33c．3sinAB，ababBsinB，所以B2sinB．由正弦定理sinAsinBbb45BcosB2B(2sinB)2cos2B41cos22．25B0，所以B2sinB0，从而B．5π2255BB．(2019天津理在△,B,C所对的边分别为a,b,cbcacBaC．Ⅰ)求B的值；Ⅱ)求sin2B的值．6bc【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由csinB4asinC，sinBsinC423得bsinC4asinCb4a．又因为bc2a，得到baca，．34aa2a22a2c2b21499由余弦定理可得B．222aa3154sinB1cos2BⅡ)由()，15878，2B2Bsin2Bsin2B2sinBcosB，故sin2Bsin2B2Bsin15π6ππ371357．668282．(2018天津)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bAaB)．6(1)B的大小；(2)设a2，c3b和sin(2AB)的值．ab【解析】在中，由正弦定理，可得bAaB，sinAsinBππbsinAacos(B)asinBacos(B)，66π6即sinBcos(BB3)，可得．又因为B(0，π)，可得B．3在中，由余弦定理及a2，c3，B，3有b2a2c22accosB7b7．π32由bsinAacos(B)，可得sinA．因为acA．6771437sin2A2sinAA，2A22A1．7431133314所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB．7272．(2016年山东)在△中，角A，，C的对边分别为，bc，已知ABAB).BAⅠ)证明：abc；Ⅱ)求C的最小值．AB【解析】Ⅰ)由AB)BACBBB2CBC，由正弦定理，得a+b=c．AB得2，a2b2c2(ab)22c2Ⅱ)由C22c2c23121…11．ab2)222(21cosC的最小值为．2cosAcosBsinC．(2016年四川)在△中，角A，，C所对的边分别是ab，．abc(I)证明：ABC；6(II)若b2c2a2bcB．5abc【解析】(I)证明：由正弦定理sinAsinBsinCABsinC1原式可以化解为sinAsinBsinC∵A和B为三角形内角，∴sinAsinB则，两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosAsinAcosBsinAsinB0BAABABCC由和角公式可知，原式得证．6b2c2a23(II)b2c2a2bc，根据余弦定理可知，A55A0,sinA0∵A为三角形内角，，2A334则sinA155sinA4ABsinCB1141(I)．sinAsinBsinC∴tanB4．sinBB．(2015湖南)设的内角,B,C的对边分别为a,b,c，abAB为钝角．证明：BA；2求AC的取值范围．sinAbsinBAaB【解析】由a=bA及正弦定理，得，B=AsinB=sin(+)．2，)B=又B为钝角，因此+A(+AB-A=；2222由(1)C=-(A+B)=-(2A+)=-2A>0，22A，4sinAsinCsinAsin(2)=A2A=2sin2AsinA12192(sinA)，2=48221<2sinA≤．42990<A<，所以0<A<，因此42288298由此可知AC的取值范围是(，]．2．(2012安徽)的内角,B,C所对边的长分别为a,b,c，且有2sinBAACAC．()A的大小；()若b2，c1，D为的中点，求AD的长．【解析】Ⅰ)ACB,,B(0,)sin(AC)sinB02sinBAsinAcosCAsinCsin(AC)sinB1AA23a2b2c2bcAa3b2a2c2B(II)2(3)7在RtADAB2BD2122．22．山东)在△a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长．已知A2cosC2ca．BbsinC(I)求的值；sinA1(II)若B，b2，的面积S．4abc【解析】(I)由正弦定理，设k,sinAsinBsinC2ca2ksinCksinA2sinCsinA则,bksinBsinBA2cosCB2sinCsinA.sinB即A2cosC)sinB(2sinCsin)B，化简可得sin(AB)2sin(BC又ABC，sinCC2sinA，因此2.sinAsinC(II)由2得c.sinA11由余弦定理b2a2c22acB及B,b得4=a24a24a.244a=1．因此=2．14又因为B,且0B.sinB.411154154SacsinB12.22．安徽)在a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，=2，12cos(BC)0，求边上的高．【解析】由12cos(BC)BCA1312AA,A.22bA2再由正弦定理，得B.a22由ba知B,所以B,B,B1B.22231由上述结果知CAB)(22231上的高为h，则有hbC.2考点45利用正弦定理、余弦定理解平面图形2．(2020全国Ⅲ文11)在C,4,3B()3A．5B．25．45D．85【答案】Cc【思路导引】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求B，最后根据同角三角函数关系求.2,,b，c2a2b22abC9162349c3，【解析】设3a2c2b211459BsinB1()2tanB45．2ac992．(2020全国Ⅲ理7)在△cosC,AC4,BC3B()319131223A．．C．D．【答案】A222【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据B，即可求得答案．2ABCC【解析】在4，3，，322AC2BC22ACBCcosC，24324322，根据余弦定理：AB322229911ABBA．293B23399(2020北京10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay)π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正n边形的周长和外切正n边形(各边均与圆相切的正n边形)为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是()3030n3030nA．nsintantanB．6nsintantannn60606060．nsinD．6nsinnnnn【答案】Aa2R【解析】当k1时，设圆半径为，内接正六边形边长为Rasin30，∴a2Rsin30R．b2332R设外切正六边形边长为b30b2RR．3030(2Rsin2Rtan)6n22nn当n2a2Rsin，b2R，2∴nR)，又∵R1n)．nnnn．(20186文在cosC5，BC1，5AB()25A．42．．D．25【答案】A【解析】在中，cosC5，C2(5)13，BC1，5，则22555322BCACC1252153242，A．25(2017新课标1的内角AC的对边分别为abcsinBsin(sinCcosC)0a=2，=2=，ππ6π4π3A．．．D．【答案】Bπ1．(2016新课标卷38)在B=，边上的高等于A=()43310103(A)(B)(C)-(D)-1010【答案】CAD3225，2边上的高线为222225292余弦定理，知A，故选．2225π1．(2016新课标卷39)在B=，边上的高等于A=4331053(A)(B)(D)10105【答案】DAD3AD,2225．由【解析】设边上的高线为，则，所以533，解得sinA正弦定理，知，故选D．sinBsinAsinA22(2013新课标Ⅱ的内角,B,C的对边分别为a,b,cb2B，C64的面积为()(A)232【答案】B31(C)232(D)31bc【解析】∵b2，B，C，∴由正弦定理得，解得c22，又64sinsin641162A(BC)，SbcsinA=222=31，故选B．12224．(2016年天津)在中，若AB=，=3，C120AC=A1B2．3D．4【解析】A【解析】由余弦定理得9231A．．(2013天津)在△,2,则sinBAC=41010535A．．．D．105【答案】C31010【解析】由余弦定理可得AC5，再由正弦定理得sinA．11．(2012广东)在中，若A60,B45,BC32A．43【解析】BB．23．D．32sin60sin23．【解析】由正弦定理得：sinAsinB天津)D是边AD,232C的值为()3366A．．．．3636【解析】Dc4c【解析】设c，则c，，，在ΔABD中，由余弦定理得4c334c2c2c21223cBC33A，则sinA，在中，由正弦定理得，解得2c23sinCsinA2236sinC．613．(2017新课标卷3，文15)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=6，c=3，则=_________．【答案】°36bcbsinC22sinBbcB45可得sinBsinCc32A180BC7545AcosC(2016全国新课标卷15)的内角BC的对边分别为bc，513=1b=____________．【答案】．(2015新课标Ⅰ16)在平面四边形中，∠A=B=C=75°BC=2AB的取值范围是()626+2)【答案】(，【解析】如图所示，延长BA，交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△中，BCBE2BE∠∠C=75°，∠E=30°，，由正弦定理可得，即，解得sinEsinCsin30osin75o=6+2ADD与C重合时，ABAB交于B=∠BFC=75°，BF2，解得，所以62∠FCB=30°，由正弦定理知，，即sinFCBsinsin30osin75o626+2)．AB的取值范围为(，．全国课标，理16)在【答案】27B600，32的最大值为．ACBCAB【解析】由正弦定理sinBsinAsinCACsinCACsinAAB==2sinC，==2sinA，sinBsinB∴2=2sinC+4sinA=20)4sinA533A5A27sin(A)tan0A)，0==(，03故2的最大值为27．．全国课标，文15)B1200AC=7，AB=5的面积为．34【答案】2BC222ABBCB【解析】由余弦定理得，2=AB172=52BC225BC()BC5BC240，解得或8(舍)，211233SBCABsinB35===．224(2019浙江在中，，AB43D在线段，则BD____，________．4【解析】在直角三角形ABCAB4，3，5，C，51225在，可得BD；C224372255CBD135C，sinC)CsinC)，27290CBDsinCBD．10(2018江苏)在△,,C所对的边分别为,,c，ABC120，ABC的平分线交DBD14ac的最小值为【解析】9．【解析】因为，ABC的平分线交D，CBD60，111由三角形的面积公式可得acsin120asin60csin60，22211化简得acaca0，c0，所以1，ac11则ac(4ac)5≥52acaccaca9，ac当且仅当ca时取等号，故4ac的最小值为9．Cabcb2，A60，20．(2018浙江)在中，角A，B，所对的边分别为，，．若a7，则B=___________，=___________．c21【解析】；37a7b2A60，所以由正弦定理得【解析】因为，，32bsinA2172sinB．由余弦定理a2b2cbcA2a7c2c30，所以c3．(2017浙江)已知，4，2．点D为AB延长线上一点，BD2，则的面积是___________，=__________．24【解析】，22242224214【解析】由余弦定理可得，，2242由sinABCABC122115sinABC12ABC1，1641SBDBCsin211BDBCABC)BDBCsinABC22115415222．2，所以D，所以DD，14114．222．(2015广东)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，ca3，1sin，Cb．26【解析】11【解析】由sinB得B=或，因为C=，所以B，所以B=，于是A．有正弦26666633b12定理，得，所以b1．sin3．(2015福建)若锐角的面积为3【解析】75，8．13【解析】由已知得的面积为103，所以sinA，，ACsinA20sinAA)222ABC2AB2AC2ABACA7，．2由余弦定理得32AC．(2015北京)在△a4，b5，c6【解析】1．b2csin2A2sinAA2a2a23【解析】∵A，443A21．c64而sinCsinC．(2015天津)在中，内角,B,C所对的边分别为a,b,c，已知的面积为13，bc2，A的值为a．4【解析】841158【解析】因为0A，所以，解方程组A1bc22A，又SbcsinAbc315，2，得b6，c4，由余弦定理得1264a2b2c22bcA624264，所以a8．4223中，已知点D在边上，ADAC，sinBAC．(2013福建)，32，3BD的长为_______________．【解析】322【解析】∵sinBACsin(BAD)BAD23222∴根据余弦定理可得，2222)23223．32323．•新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD，A，2，5．求cosADB；若22BC．【解析】ADC90，A45，2，5．25由正弦定理得：，sinsinAsinsin452sin2sin，55，A，223cos1()2．552ADC90，sin22，，5222225825225．528．(2015•新课标Ⅱ，理17)中，D是BC上的点，平分BAC，面积是ADC面积的2sinB求；sinC2若1，BD和的长．2【解析】如图，过A作AEBC于E，1SABD22S12ADCBD2DC，BACADsinBAD在，sinBsinsinBBDsinsinCsin在ADCsinBDC，sinC；1．6分sinCBD22由(1)222．2过D作于MDNAC于N，BAC，，1SABD22，S12ADC2，令ACx2x，，coscos，x212(2)2(2x)212(2)22由余弦定理可得：，22x12x1x1，AC1，的长为2，的长为1．．(2015新课标Ⅱ，文17)中D是上的点，BAC=2．sinB(I)求；sinCBAC60，求B．(II)若,,因为平分BAC，=2DC，【解析】(I)由正弦定理得sinBsinsinCsinCADsinBsinC1.．2CB,,(II)312由(I)知2sinBC，sin.sinCsinBACBB23tanB,B30.3．(2014新课标Ⅱ，文17)四边形的内角A与C互补，2．(Ⅰ)求C和BD；(Ⅱ)求四边形【解析】由题设及余弦定理得BD2=BCBD2=2CD22BCCDC=C，①222BAADA=54cosC，②1由①②得cosC=C°，72四边形的面积1111ABDAsinA+CDsinC12+32)sin60°=232222(201317)ABCABC＝90°3BC=1P为△ABC90°1(1)若PB=；2(2)若∠APB150°tan∠PBA【解析】(Ⅰ)由已知得，∠PBC=60o，∴∠PBA=30，11274在△PBA中，由余弦定理得PA2=32330o=，47∴；2(Ⅱ)设∠PBA=，由已知得，PB=sin，3sin)在△PBA中，由正弦定理得，，sin150oo化简得，34sin，3∴tan=，43∴=．412a3bc2，，B．(201915)在△．Ⅰ)求，c的值；BC)Ⅱ)求的值．123c【解析】(I)由余弦定理b2a2c22acBb232c2．2132c223cbc2，所以c222c5，b7．13c5314(II)由cosB得sinB．由正弦定理得sinCsinB．22b1114在△B是钝角，所以C为锐角．所以cosC1sinC．243sinBCsinBcosCcosBsinC．71．(2018北京)在a7，b8，B．7求A；求边上的高．1【解析】在中，∵BB(,)，72437∴sinB12B．ab783由正弦定理得sinA．sinAsinBsinA4327π∵B(,)，∴A)，∴A．223在中，∵sinCsin(AB)sinABAsinB3114333=()=．2727h3333如图所示，在中，∵sinChC=7，14233∴边上的高为．235(2017天津)在,B,C所对的边分别为a,b,caba5c6sinB．Ⅰ)求b和A的值；πⅡ)求sin(2A)的值．43545【解析】Ⅰ)在中，因为ab，故由sinB，可得B．由已知及余弦定理，有b2a2c22acB13，所以b．abasinB3由正弦定理，得sinA．sinAsinBb313所以，b的值为，A的值为．1321312Ⅱ)由()及acA，所以sin2A2sinAA，13135cos2A12sinA2．13πππ47226故sin(2A)sin2A2Asin．443ca．(2017北京)在A=60°，．7Ⅰ)求C的值；Ⅱ)若a7的面积．3【解析】Ⅰ)在△中，因为A，ca，7csinA3333所以由正弦定理得sinC．a723Ⅱ)caa，所以CA，73由a7，所以c73．71由余弦定理a2b2c2bcA得72b23b3，22b8或b5()．1132所以△的面积SbcsinA8363．22．(2014山东)a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长．已知6acosA(Ｉ)求b的值；,BA．32(II)求的面积．3【解析】(I)在中，由题意知sinA1cos2A，36又因为BA，所有sinBsin(A)A，22363asinBsinA3由正弦定理可得b32．333(II)由BABcos(A)sinA，223由ABCC(AB)．sinC(ABsin(AB)ABAB3(3)661．33333111322因此，的面积SabsinC332．223．(2014安徽)设的内角,B,C所对边的长分别是a,,cb3，c1，A2B．a()求的值；A)()求的值．4【解析】Ⅰ)∵A2B，∴A2B2sinBB，cb2a23a222由正弦定理得ab∵bc1，∴a2．b2c2a2911Ⅱ)由余弦定理得A，6312230AA12A1()2，322321242故sin(A)sinAAsin()．4442326考点46正余弦定理在实际测量问题中的应用．(2020山东15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧ABA是圆弧AB与直线B是圆弧AB与3直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，C，BH∥DG，EF=12cm，5DE=2，A到直线和EF的距离均为7，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为．25【答案】423求出圆弧AB的面积，5求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．【解