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格林公式及其应用摘要：格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。设D为一平面区域，如果区域D内任意区域所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。关键词闭区域D；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；引言格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导函数，则有，其中L是D的取正向边界曲线格林公式转化的物理意义：二重积分——第二类曲线积分将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功定理1设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数P（x，y）及函数Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式证明:yxoabDcdABCyxoabDcdABCEyxyxodDcCE同理可证D两式相加得D(2)若区域由按段光滑的闭曲线围成.如图将分成三个既是型又是型的区域,,. D(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则的边界曲线由AB,,BA,DAFC,CE,,EC及CGA构成由(2)知 应用：（1）用格林公式计算区域的面积设区域D的边界曲线为L,则例1求椭圆x=acosq,y=bsinq所围成图形的面积A.解设L是由椭圆曲线,则（2）为顶点的三角形闭区域. 因此,由格林公式有（3）用格林公式求第二类曲线积分例3 不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解：记L所围成的闭区域为D.当(0,0)ÎD时,在D内取一圆周l:x2+y2=r2(r>0).记L及l所围成的复连通区域为D1,应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向. （4）平面上曲线积分与路径无关的条件物线y物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解：这里P=2xy,Q

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