第五章 图像卷积

章图像卷积2021/5/91■卷积定理■卷积运算的性质■卷积的应用■典型函数的傅立叶变换■离散余弦变换2021/5/92§5.1卷积定理■卷积定理的意义Q卷积分Q卷积的几何意义Q卷积的物理意义■卷积定理Q一维卷积定理Q二维卷积定理Q卷积定理的特例——相关定理2021/5/93§5.1.1.1卷积分离散形两个函数 f(x)和g(x)的卷积记做f(x)*g(x)卷积公式f(a)g(x

a)daf(x)

g(x)

M1m0Mf(x)

g(x)

1

f(m)g(x

m)2021/5/94§5.1.1.2卷积的几何意义f()g(x1-)f()f()10-x1(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)g(-)g(-x1-)g(2x1-)g(3x1-)g(4x1-)x1 2x13x14x15x12f(x)*g(x)1/

2g(5x1-)2021/5/95北京大学遥感所§5.1.1.3卷积的物理意义线性系统线性（linearity)对同时作用的几个激励（输入）的响应（输出），恒等于每个激励单独引起的响应之和，这种现象称为线性。设对某个特定系统，输入x1(t)经系统后输出y1(t)即：x1(t)€y1(t)而对另一输入x2(t)输出为y2(t)即：x2(t)€)y2(t)则系统的线性性质可以表示为下式：x1(t)+x2(t)€y1(t)+y2(t)2021/5/96§5.1.1.3卷积的物理意义h(t) H(u)线性系统图示:输入 f（t）信号 Fg（t）输出G（u）信号传递函数、冲击响应（u）g(t)

f(x)*h(x)线性系统G(u)

F(u)H(u)2021/5/97§5.1.1.3卷积的物理意义空间不变的线性系统假设对某线性系统，有：f(x，y)€g(x，y)空间位置由x，y变到了m，n的位置处，则有下式成立：f(x-m，y-n)€g(x-m，y-n)即输出函数的形状不变，仅仅引起输出函数位置相对应的移动，则该系统称为空间不变的线性系统。2021/5/98§5.1.1.3卷积的物理意义⎭⎧

⎫⎩

g(x2,y2)

⎨

f(

,)

(x1

,y1)dd⎬光学成像系统就是这样的一个空间不变的线性系统。等晕系统线性系统的叠加性使我们有可能把一个复杂激励的响应用最简单的脉冲函数来表示。f(x,y)

f(

,)

(x

,y

)ddf(x1,y1)

f(

,

)

(x1

,y1

)dd

2021/5/99北京大学遥感所§5.1.1.3卷积的物理意义

f(

,)h(x2

,y2)ddg(x2,y2)h(x2

,y2)

{

(x1

,y1)}h(x2

,y2)称为系统的冲击响应、脉冲响应，在光学成像系统中称为系统的点扩散函数由于f(

,)是加在基元函数

(x1

,y1)上的权重因子所以，g(x2,y2)

f(

,

)

{

(x1

,y1

)}dd如果用符号 h(x2

,y2)表示系统在输出平面上的(x2,y2)对输入平面上 函数的响应，则有：2021/5/910§5.1.1.4卷积定理■一维卷积时域表示yt

ht*xt

x

ht

d频域表示Ys

Hs

Xs2021/5/911§5.1.1.4卷积定理f（x）

g(x)

F（u）

G(u)卷积定理频域卷积定理f（x）

g(x)

F（u）

G(u)2021/5/912§5.1.1.4卷积定理二维卷积的表达式：

h(x,y)

f

g

f(u,v)g(x

u,y

v)dudv2021/5/913§5.1.1.5卷积定理的特例—相关定理相关用表示，定义如下:描述的是两个函数图形的相似程度，当完全相同时，相关函数就会出现一个相关峰值。f(x）○g(x)f(x）○g(x)

f(a)g(x

a)da2021/5/914§5.1.1.5卷积定理的特例—相关定理相关定理：f(x）

○g(x)

F(u)G(u)f(x）○g(x)

F*(u)G(u)2021/5/915§5.2卷积运算的性质■交换性■加法的分配律■结合律■卷积的平滑性质■卷积的扩散性质2021/5/916§5.2卷积运算的性质交换性加法的分配律结合律f

g

g

ff

g

f(t

xg(xdx

g

ff(g

h)

f

g

f

hf(g

h)(f

g)

h2021/5/917§5.2卷积运算的性质■平滑性质是指两个函数卷积的结果使得每个函数的精细结构都会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑；■扩散性质指的是卷积结果的区间扩大性：两个只在有限区间有定义的函数之卷积，卷积结果的区间线度等于两个函数区间线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增加就意味着能量分布的扩散。2021/5/918§5.3卷积的应用■ 去卷积我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷积。即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影响。一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。■ 去除噪声即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。■ 特征增强以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征（如边、点）的对比度。2021/5/919§5.4典型函数的傅立叶变换■δ函数■矩形函数■三角函数■抽样函数2021/5/920§5.4.1δ函数函数是重要的数学分析工具。可以表示冲击量、点光源、点电荷等。用来对任一个复杂物函数进行“脉冲分割”将其分解成点基元的线性组合。(x)2021/5/921§5.4.1δ函数

0

(x)lim

(x)

0

(x)lim

(x)112

x⎩0 other⎧

(x)

⎨性质：筛选性：

(x)

(x

a)dx

(a)对任意连续函数（x）,有

(x)

(x)dx

(0)或2021/5/922§5.4.1δ函数傅立叶变换为1F(u)u全频域范围内变换，因此，控制域内分析采用此冲击信号，可得到物体各频率的变化2021/5/923§5.4.2矩形函数定义rect(x)⎪121212⎩1 x⎧0 x ⎪

1rect(x)

⎨

2 x x傅立叶变换:sinc(

)2021/5/924北京大学遥感所§5.4.3三角函数011定义⎧ 0⎩1

x x1x1(x)

⎨傅立叶变换sinc2(

)2021/5/925§5.4.3抽样函数….….s(x)1/u x1/u0….….S(u)u u0comb(x)

(x

n)ncomb(

)2021/5/926§5.5离散余弦变换离散余弦变换(DiscretecosineTransform)简称DCT任何连续的实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，因此余弦变换与傅里叶变换一样有明确的物理量意义。DCT是先将整体图像分成N×N像素块，然后对N×N像素块逐一进行DCT变换。实对称f(x)=f(-x)，所以有f(x)e

j2uxdxF(u)

f(x)cos(2ux)dx

j

f(x)sin(2ux)dxf(x)cos(2ux)dx

2021/5/927§5.5离散余弦变换存在如下变换对f(x)Re(u)

f(x)cos(2ux)dxN－1N－1N－1N－1 N－1N－1 N－100对图像进行褶翻操作产生对称场N－1002021/5/928§5.5离散余弦变换■ 二维正变换：⎥⎦

⎣

⎦⎣⎥

cos⎢N1N1x0y02N2N⎡

(2y1)v⎤⎡

(2x1)u⎤Gc(u,v)

(u)

(v)

f(x,y)cos⎢⎥⎦⎦

⎣⎣⎥

cos⎢N1N1u0v02N2N⎡

(2y1)v⎤⎡

(2x