结构力学-单自由度体系

单自由度体系

建立振动方程

重点：建立方程难点：达朗贝原理建立方程柔度系数、刚度系数2021/5/91单自由度体系的自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。应用条件：微幅振动（线性微分方程）2021/5/92

P(t)y(t)EI1.阻尼力

称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反

一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括:①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力）③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力④通过基础散失的能量振动方程的建立：考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为EI，质点的质量为m,

时刻t质点的位移y(t)

2021/5/93阻尼器简介位移感应电流（电压）变化液体粘性变化磁流变阻尼器

P线圈P普通油压阻尼器

2021/5/94应用实例2021/5/95构造说明2021/5/962.弹性恢复力

FE=-Ky(t)，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反3．惯性力

FI=

，为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反

4．动力荷载

P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同

5．振动方程的建立FDFEFIP(t)mFD+FE+FI+P(t)=0

P(t)y(t)EI2021/5/97例题1:已知，阻尼系数为CADEFGCEI=∞K1K1K2试建立体系的运动微分方程2021/5/98解：1）动力自由度为1，设E处的竖向位移是y(t)

ADEFGCEI=∞K1K1K2y(t)ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K22021/5/99EFGxy(t)RK1y(t)/22)考虑EFG部分的受力由∑MG=0得：

ADEFGCEI=∞K1K1K22021/5/9103）考虑ABDE部分的受力

由∑MA=0得xC/32K1y(t)/3y(t)ADER由以上两式消去R后整理得2021/5/911m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移

y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力：W弹性力：恒与位移反向惯性力：……………(a)其中

kyj=W

及上式可以简化为或

注意：振动方程中的仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认为是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移

2021/5/912例题2试建立图示结构的振动方程，质点的质量m,EI=常数

LLmm原理：任意时刻受力平衡KK16i/L6i/L2021/5/913练习题1解:振动模态mEAmLLL2021/5/914解:振动模态mEAmBy(t)xdx2021/5/915建立振动方程，阻尼器的阻尼系数为C练习题2

EI1=∞mCPsinθtEIEI振动模态

EI1=∞mLLCPsinθtEIEI2021/5/916

EI1=∞mCPsinθtEIEI振动模态y(t)KK2021/5/917例题3试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m,EI=常数

LLPsinθt质点受力：1.惯性力，2.刚架的弹性恢复力，3.动荷载。1.惯性力负号表示方向向左建立方程的依据：质点在任意时刻受力平衡2021/5/9182.刚架的弹性恢复力意义：质点单位侧移需施加的力-----侧移刚度K11K要求K,就要取水平力的平衡yy变形图ABCDVBAVDCK因而，就要确定2个柱的剪力，这就要作出结构在侧移为1时的弯矩图。2021/5/919支座水平移动单位位移下引起的柱间剪力=K/2k/21等价问题1K问题Δ=1取半结构2021/5/920即，“支座移动”结构内力的计算问题1R6i/L6i/L4i2i6ir等价问题1位移法方程：r11θ+R=0，解得2021/5/921VBAK/224i/5L18i/5LM图11R6i/L6i/L4i2i6ir2021/5/922柔度法求K

1

求刚架在P=1下产生的位移，再取倒数1/2用力法作出弯矩图

4L/143L/14P=1L2021/5/9233.振动方程

PsinθtLLL/2L/2例题4:EI=常数，质点质量为m,建立结构的振动方程

2021/5/924解：一、用柔度法依据：质点位移y(t)，由质点惯性力与动力荷载共同产生。1.求惯性力为1时质点的位移δ1

P=1问题求位移的方法：用位移法求位移用变形体系虚功原理y(t)

Psinθt2021/5/925用位移法求位移

MP图R1P

R2P

1

r11

r21

r12

r22R1P=0,R2P=-1,r11=10i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2

解位移法方程得：δ1=10L3/171EI2021/5/9262.求动力荷载为1时在质点处产生的位移δ21MP图R1P

R2P

1

r11

r21

r12

r22用位移法解位移法方程得：δ2=37L3/1368EI2021/5/9273.质点惯性力与动力荷载共同产生的位移y(t)为：

2021/5/928二、用刚度法PsinθtLLL/2L/2建立方程的依据：时刻t结构体系受力平衡注意：动荷载不作用在质点上，怎么考虑受力平衡？2021/5/929方法一、R2P

MP图R1P

Psinθt

r11

r21

r12

r22R1P=-PLsinθt/8,R2P=-Psinθt/2,r11=10i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2

VAEVACVBDM图R1P

ABCDE2021/5/930R1P=-PLsinθt/8,R2P=-Psinθt/2+my//,r11=10i,r21=r12=3i/L，r22=18i/L2

消去附加约束，再考虑惯性力。当结点转角为Φ，水平位移为y（t）时MP图R1P

R2P

Psinθt

r11

r21

r12

r22方法二、FI2021/5/931MP图R1P

R2P

Psinθt

r11

r21

r12

r22FI2021/5/932单自由度振动模型小结：2021/5/933练习题3LLmEILLmEIK为梁提供的弹性恢复力系数----刚度系数振动方程：KK的意义2021/5/934KKRrKV左V右2021/5/935LLmEIEAEIEAEI共同形式的振动方程：EAEILLmEI20