泛函分析希尔伯特空间中的规范正交系

§希尔伯特空间中的规范正交系主要内容：规范正交系，完全规范正交系，Bessel不等式，Parseval等式，傅里叶展开式，格拉姆-施密特正交化过程。教学过程一、规范正交系与Bessel不等式、Paraseval等式1．规范正交系：设是内积空间的一个不含零的子集，若中向量两两正交，则称为中的正交系，又若中向量的范数都为1，则称为中规范正交系。例1为维欧式空间，则向量集,为中规范正交系，其中当时，；时，。在空间中，定义内积为,，，则三角函数系为中规范正交系。显然内积空间中规范正交系是正交函数系概念的推广。正交系有以下基本性质：对正交系中任意有限个向量成立，（1）事实上，由于中向量两两正交，所以。正交系是中线性无关子集。事实上，设而且其中为个数则对任何，有由于因此所以线性无关。这就证明了是中线性无关子集。我们在内积空间中引入规范正交系的目地是要把空间中的向量关于规范正交系展成级数，为此，首先介绍一般赋范线性空间中级数收敛的概念。2．级数收敛设是赋范线性空间，是中一列向量，是一列数，作形式级数，称为级数（3）的项部分和，若存在，使，则称级数（3）收敛，并称为这个级数的和，记为。若为中规范正交系，是中有限或可列个向量，且则对每个自然数，由内积连续性，可以得到，所以可以表示为。3．傅立叶系数的定义及其性质：傅立叶系数的定义：设为内积空间中的规范正交系，称数集为向量关于规范正交系的傅立叶系数集，而称为关于的傅立叶系数。例3设，为例2中三角函数系，记为则对任何关于的傅立叶级数集即为：注内积空间中向量关于规范正交系的傅立叶系数实际上是数学分析中傅立叶系数概念的推广。4.傅立叶系数的性质：引理1设是内积空间，是中规范正交系，任取中有限个向量那么成立（1）；（2），其中为任意个数。证明因对任意个数有令，代入上式即得（1）。另一方面，由上式及结论（1），我们又有。由此知（2）成立。证毕。注从引理1中（2）的证明中可以看出，在（2）中仅当时等号才成立。注从引理1中（2）的证明中还可以看出，若用的线性组合逼近，则取，时为最佳逼近，见下例。例设是Hilbert空间，是其中的规范正交系，，证明函数当且仅当时达到极小值。证明.由于，因此与在同一点达到极小值。记，对，由于，即与正交，从而与正交，于是显然达到极小值当且仅当，即当且仅当。5.Bessel不等式、Paraseval等式：定理1（Bessel不等式）设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立不等式。（4）证明如果中只有有限个向量，则结论由引理1的（1）立即可得。当可数时，只要在引理1的（1）中令即得（4）式。证毕如果Bessel不等式等号成立，则称此等式为Parseval等式。引理2设为Hilbert空间中可数规范正交系，那么成立（1）级数收敛的充要条件为级数收敛；（2）若，则，故；（3）对任何，级数收敛。证明（1）设由于为规范正交系，所以对任何正整数和，成立，于是是中柯西点列是柯西数列。由和数域的完备性知，（1）成立。（2）前已证过。（3）由Bessel不等式知，级数收敛，由（1）及（2），知级数收敛。证毕。推论1设是中可数规范正交系，则对任何证明由引理1，对任何，级数收敛，所以一般项证毕。注：当为是三角函数系时，推论1即为黎曼－勒贝格引理。6.一般规范正交系的Bessel不等式。设是中规范正交系，其中为一指标集，那么对任一中使的指标至多只有可数个。事实上，由Bessel不等式，易知对任何正整数，使的指标至多只有有限个，所以至多为可数集。由此可以形式地作级数（6）其中和式理解成对所有使的指标相加。因此Bessel不等式可以写成。二、完全规范正交系与傅里叶级数、Gram-Schmidt正交化过程问题：向量可以写成由傅立叶系数所作级数（6）的和的条件是什么？1、完全规范正交系的定义。设是内积空间中的规范正交系，如果，（8）则称是中的完全规范正交系。2、完全规范正交系的判定及其等价条件根据定义，利用本章§2引理3，立即可得下列定理。定理2设是Hilbert空间中完全规范正交系，那么完全。注从定理可知，在完全规范正交系中不能再加进新的向量，使之成为更大的规范正交系。定理3是Hilbert空间中完全规范正交系对所有，成立Parseval等式。证明充分性：设Parseval等式对所有成立，若不完全，由定理2，存在，。所以对任何有由于对该成立Parseval等式，所以即这与矛盾。必要性：设是中完全规范正交系，对任何，设其非零傅立叶系数为由引理2，级数收敛，设其和为，则对任何正整数，有。又对中一切使的向量，有因此，。由的完全性，得到即，所以。由此得到，即Paraseval等式成立。证毕。注由定理3的证明可以看出，当是Hilbert空间中完全规范正交系时，中每个向量都可以展成级数（9）上式称为向量关于规范正交系的傅立叶展开式。推论2设是中Hilbert空间中规范正交系，若Parseval等式在的某个稠密子集上成立，则完全。证明设则是中闭线性子空间，因在上Parseval等式成立，由定理3，易知对中每个向量，都成立，所以，因而由于是闭线性子空间，故有，但因所以即是中完全规范正交系。证毕。注利用推论2可以证明例2中三角函数系是中完全规范正交系，所以任何都可展开成傅立叶级数，其中等式右端级数是指在中平方平均收敛，分别为例3中关于三角函数系的傅立叶级数。3、Gram-Schmidt正交化过程与完全规范正交系的存在性由上所述，完全规范正交系是研究Hilbert空间的重要工具，那么是否每个非零Hilbert空间都有完全规范正交系，以及如何去得到完全规范正交系？为此首先介绍一般的Gram-Schmidt正交化过程。引理3设是内积空间中有限或可列个线性无关向量，那么必有中规范正交系，使对任何正整数有。证明令，则且令，因为线性无关，所以且令则，且显然如果已作了其中，并且两两正交，满足，则令，由线性无关，知令则且。又显然满足。这样一直下去，即可得到所要求的规范正交系。证毕。引理3的过程称为Gram-Schmidt正交化过程。注：实际上是向量在空间上的投影。定理4每个非零Hilbert空间必有完全规范正交系。证明只对可分的情况证明，设为可分HiIbert空间，则存在有限或可列个向量使，不妨设为中的线性无关子集，否则可取中线性无关子集。由引理3，存在有限或可数的规范正交系使对任何自然数，成立所以，由张成的线性空间包含，因此即是中完全规范正交系。证毕。4、两个Hilbert空间的同构同构映射的定义与的Hilbert维数的定义：可以证明，如果及同为Hilbert空间的完全规范正交系，那么和具有相同的基数，称这个基数为的Hilbert维数。若，则定义的Hilbert维数为0。由Gram-Schmidt正交化过程易知，当是有限维空间时，Hilbert维数与线性维数一致。为了研究Hilbert空间及其上的线性算子，把一个抽象的Hilbert空间表示称一个具体的Hilbert空间会使得处理问题方便很多。设和是两个内积空间，若存在到上的映射，使对任何及数满足（10）则称和同构，并称为到上的同构映射。同构判定定理：定理5两个Hilbert空间与同构与具有相同的Hilbert维数。证明若与同构，为到上的同构映射为到上的同构映射，由（10）易知将中完全规范正交系映射成中完全规范正交系，并且是一对一的，所以与具有相同的Hilbert维数。反之，若与的Hilbert维数相同，不妨设否则结论是平凡的。设和分别为和中完全规范正交系，由假设，和具有相同的基数，所以可将与分别写成，，其中为与和等基数的指标集