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年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2016年山东,理1,5分】若复数满足,其中为虚数为单位,则()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】设,则,所以,故选B.【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.(2)【2016年山东,理2,5分】已知集合,则()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由题意,,所以,故选C.【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.(3)【2016年山东,理3,5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,,,,.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()(A)56(B)60(C)120(D)140【答案】D【解析】由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为,所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是人,故选D.【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目.(4)【2016年山东,理4,5分】若变量,满足,则的最大值是() (A)4(B)9 (C)10(D)12【答案】C【解析】由是点到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点,所以是最优解,的最大值是10,故选C.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.(5)【2016年山东,理5,5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为() (A) (B)(C)(D)【答案】C【解析】由三视图可知,半球的体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为,故选C.【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.(6)【2016年山东,理6,5分】已知直线分别在两个不同的平面,内,则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线和直线相交,可知平面有公共点,所以平面和平面相交.又如果平面和平面相交,直线和直线不一定相交,故选A.【点评】本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题.(7)【2016年山东,理7,5分】函数的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由,所以,最小正周期是,故选B.【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式,三角函数的周期,难度中档.(8)【2016年山东,理8,5分】已知非零向量满足,若则实数的值为()(A)4(B)(C)(D)【答案】B【解析】因为,由,有,即,,故选B.【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题.(9)【2016年山东,理9,5分】已知函数的定义域为,当时,;当时,;当时,,则()(A)(B)(C)0(D)2【答案】D【解析】由,知当时,的周期为1,所以.又当时,,所以.于是,故选D.【点评】本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题.(10)【2016年山东,理10,5分】若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数具有性质的是()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】因为函数,的图象上任何一点的切线的斜率都是正数;函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数.都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有性质,故选A.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档.第II卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分(11)【2016年山东,理11,5分】执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出的值为.【答案】3【解析】时,执行循环体后,不成立;时,执行循环体后,不成立;时,执行循环体后,成立;所以,故填3.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件,则;.所以.(2)“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是;;;;;;的分布列为:012346的数学期望.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题.(20)【2016年山东,理20,13分】已知.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明对于任意的成立.解:(1)求导数,当时,,,单调递增,,,单调递减当时,①当时,,或,,单调递增,,,、单调递减;②当时,,,,单调递增,③当时,,或,,单调递增,,,单调递减.(2)当时,,,于是,令,,,于是,,的最小值为;又,设,,因为,,所以必有,使得,且时,,单调递增;时,,单调递减;又,,所以的最小值为.所以.即对于任意的成立.【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题.(21)【2016年山东,理21,14分】平面直角坐标系中,椭圆的离心率是,抛物线的焦点是的一个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)设是上的动点,且位于第一象限,在点处的切线与交于不同的两点,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.(i)求证:点在定直线上;(ii)直线与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.解:(1)由离心率是,有,又抛物线的焦点坐标为,所以,于是,所以椭圆的方程为.(2)(i)设点坐标为,由得,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,设,,将代入,得.于是,,又,于是直线的方程为.联立方程与,得的坐标为.所以点在定直线上.(ii)在切线的方程为中,令,得,即点的

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