利用函数性质与图像比较大小

全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：(一)利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：/G)在[a,b]单调递增，则Vx,xe[a,b],x<xofQ)<f(x)(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与1 2 1 2 1 2函数值大小关系的桥梁)2、导数运算法则：(1)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x){fX(f(x)]f,(x)g(x)-f(x)g1(x)(2)[E]= F2H) 3、常见描述单调性的形式(1)导数形式：f、(x)>0nf(x)单调递增；f'(x)<0nf(x)单调递减(2)定义形式：f(xi)-f(x2)>0或(x-x)rf(x)-f(x力》0:表示函数值的x-x 12L1 2」1 2差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：(1)此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整(3)在比较大小时，通常可利用函数性质(对称性，周期性)将自变量放入至同一单调区间中进行比较

全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若fG）关于x=a轴对称且（。,笆）单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若f（x）关于x=a轴对称，且（a,+8）单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小三、例题精析：全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)例1:对于R上可导的任意函数fG)，若满足<0，则必有(A.f(1)+f(3)<2f(2)f(1)+f(3)>2f(2)B.f(1)+f(3)<2f(2)f(1)+f(3)>2f(2)思路：由f6<0可按各项符号判断出(2-x)与f'(x)异号，即x<2时，f'(x)<0,x>2时，f'(x)>0 /.f(x)在(—%2)单调递减，在(2,+s)上单调递增.•.f(x) =f (2)，进而f(1)>f (2),f (3)>f (2) .•.f (1)+f(3)> 2f (2)min答案：C:小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。例2:已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x牛0时，f(x) 1(1、f,(x)+ >0，若a=—f一,b=一2f(-2),c=ln2f(ln2)，则下列关于a,b,c的x 212；大小关系正确的是()A.b>a>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的a,b,c的结构均为xf(x)的形式，故与不等式找到联系。当x>0时，f,(x)+，(x)>0nxf,(x)+f(x)>0，即(xf(x))>0，令g(x)=xf(x)，由此可得xg(x)在(0,+s)上单调递增。f(x)为奇函数，可判定出g(x)为偶函数，关于j轴11对称。a=g-,b=g(-2),c=g(ln2)，作图观察距离j轴近的函数值小，ln2与127

全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)可作差比较大小：ln2—1=1(2ln2-1)=1ln4>022 2e进而可得：b>c>a答案：D例3:函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=fQ-x)，且当xe(-*1)时，(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=fI11c=f⑶，则a,b,c的大小关系是( )12)a>b>a>b>cb>a>cb>c>aD.c>a>b思路：由fc>a>b思路：由f(x)=f(2-x)可判断出f(x)关于x=1轴对称，再由(x-1)f(x)<0，可得x<1时，f'(x)>0，所以f(x)在(-*1)单调递增，由轴对称的特点可知：f(x)在(1,+s)单调递减。作出草图可得：距离x=1越近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离x=1的远近即可判断出b>a>c答案：B例4:已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0,1］上是增函数，则f(-5.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )ff(-5.5)<f(0)<f(-1)C.f(0)<f(-5.5)<f(-1)f(-1)<f(-5.5)<f(0)D.f(-1)<f(0)<f(-5.5)思路：f(x)的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：f(-5.5)=f(0.5)，而由f(x)偶函数及［0,1］单调递增，作图可知在区间［-1,1］中，距离j轴近的函数值小，所以有f(0)<f(0.5)=f(-5.5)<f(-1)

全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。例5:已知函数fG+1）为偶函数，当X£（1,+8）时，函数fG）=sinx-x，设（1'a=f-—，b=f（3）,c=f（0），则a,b,c的大小关系为（ ）I2）a<ba<b<cc<a<bb<c<a D.b<a<c思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析fG）的性质，由fG+1）为偶函数可得：f（-X+1）=f（X+1），从而fG）关于X=1轴对称，当Xe（1,+s），可计算f'G）=cosX-1<0，所以f（X）在（1,+8）单调递减，结合对称性可得距离对称轴X=1越近，函数值越大，所以f（3）<f[-1]<f（0）I2）答案：D小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对f（x）=sinx-X的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。例6:已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0,+s）上是增函数，令全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）b=fcos—b=fcos—l7，则a,b,c大小关系为r.2九a=fsin—l/7J 5兀，c=ftan—l/思路：由/G）为偶函数且在（0,+8）单调递增可得距离y轴越近，函数值越小。所以需比较 a,b,c 自变量与y轴距离5兀

cos——72兀cos——7=cos—,tan—=tan—=tan—5兀

cos——72兀cos——7=cos—,tan—=tan—=tan—2兀 2兀 2兀，则需比较sin——,cos一,tan——7 7 7的大小，因为停吟2兀 2兀- 2兀所以tan——>1>sin——>cos——，所以c>a>b答案：c>a>b小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现a,b,c涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一,以便于比较；二是利用好，，桥梁”，比较的关键之处在与亍这个角的选择,这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以，斤一一―一. .一..一 （立、.一的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，ae|0,-1时,sina<cosa;7兀兀\」-,-时，sina>cosao42)例7:已知函数y=10g2G+1），且f(a)f(b)f(c)a>b>c>0，则U , , 的大小关系abc是（f(f(a)f(b)f(c)A. > > abcf(c)f(b)f(a)B. > > cbaff(bff(b)f(a)f(c)C. > > bacDf(a)>f(c)>f(b)

acb全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)思路：本题具备同构特点y=/3=10g2G+"，但导数x xY——X -10g(X+1)y=(X+1)1n2——2 难于分析f(x)单调性，故X2无法比较fa,3,©的大小。换一个角度，可发现f(x)的图像可作，且应abc x具备几何含义，即虫=乂止，，即Q,f6))与原点连线的斜率。所以作出f(X)XX一0的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由f(c)f(b)f(a)a>b>c>0可得： > > cba答案：B例8：已知函数f(X)在R上可导，其导函数为f'(X)，若f(x)满足：(x一1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2一x)=f(x)e2-2x则下列判断一定正确的是( )A.f(1)<f(0) B,f(2)>ef(0) C,f(3)>e3f(0)D.f(4)<e3f(0)思路：联系选项分析条件(X-1)[f,(X)-f(x)]>0:当X>1时，1(X)-f(X)>0,"(x)-exf(x)>0即[虫]>0令F(X)=虫,F(X)在(1,+s)单调递e2x IexJ exe2增，而选项中f(1),f(0)均不在单增区间中，考虑利用f(2-x)=f(x)e2-2x进行转换。首先要读懂f(2-x)=f(x)e2-2x说的是f(2-x)Vf(x)的关系而2-x与x刚好在x=1的两侧，所以达到一个将x=1左侧的点转到右侧的作用。在f(2-x)=f(x)e2-2x中令x=2可得：f(0)=f(2)e-2=巫，可代入B,C选项进行比较，C正确。而A,D两个选项也可以代入进行验证。e2全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)答案：C小炼有话说：由于(ex)=ex，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所以对于形如/a)-f'G)>0,/G)+f'G)>0等轮流求导的式子可猜想隐含”项，进而结合选项进行变形例9：定义在［0,口上的函数f(x)，/(x)为它的导函数，且恒有f(x)<f'(x)•tanxI27成立，则(A.兀)47C.兀\A.兀)47C.兀\6厂于1思路：尽管发现f(x)<f'(x)•tanx存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现规律：f(1)<2fSsinlo0

sinl.兀

f(1)<2fSsinlo0

sinl.兀

sin—6f(.7

If2「率。<3・兀 ・兀sin一sin一4 3等，不等号两侧均为f(x)「y=勺的形式，其导函sinx'f(x))' f'(x)sxnxfoxs(sinx)2于(是)考虑构造条件中的不等式：f(x)<f'(x)•tanxnf(x)<S1nxf'(x)/.sinf'(x)-cosxf(x)>0cosxf'(x)sinf'(x)sinx-cosxf(x)(sinx)2Isinxf(x)(兀、一— ..>0,y=上在0,-上单调递增，根据单sinx调性即可判断四个选项是否正确全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)答案：D_ _11、x, / \1111、x.例10:设X,X,X均为头数，且- =log(x+1),|- =logX，一=logX123 13) 21 13) 3213) 23则X1,X2,X3的大小关系为( )D.x<x<xA.x<x<x B.x<x<xC.xD.x<x<x思路：本题单从指对数方面，不便于比较X1,X2,X3大小。进一步可发现X1,X2,X3均可视为两个函数的交点，且每Ax一个等式的左侧为同一个函数y=1，而右侧也都13)可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出X1,X2,X3的大小答案：A三、历年好题精选1、(优质试，，内江四模)设函数f(X)在R上存在导数f'(X)，在(0,+8)上1、(优质试，f'(x)<sin2x，且VxeR，有f(-x)+f(x)=2sin2x，则以下大小关系一定正确的是()A.B.(兀、f(兀A.B.(兀、f(兀)(C.f(VD.f(q[<f(-兀)V4)2、(优质试题，福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1，其导函数f'(X)满足f'(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )A.B.C.D.A.B.C.D.全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）3、(优质试题，陕西文)TOC\o"1-5"\h\z/(x)=lnx,0<a<bp=f^Jab\q=fa+-,r=-/(〃)+/(/?)],则下列I2J2L 」关系式中正确的是( )A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q4、(优质试题，天津)已知定义在A上的函数/G)=2i-lGneR)为偶函数，记〃=/(log3),Z?=/(log5),c=/(2m),则a,。,c的大小关系为( )' 0.5 2 'A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a5、(优质试题，山东)已知实数羽〉满足公<。)(0<〃<1),则下列关系式恒成立的是( )A.—1—>—1— B.In(x2+1)>ln(y2+1)X2+1y2+1 "C.sinx>siny D.〉〉36、已知/(x)=logx(a〉1)的导函数是/'(x)，记A=f=/G+l)-/G)a,。=尸(〃+1),则( )A.A>B>CB.A>C>BC.B>A>CD.C>B>A7、定义在H上的可导函数/（x）,当xe（l,+oo）时，/（4）+/（工）<对>，（X）恒成立，〃=/（2）/=L/（3）,c=0?+1U）,则见仇c的大小关系为（ ）A.c<a<b B.b<c<a C.a<c<bD.c<b