岩石力学之 广义虎克定律

第四章广义虎克定律在应力分析中，已经从纯力学的基本定律出发，引入了9个应力分量，它们满足三个运动或平衡微分方程(由动量守恒定理推出)和剪应力双生互等定理(由动量矩守恒定理推出)，由此得到应力张量对称的结论，因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到三个位移分量和九个应变分量，这九个应变分量中只有六个是独立的，位移分量和应变分量之间满足六个变形协调方程，这样我们总共引入了十五个变量，它们满足的方程只有九个其中是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程是不封闭的，因此没有唯一的一组解，必须补充六个方程，将方程组封闭起来。从力学的角度，不同的材料，在同样载荷作用下，其变形是不同的，本构方程或者说应力—应变关系就是反映不同材料力学性质差异的适当的数学描述，因此本构方程是材料的一种力学特性。在弹性力学的发展史上，一维条件下的应力应变关系是从实验总结出来的。均匀各向同性弹性体的三维应力—应变关系是根据一维虎克定理，经适当推广得到的。这种来自于经验的定理非常实用，但是它是否具有普遍意义，即对任何均匀各向同性的弹性体都成立，却是人们心头挥之不去的阴影。实际上这个问题，在弹性力学发展史上曾产生很大争议，直到格林(1838年)和托马斯(1855年)从热力学出发，从宏观的角度证明均匀的极端各向异性的弹性体的弹性常数有21个，均匀各向同性弹性体的弹性常数有2个，才平息了争议。因此本章从热力学的角度，运用热力学第一、第二定律，导出弹性体的三维应力应变关系。从微观角度也可以研究弹性体的弹性常数。虽然Caochy和Poisson用分子论(微观角度)，对均匀弹性体弹性常数的研究是错误的。这并不表明无法从分子论研究弹性常数。用近代物质构造理论，玻恩在1915年，完成了这样的工作。1941年中国的彭桓武具体地计算了几种单晶体的弹性系数，他们的工作与实验吻合。第一节热力学基本定律与弹性体应变能(函数)弹性体是一种热力学物质，弹性力学仅研究宏观运动和宏观变形，只需要了解反映材料物质结构差异的总体响应的方程，不涉及物质结构，因此可以从热力学的角度建立弹性应力应变关系。热力学基本定律与状态函数按照热力学，一个物体任意部分的能量包括宏观动能量和内能。从微观的角度，物体的内能无非是物体内部所有分子的动能和势能式中N为分子总数，mi、vi分别是第i个分子的质量与速度。是第i个分子与第j个分子相互作用的势能。在叠加时，计算了两次，因此要乘上。上式右端第一项，其宏观表现即是物体的温度，因此较容易度量。右端第二项，往往在宏观上不表现出来，因此测量和计算是很困难的。从上面的介绍可以看出，物体内每个分子的动能和物体整体的动能是两个概念，物体还可以有宏观势能，比如重力场中物体的重力势能。热力学中有两类变量，一类与过程相关，比如物体吸收(或放出)的热量，不仅与物体自身温度有关，也与环境温度有关，只有当系统与环境之间存在温差时，才有可能与外界交换热量。这类量不是物体固有的量，不能反映物体的状态。物体的固有量可以反映物体的状态，这类变量称为状态变量或状态函数。物体的内能是状态函数与状态改变的路径无关。证明如下：按照热力学第一定律，物体总能量的变化等于外力对物体所做的功和物体吸收的热量。假如在过程中，物体的宏观动能不变化，则内能的增量，即是物体总能量的变化，可以表示为(4-1)式中A是初态，B是终态，UA和UB分别是状态A和状态B的内能，q是流入物体的热量，W是外力对系统所做的功。上式就是这种特殊情况下的能量守恒定律。考虑物体由两条不同的路径从状态A变到状态B，如下图所示状态状态A状态B图4.1封闭循环ABA杨经由路径女I劈，物体内盆能的变化覆为光。经由路饿径辈II糟，物体内翠能的变化斜为畜。考虑物割体的封闭返循环，即钱物体沿路间径画I永由状态响A问变到状态罢B醉，再沿路炒径四II意由状态伴B絮变回状态捕A粘。显然，径在这个过革程中物体饶内能的变扛化为晕。如果内险能的变化猛与路径有援关，则移，这样在扑这个封闭脆循环中躬。予另一方面洁，在这样芬一个封闭龙循环中，书物体的初夕态与终态粥都是靠A够，则按能岁量守恒方烤程偿(贫4-1)台式股。如果免，就表明睁当物体回端到原来的聪状态时，鱼内能有增食加或减小雄，这违背昨了以骑(沙4-1)圾式表示的钩热力学第凭一定律，踩因而是不曲可能的。挎在封闭循炭环中嫁，表明从忧状态容A召到状态秤B农，物体内冠能的变化狂与路径无秋关，即物帆体的内能密U切是状态函踩数。在凡是与路冈径无关的嚼函数都满访足沿闭路努上的积分号为零的条消件痰(咱4-2)抵按照状态汁函数的意竞义，还可僻以知道状盈态函数存尽在全微分撞。钥弹性应变缺能函数啊牛莲在外力作慎用下物体临一定发生酱位梁移饼(链刚体运动鼠、变形，核两者兼而荡有之，或掘者有其清一抹)替，并从一烈个平衡态荒变到新的揪平衡态，牲在这个过桨程中，外乱力丽(晚体力和面剪力剖)驱对物体做鼓功够(慧如果是纯活热力学过扰程，则外劝力不做功贵，但物体炼与外界有嚼热量交诚换忧)溉。同时，宇物体的宏谨观动能和祖内能也发欲生相应的画变化。怖摧竖热力学第汇一定律告葵诉我们，碰在平衡态描变化过程量中，物体确总能量的更增加等于敌外力对物宴体施加的鹿功和接受港的热量之与和。念(衬4-3)所排井式中盼K之是物体的记宏观动能块，贡U集是内能，易A管是外力的寿功，叼Q昨是接受的林热量。恩K枝和椅U铺是状态函校数，它们山的改变与撑路径无关炼，存在全烂微分，因燃此辈用冈“悦”脂表示它们涝的变化，防A亚和惰Q旬的变化不怪仅与状态讨有关，还扯与过程有划关，因此料用航“铁D雁”惠表示它们捧的变化，消以示区别梯。黑牲牲现在我们斥从物体中获取出一个拍微元体，哀计算它在蛾平衡状态刚变化过程盈中各种量侮的变化，蚕设该微元粥体的体积胖为胖V散，表面积舞为奏S性。在直角湿坐标系中窜微元体的妇位移为狸，位移速生度为演，位移加搜速度为牺，物体所黑受体力为榆，面力为循。若过程夫变化的时棒间愉极小，则刚在平衡状老态变化过笨程中，可烈以认为体爸力密和面力冶不变。因傍此在单位福时间内外海力对物体尤所做的功胜为雕(巡4-4)该式中，挠A撇1沸是体力的谁功，岂A沈2戏是面力的经功。鞠(示4-5荣a郊)傅(相4-5担b零)秩按照斜面寿应力公式谈按耍Gaus冶s犹公式，上附式变为安怀沟重新整理鞠上式毙(疏4-6)犯迭加窜(航4-5座a极)磨和携(浆4-6)夜得到外力迈的功为扬(旗4-7)似若物体的倘密度为章，物体单肉位体积的啦宏观动能溜为安，则利用灿运娘动高(你平茶衡洪)筒方程，副(优4-7)且可写为轿(您4-扣9径)驾另一方面引，物体的每宏观动能腔为讲在惩时间内物叼体宏观动遥能的改变臣为吊(秆4-将10购)纪对比携(弊4-抚9魄)愤和敢(创4-薪10妨)买，可得贷(装4-吗11麻)镜从要(树4-3)飞式可导出即，滚(告4-剃12抄)燃如果是绝检热过程，摸则卷，这相当慎于物体极乳快地由一紫个平衡态判，变化到徒另一个平颤衡态，因益此来不及艰吸收和释聪放热量。绑此时对比洒(陪4-酸11哪)筋和庄(骆4-郑12肤)离，可得猫(喉4-哥13玉)精如果是等玻温过程，店这相当于惊物体平衡饭状态的变果化极慢，棕如果单位苗体积中的炉内能是聪W债1舌，则在全恼部的体积福内内能为因此遣(翅4-戏14洁)著对比厨(俭4-肯13团)居和萄(溉4-耍14委)扒，可得亡(配4-促15询)殃也是空间辫点的函数仆，若固定川空间点不含变，则在违dt青时间内，木内能的变露化嫩(的注意：不匠是变化率之)窑为忽(科4-顶16残)去上面的讨纽论已经指区出，内能尽是状态函耍数与路径瓦无关，因稠此将休W金1堆对时间积匪分，从利t订0化时刻积分遣到益t鲁时刻，其夜积分值只裳与初态和堆终态有关命，与积分份路径无关散。竭(乐此处是与冠积分的时福间历程无监关览)凑，如果还隙有初始状扔态下内能近W组=姿0州，则有趣(钥4-17真)算(扁注：上面椅推导的最钱后一步用置到了积分材变量的变茎化，但这加个变换是揪基于力学寺的，而非卷数学的原盼理羞。泛)佩从思(鸡4-17渐)谅可以得到伪(俘4-18个)振(看4-18集)振给出了应逗力与应变锄的关系，惠具有提(妹4-18扰)萄这样性质吵的函数职W延称为应变评能量函数巩，简称应垫变能。由蚁(寿4-18栗)万式确定的闷应力叫广叛义应力，恼(钥4-18主)陡式也称格鬼林公式。带从格林公李式的推导尘过程我们灶可以看出弊，畏W多表示为了交克服物体必内质点间赠的相对变迅形，应力蛙分量在应瓜变分量上厚的功，当障外力去除滔后，该能归量被释放睛出来，使银物体恢复纺原来的形叔状。炮热力学第笼二定律告烈诉我们，律机械能总柏是可以转射化为热能侨，但如果恼没有功的乳消耗，热租能不会自续动地从较嫂冷的物体铲流向较热返的物体。碎热力学第们二定律也垒可以定量焰地表示为尸(愁4-19擦)渠式中笛S排叫做熵，锁T膀是绝对温套标。在等屑温状态，厨我们有偏(酷4-20贸)赖等温过程东相当于外盲力十分缓挤慢地施加泳于物体上齐，使得物秤体的平衡圣状态十分巨缓慢地由负一种状态犁变为另一贝种状态。仁从睬(批4-12弃)驳铸式和上式愤，可以得年到姨(圆4-21渣)笋内能挂W都是状态函叔数，按热汇力学，熵界S显也是状态灶函数，而叠T丧=集cons耐t包，因此也W-TS厌是状态函巨数，同时栏由熄(保4-11简)反式知道供因此，从士上式和斥(垮4-21锅)崇式可得效(剃4-22绍)默按上面同金样的推导环过程，我彼们也可以偶证明在等娘温条件下值应变能函早数权W延/艰的存在，像且广义应蜂力为修(枝4-23育)圾(迅4-18脑)姓和蓄(抬4-23迁)梁是碧6膊个应力分样量树与骨6副个应变分悔量之间的柏关系，对谣弹性体而巴言，这就归是所需要直的漫6全个补充方何程。一般著而言，提这盗6锋个方程是五非线性的煎。航第二欧节宁较汉线性弹性泪物质的应鹿力应变关求系道各向异性绑弹性体的打应力应变晶关坊系住(胸广义虎克守定龄律暑)贤(员4-18霉)展，桌(匙4-23斤)末是从热力丑学第一定画律和第二照定律导出思的，除了输等温和绝吸热的条件逗外，没有法其它的限策制，因此弯可以适用韵于大变形债、非均匀售和绝对各伶向异性。桌(改4-18位)固或类(料4-23层)剂是一共栗是萄6丙个式子，驴展开后为盆(哑4-23季)京因为小变奸形假设，迹各个应变均分量都远珠小于再1洁，即酿，因此可同将昨(踢4-23口)戚在烈处展开，投可以得到或，叠(真4-24罢)洋式中辱是应变为掘零时的初添始应力。损由于无初贡应力假设狡，式中臭是在蜜处的导数它值，是常定量，因此算(观4-24语)泊可写为旧(迫4-25帜)搂，从左式锹和溉(底4-25吴)乱式可得到弓从桶(零4-18延)千式和姑(廊4-25返)丑式可得到(a)而(b)器由于已经挡假设位移硬和应变有奋三阶以上馒的连续偏德导数，因茎此二阶交未叉导数与套求导顺序庄无关，这良样从死(篇4-18巧)研式可得到(c)些这样从秘(蚀a侍)岁、碌(驾b倡)盐和独(丧c软)表可得到番。按类似舌的方法还掉可以得到脱(路4-26妻)宗这表明望(貌4-25讯)巷式中赤的以3背6株个系数是积对称的，偶因此在费(坑4-25太)孟中，只跃有卖2重1樱个参数是通独立的。顷在条件除(构4-26填)渐下的应力婶应变关系脾是绝对各肚向异性弹姐性材料的警应睬力幻—庆应变关宰系滔(史或广义虎劫克定捐律养)却。监干途从票(挥4-18份)接可以得到博(敌4-27拌)岛(勾4-27炸)暑右端是应义变能密度续。纳如果弹性钱应力应变扶关系是线靠性的，如注(伸4-25码)爹所示，在赴这种情况愚下悟(度4-26杆)友式变为晒(锹4-28衰)滋(存4-27忌)偶的两个指股标片“赤i封”汉、派“园j宪”叶是重复的泥，按爱因蛾斯坦求和详约定，对嫩重复指标千需要在所演有可能的裂取值范围晒内求和，蝴考虑到葵(缺4-27辅)就式，叠加啄(笛4-28喇)俊的饶6宴个式子可达以得到。碗(涌4-29怪)顾(庭4-29饶)弹是实的齐像次二次多诸项式，按羽照线性代王数的相关倡知识宵(贫4-29强)港式是一个危二次型，尊若记这个剩二次型为饺，则杏=搜，用矩阵恒表示为磨上式可以宜简记为袍=俭(易4-30净)基从泽(和4-29听)晓、帜(忙4-30肌)临、可(压4-27关)考和益(忍4-18澡)垮可以看出即马(柴4-31葛a偶)因此的(怕4-31斗b州)钥在这种情趴况伴下阴(姜即线弹性安小变形的兔情况当下弓)照，还可以例得到绒(带4-18玉)粮式对偶形拆式种(减4-32蕉)肚(解4-32管)钉式称为卡料斯提也努粱公式，它莲只有在线继性弹性应忧力应变关大系声(邻4-25摔)饲式成立时雪才成立。践综合以上墙弹性应变俯能的讨论去，我们得沈到以下结跑论：荡1节、在等温议和绝热情局况下，弹枯性应变能矩函数鼠W交存在，这蓝种应变能枯是内能，斩因此是状纺态函数；奶2初、弹性应营变能函数邻W挤是单值的愉，其积分拿与路径无泡关，因此避dW银是全微分给，而砍3魄、在小变狼形假设下伴，弹性应达力应变是顺线性的。况4壳、当线性遗弹性应力纠应变关系介成立时，泳弹性应变查能函数介W肥是二次型梢，并且存番在弹性应抬力应变关诞系的对偶忙形式图各向同性喝弹性体的挽应力应变掌关系粒弹性体弹基性性质的召对称性是覆指在对称绝方向上弹我性性质是模相同的。得由于弹性蝴性质是用豆弹性应力卫应变关系汉表示的。凉因此对称各性就是指芦在对称方窄向上弹性鱼应力应变汽关系相同次。漫具有一个拉弹性对称碍面的材料脑。垫假设过弹项性体中任转一点的与摆oxy俗面平行的众面是对称湾面，则汉z血轴垂直于杆该对称面医，假设在禁这种情况朴下沿据z俭轴方向和短-z侍轴方向看唇弹性关系决不变。令竹第一次看安的坐标系送为布oxyz凉，第二次荒看的坐标慈系为柜ox弊/担y也/削z临/其，则两个晴坐标系的攻关系如下槽所示图4-1图4-1表4-1表4-1组x坡y译z所x赴/渡1欺0遇0隔y挤/诚0煎1史0像z请/择0平0裂-1榨按照应力霸分量的坐皱标变换关朵系，在属坐标系中贯的应力为幅(习4-33肿a午)同理促(哥4-33遭b弊)而过，震(饮4-33巷c核)郊按应力分后量的坐标另变换关系扯可类似地摸得到，用步旧坐标系村中的应变轻表示的新袜坐标系中总的应变分草量叶(4桨-34灾a监)踩(亿4-33纲b祸)饱在新坐标演系和旧坐质标系中弹博性关系不榜变，意味穗着在新坐抢标系和旧溪坐标系中块弹性应力偶应变关系员(贼4-25热)纽都成立，现因此在新队坐标系中永(局4-25研)腾式中的第供一式为系将淹(盆4-33间a颂)约和倍(坟4-34樱)匙代入上式同得到榴上式与油(怒4-25花)赢式的第一励式应完全恶相同，比拣较两式可挠以得到饮考虑到对管称性卸(甲4-25狮)兴的其它各把式，在新耕坐标系中节也成立，豪将藏(仿4-33粉)平和梯(旨4-34拼)滋代入这些铁方程有扯将上勒面蠢5糖个方程与坦(殿4-25况)融的其禁余古5友个方程比掘较，便得摆出牵考虑到对天称性，还慰有乏这样在存箱在一个对搜称面的情哄况下，兼(丛4-25质)坐式合的榆3液6驰个系数中煤有芳1险6扑个为零，团非零系数虾只欠有畅2谎0佳个。考虑厕到对称性隆，在这种厕情况下，座只院有胜1挥3搅个独立的发弹性系数甩，用矩阵鉴表示为忍即夜(斥4-25贤)犯式变为备(页4-35妻a片)嫌(脆4-35汁b欲)疤(馒4-35箭c岂)晴(房4-35吊d窃)吧(软4-35扇e捞)柿(臣4-35衣f峰)瞧具有三个龄弹性对称赢面的材料蓄如果弹性辆体既对早oxy淹对称，同掘时也对炮oyz财对称，此语时徐x膊轴垂直于亚对称面，仿沿学x台方向和佣-x更方向弹性竞关系也应品该相同。须设新系为乎ox巡/五y慨/由z踏/寸，则新旧涨坐标系的拘关系如下斧表所示表x榨y行z素x堪/翠-1宪0警0擦y船/妇0诵1权0央z仿/残0凤0奇1图4-2图4-2表4-2表4-2桐按坐标变足换关系，矛在新、旧摆坐标系中炊应力分量通之间的关攻系为玻(嘴4-36嘱a科)玉在新、旧雪坐标系中坛应变分量扣之间的关睁系为厕(子4-36晚b灯)闪利用对称衫性和应力糠应变的变向换关系死(漫4-36找)责式，即将亚(本4-36慌)帖代入察(禁4-35社)移中，可以示得到宇此时独立枯的弹性常臭数只绣有穗9送个，用矩航阵表示为怨既对注oxy密面对称，摘又对室oyz爬面对称的皇材料，必喇定对易ozx朽面对称，见因此追有殃3除个对称面茎的材料的追弹性应力报应变关系黄为保(续4-37旁a制)忘(抗4-37踢b蚕)区(决4-37绑c黎)让(体4-37赴d袜)盾(幕4-37笼e朵)壮(筐4-37宵f度)物具有各向葱同性面的剩弹性材料门假如过弹失性体中的崖任意点都拐有一个平雷面，在这迁个平面内男，从各个狐方向看，纽弹性关系心都相同，辨我们进一理步假定挣oxy污面和平行皇于甚oxy注面的平面粥就是这样育的各向同县性面。凑z哥轴垂直于逼该面，而掘x格、道y野轴位于该瓣面内。讨群论在这种新情况下的阳弹性应力和应变关系狂，最方便时的是将果x菜、务y摇轴绕骡z叙轴旋肝转奴90祝0悄，得到新许的坐标系姑ox等/乱y血/耽z煮/铜，新系和绘旧系之间气的关系如卸下表4-3图4-3表4-3图4-3砌x且y制z与x床/伞0肾1猜0朝y石/啊-1楼0崭0昏z阶/慧0敞0悬1众在这种情陶况下新旧路坐标系之饼间，应力讲分量和应塔变分量的吨关系为盾(遍4-38澡a既)厅(所4-38嘱b睛)套利用晶(合4-37讲)涛和挤(犯4-38穴)费将以上诸婆式与蚀(晋4-37毕)昏比较可得损因此爽(篮4-37近)篇变为茂(远4-38贵a贱)座(苗4-38期b浇)州(畏4-38愤c砍)欠(坑4-38凡d旺)塑(以4-38暖e插)喝(各4-38巷f屡)习独立的弹蠢性常数录有伐6社个，用矩凭阵表示为信然后将坐类标系俊oxyz芹绕题z聚轴祸转英45洪0墓，得到新暗坐标系蔽ox塔/数y退/韵z贫/危，新旧坐类标系的关恐系如下图4-4图4-4眠x扇y绪z滤x味/胀0雅y奶/柴0敏z煤/钉0税0值1表4-4表4-4榜按照同样狐的方法，论可以得到泊因此陆(贝4-38象)喉式变为碧(笋4-39两a踢)鞋(伸4-39指b病)剧(对4-39懂c广)墨(下4-39先d)幼(环4-39手e灯)去(该4-39舅f话)验具有一个剩各向同性钥面的弹性呀材料称为墓横观各向浸同性材料季，这种材氧料的独立污的弹性常蛮数修有意5浪个。酱完全各向鞋同性的弹体性材料琴将凑oxyz驶坐标系绕兴x轰轴摆转朋90估0蜜，新旧坐艘标系的关复系如下所舅示敌x窃y概z居x爆/牛1截0爆0溉y治/雾0骑0昏1条z幕/工0伏-1关0图4-5图4-5表4-5表4-5可以得到济此时音(稠4-39榨)怜变为迈(之4-40稻a会)竞(或4-40布b倾)袜(孤4-40秀c驴)禾(箩4-40序d设)嗽(蜘4-40杠e建)什(妥4-40剩f虾)岸令谱，则这种时弹性材料贼具有三个跟独立的弹谋性系数，疾用矩阵表岂示为迎应力应变摩关系为宿(端4-41君a狮)即(舰4-41建fb含)掩(驾4-41协c撕)能(链4-41岂d颤)晒(稻4-41培e翻)菜(畅4-41尺)追若再将箭oxyz课绕年y颂轴喜转酷90爽0刊，得到环ox本/水y研/押z凝/辫如下图所餐示图4-6图4-6券不再得到秃新的结果员，这表明鲜由左(恩4-41旅)临确定的应乘力应变关死于三个坐赖标方向都交是弹性主诊方向。若令稼则贿(先4-41折)垂式可写为市(怀4-42斑)式中循现在将坐讨标系昏oxyz符绕某杯轴疯(岩如姨z选轴蛾)张旋转任意查角度船θ拉，得到新闻坐标系庄ox舍/北y懒/购z傅/暗，新旧坐住标系的关仰系如下表4-6图4-7表4-6图4-7和x征y碎z株x肢/齐cos议θ行sin辨θ址0南y捐/储-sin夕θ霞cos遵θ岗0茄z会/变0施0祸1苹利用坐标窄变换关系丑可以得到井(债2-++辅)陵(慎2-++许)勾将宾(枕2-++打)骡式和浊(蜘2-++泪)韵式第一式抖代入盏(钞4-42呀)拖的第一式糠，并注意榴到页是不变量郑，可得园整理上式眠可得裁(贫4-43霉)浙由于角度匙可以取任隆意值，因火此上式要传求斑整理上式侨可得到风由于录可以取任苹意值，上乔式要求复上面的结科果与超(切4-42对)极的前两式鬼相同。稼θ全角任意还户要求精将婶(岸4-42子)偶的前两式悄相减，可破以得到上懂式，因此题上面的结岩果与役(袋4-42叛)慈式不矛盾戚。鬼东率在查θ农角任意的渡情况下，突下式必须绝成立州将上式与扰(咬4-41储)伐式的迫第煌6催式相比，响得到查(亩4-44腰)江这样我们毯得到了均广匀各向同贫性的线弹藏性材料的村应力应变传关系茂(绸4-45盖)夜式中躬称为拉梅逮系数。我见们看到各换向同性的阵线性弹性捐材料，只剥有素2戏个独立的链弹性常数长。张以上是从只热力学导耳出的用应洗变表示应挤力的弹性议应力关系岁。从上式最可以导出鞠用应力表牧示应变的粪弹性应力仅应变关系析除烤将交(巷4-45勇)苦前三式相敬加，可得絮(刚4-46望)即烈(争4-47他)竹将宅(续4-47滑)音代入塌(氧4-45弓)璃的第一式因，可得红以上各式服中府是剪切模液量，以后子我们总是卧记逼为滤G偏，而记泊摔松比为遇，因此考抹虑到上式脑，水(尸4-45犬)也变为腾(涨4-48汽)赚第三练节阴士戏各向同性毯弹性介质饭的弹性常激数说拔耐在各向同批性介质中邻，除了弹酱性常数锈以外，为锁了便于实饭验测定还佳引入了其辣它弹性常旺数，比如肃考虑简单眼拉伸和纯将剪切时的皱弹性模则量驻(卷杨氏模毕量飞)鸦，剪切模绝量和泊松狂比。优凉鄙设在简单简拉压试验织中，拉伸日方向平行等于扮x兽轴，则此旬时物体内词的应力状头态为纽从称(4-4妇8堤)织式，此时津(束4-49恶a掘、谜b呆)影疗钳另一方面午，简单拉裤伸实验指坏出，一个穷平行六面骂体济(角弹性骂体惩)瘦单向受拉萝时，严x裤方向伸长摔与酸成正比，呆与之垂直锅方向则成崖比例缩短份，同时保妙持直角不那变，因此店为方便起派见，引入塞以下参数仓：颈(零4-50摩a胸、累b潮)渴比较华(斜4-50亚)寒与衬(推4-49惰)地可得畅(搬4-51怨a蔽)即旗(驳4-51健b肤)剪由于拉应巡力产生拉五应变，压根应力产生昂压应变，菌即方程萄(祸4-51户a聋)纱两端同号寿，因此E>0坦下面从稀(虫4-51凉a单、吹b填)汇解出由，从反(醉4-51透b外)痰将上式带吹入妄(取4-51诊a柳)即因此居(搅4-52悄b茎)匙由企和上式可烫得因此办(覆4-52曲a秆)该从材料力度学知道，市广义虎克帐定律为绕(层4-53盗)珠将测(办4-53堤)辛的前三式卵相加，得稍到傻由于球应仿力厌是仅产生板体积变形壮的各向同岸性的应力享，引入球诉应力，上商式可写成抱(史4-54睡)照式中初是体积应论变，因此啄(痕4-55彼)佳是体积模博量。嚷K得也可以用漠拉梅系数证表示，从反(肥4-47卖)估可得即因此泰(秤4-56赞)瓶潮榴现在考虑矮纯剪试验脏，设剪应惊力作用于厉x摩、辛y科面，于是蒜物体内的步应力状态党为泼同时，应松变为旗这样由纯皂剪试验给训出双(误4-57新)惰这表明拉顾梅系数中式的庄G安是剪切模喂量。影宴怖以上，我殊们引入了喂5茅个弹性常只数，它们炭中只有两劲个是独立疫的。除了呼上面的关铺系以外，原它们之间剂还有其它哲关系。据黑南在剪切试况验中，正秆的剪应力四产生正的盆剪应身变系(撒说斤明眼)馆，因此旨(它4-57签)骂两端同号刺，这要求厘G搂>披0摄。而在静杰水压力试甚验中，各架向同性体归积应力手产生各向旺同性的体修积压缩，朽此时探，这表明侨(堵4-54风)遇的两端必追须同号，击因此电K奏>须0愈。这样，纵E络、烘G轧和是K柱都必须大颂于零，即所由于辱E蚊>伙0灿，上面的障式子要求降。因此，涂可以导出少，即驳(途4-58模)器担息在实际测剂试中，还交没有发现晃的情况，丛以后用应仇变能的正对负性可以懒证明唱。孙贯见当刑时，从证(血4-55洗)攀可以看出况，此时累，这意味槽着体积不疏可压缩。李因此肆是体积不断可压缩的苹条件。蚕第四高节诚殖肯弹性应力档应变关系待的其它表得示形式病(展4-45疲)谜是线弹性膊、小变形终体的应力向应变关系用，是以应继变表示应笨力。广义示虎克定律泪(饮4-53绢)饭也称逆线介性关系，狐用应力表辛示应变。糊什解弹性应力栋应变关系炉还有一种悦常用的表万达方法。耀广义虎克基定律可以扁改写为如联下形式，狼比如驼从上式两殿端同时减药去醋，并利用弟(它4-54聚)汗可得到即蜜同样可以城导出其它耽两个关系饥式，这样耳广义虎克悠定律可表晃示为敞(绸4-59岔)骡用张量表情示可得棚(刚4-60理)司因为已经挑利用了递(摔4-54牛)励，麻(尿4-59赞)吃和队(产4-60香)婆形式上专是蚀6傍个方程，角实际上只笋有升5享个方程是原独立的，开因此还要墓补充周(示4-54架)绪由播(道4-60北)敌和滤(披4-54堡)碑组成的方允程是弹性鸣应力应变伴关系的第吨三种形式朴。在粘弹中性力学中没使用的本句构方程与早上面这组朗方程类似资。赴第五抚节挪傲笑应变能的扶正定性远热力学第睛二定律的皮三种表述笋(1辞)等、开尔文勾表述：从柳单一热源柿吸收热量僚，使之完和全转化为丢有用功而狼不产生其花它影响的赠第二类永愧动机是不咱可能造成恐的。嫂木(2齐)际、克劳修铃斯的表述疗：把热量牧从低温物毛体传到高门温物体而唱不引起其详它变化是碎不可能的来。辱腥(3护)蜂、熵增原接理：自然午界中发生私的一切热弊力学过程粥都不会使签熵产减少梳。即呈(淘4-61梅)卸式中侍供熵，屿产熵馆(剂4-62蛇)远(4-如63)违从热力学创第一定律鹊，得到炎。而从井，厕可以得到积由于熵产化，陶T妨是绝对温钱标，公T弱>劳0观，因此欺(最4-64浓)之等号仅在粪时成立。默考虑到热也力学第一族定律上式阳变为抢(喇4-65谷)棋对于绝热顾过程动，上式变叠为钟(烘4.66良)哀对于等温猾过程，自宫由能为贵(碑4-67净)隆注意到等礼温过程捞T项=丘cons宪t抢，则从上蹦式可以得能到倦(摔4-68樱)臂将侧(唇4-68昏)讲代入物(论4-65研)派式得到帅(司4-69评)和涌(纽4-70役)婚等任熵堵(杀绝屿热尼)苍过程中，童内能舞U沟是应变能弹，等温过扎程中，自劝由能偷F静等于应变底能，因此王以上两个厦不等式可俗以统一地污写为锋(芒4-71桨a负、补b污)吓此处罪E曲是应变能维，砍U粱也指应变造能。上式全表示在可闸逆过程中筒，外界的圈功全部转亭化为物体疑的动能和劈应变能，钻而在不可命逆过程中棒，只有一期部分转化系为应变能迈和动能，锦剩余部分金将以热或骨声的方式适耗散掉。驳坊创若将加载兽前物体所慢处的热力豆学平衡态贿选为无应垄变的自然从状容态馆(绝有应变也朽无原则困棕难慧)挪，加载后仿的平衡态医视为干扰齐状态和变俊形状态，粥现在来证凶明，只要帆自然状夕态借(尘初始状堵态极)房是物体的逗稳定平衡痰态，则应朱变能是正幸定腥的尝(姥即总大于穴零废)嫩。徐积急考虑自然盆状态到变更形态的准岔静态加载劳过凶程取(转这里指等窜温过程，捞不包括绝半热过程或打动力学过岭程年)求，此时动好能岩dK护=昆0章，且过程鼻是可逆的窜，因此暗dU羽=挑DA爹。而在这本个过程中穿，应变能杆作正功肃DA琴>绵0培，因此上铅式要求烫dU求>眼0熟。自然状的态下弹性层体的应变笼能为零，环则腥dU攀>艺0偷表示变形获状态的应补变能魄U见总大于零牌，即应变序能是正定矩的。霉声肤应变能的链正定性限店制了弹性哀常数的取脱值范围。骡第六凝节肿欠刑各向同性释弹性体的饭应变能候旷待在前面的三讨论中，很已经证明啊应变能函丢数为云(找4-31键a获，导4-32害)魄式中缎i享、颜j悬遍历颂x奶、青y坡、垂z毅，将其展多开为分量剂形式，有这(暂4-72泻)爬(羡4-31湾a捡)岂、永（脊4-3某2表）碰和可(衔4-72惨)携和表明，包尽管盈和妇只有六个危独立的分蜻量，但它筒们实际拍是扔9下个分量组牧成的整体个。因此，盆在计算应猎力袜在应变轧上的功时闪，需要将叔所有的应稼力分量的雅贡献都计甚算上。去(救4-31孟a黄)填、脱（预4-3是2网）念和结(必4-72播)拔是从热力蓄学得到的医，还可以脉采用更直者观的方式嗽，从力学楚角度导出裳应变能的雄上述表达淡式。区讨论下图拿所示物体惠，该物体咬仅受遥的作用。图4-8图4-8锅设应力在鸟空间上不倾变化，即荐物体两端知面的应力竖相同，但朽在变形过鹅程中应力鉴是变化的瘦。研究应怪力在物体辞变形上的待功。由应借力骂作用在梢AD夺边上的力爬为牙，假AD氏边的位移瞒为邪u澡，按位移隙分析，在哑BC病边上的位峡移为示，注意到敢在隐x扩正面上，炉即腹BC倾面上，力夏与位移方更向相同，况但在纲AD亏边上，力云与位移方都向相反。职因此，由名物体两端洞作用的应驼力昌对物体的候功为让式中会和昌可称为针元位移筹，之所以猾取唱元位移疤是考虑到朋在位移过干程中永是变化的恨，但按无尘限小分析疑的思想，劈可以认为张只要姜元位移廊足够小，冈则在费元位移核上锦可以视为澡不变。这窃样，由应绝力友作用在物盒体搭元位移请上的总功锁为忘还会引起根物体在瓣y汤方向和宇z期方向上的筛变形，由江于纱垂直于当v漠和户w劣，因此，话对这两个销方向的位糟移，应力归上不作功劲。此外，帮、俗对然x灿方向的位列移也有贡满献。基于榆同样的理译由，它们倦对衰x漆方向上厌元位移写的功也为浮零。这样佛在物体的丑应变从零吴发展到吊的整个过长程中，应帜力郊的功为饮(悬4-73里)箩上式中积粥分变量是护，堪是图的函数，杂因此上面泪的积分可贝写为腊由于只需事要考虑风x灿方向的应代变，可将剥一维应力课应变关系剃代入上式潮积分，得渗到箭(逮4-74戒a慕)惊同样，可腊以得到屋(滩4-74难b讯、粥c循)aa、变形前b、变形后图4-9岗下面考虑穿剪应力在陈物体变形蝶上的功，搅设在凡x断正面和负娱面上的剪用应力咳相同，但蚕在位移过椅程中是变魔化的。在攀AD伞面和溪BC材面上，剪称应力产生焦的作用力勉为愚。增AD颜面在阶y元方向的位爷移为加v磁，按位移语分析，建BC株面在右y疯方向上的贷位移为其，柿v围与撕y滨正向相同处，因此在汉AD团面上剪应浪力或做负功，庙在颠BC扶面上剪应需力浩做正功。挎这样在集x恳的正、负狂面上，剪任应力在晴元位移恶上的总功工为叹(防4-75凉a诊)例在收y聪的正、负仁面上剪应锅力麻引起的变意形如下图底所示图4-10图4-10兰在负刘y输面上，拌与位移相包反，在正逃y盗面上，保与位移方枝向相同。沉因此，在奇y铲的正、负沟面上，剪这应力较在角元位移啄上的功为屈(痰4-75打b庙)镇迭加园(贱4-75猫a团、卷b朋)尼可得，在乖x渴的正、负蝴面和江y玻的正、负上面上的一渡对剪应力前和倘在雷元位移换上的总功梳为木在本全部位移瞧(菊应福变跌)歌上的总功钉为畜将眯，代入上姻式后可得及(聪4-76阿a矮)领类似地可梯以得到因(肆4-76述b跟、绪c宴)漫这样，所糟有的应力成分量，在滚单位体积举上的功为墙(使4-78互a背)爷在微元体辣dV御上的功为箩(躺4-78葬b董)博(卷4-78俯a垂)悉式与甘(询4-72眼)依式相同，价这样，我未们从力学横的角度，环再次导出咱了锤(糖4-72替)觉式。维W酸0村被称为应敬变能函数秆，也可称幻为应变能痒密度，表范示在单位闻体积上，盈应力对应厌变的功，躁在全部的姨体积上，才应力对应体变的功为奶(投4-79康)趋将应力应奉变关系荡(灯4-45陆)秤代入绵(骆4-72痛)右或樱(劫4-78袖a慰)昂，得到黎(庭4-80亿)梢将催(荷4-53帆)忠代入刷(留4-31窃)供，得到惠(光4-81爸)掌(载4-80企)哗和凤(切4-81汁)驶式表明应住变能密度我是应力或很应变的二茅次齐次式涌。扭将及(户4-80氧)垦式两端对尤应变求导撇，可得帖(喘4-8