第二章重心及截面的几何性质分解

第二章重心及截面的几何性质分解第一页，编辑于星期日：点三十二分。第1页，共25页。第一节重心重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。一、重心坐标公式将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、zC。将各Wi向重心C简化：物体的重力为：第二页，编辑于星期日：点三十二分。第2页，共25页。应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有将物体随坐标系一起旋转90°，使y轴铅垂向下。对x轴应用合力矩定理，有：

物体重心C的坐标公式为：第三页，编辑于星期日：点三十二分。第3页，共25页。二、均质物体的重心公式若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，均质物体的重心又称为形心。代入重心公式得：以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有和，第四页，编辑于星期日：点三十二分。第4页，共25页。如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式：第五页，编辑于星期日：点三十二分。第5页，共25页。三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式

厚度为δ均质平板，其重心在其对称面内。取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零。设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微小部分的面积为ΔAi，重力为Wi，，平板的重力W=

第六页，编辑于星期日：点三十二分。第6页，共25页。该式亦为平面图形形心公式。无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为：代入重心公式，得均质平板的重心公式：第七页，编辑于星期日：点三十二分。第7页，共25页。对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。1.观察法

2.组合法将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。四、确定重心的常用方法第八页，编辑于星期日：点三十二分。第8页，共25页。3、负面积法形体上若有挖去的部分，把挖去的部分视为负值（负体积或负面积），利用坐标公式来求形体的重心。4、积分法对规则形体，适当的选取微元，可用定积分求重心。第九页，编辑于星期日：点三十二分。第9页，共25页。例4-1角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。解：（一）组合法取Oxy坐标系如图所示。第十页，编辑于星期日：点三十二分。第10页，共25页。（二）负面积法

第十一页，编辑于星期日：点三十二分。第11页，共25页。xy例4-2第十二页，编辑于星期日：点三十二分。第12页，共25页。例4-3

用积分法求扇形重心公式。θdθdA=

解：第十三页，编辑于星期日：点三十二分。第13页，共25页。

(1)悬挂法

4.实验法

过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB，过D点将板悬挂，得DE线，两线的交点为板的重心。

问：悬挂法的依据是什么？二力平衡公理第十四页，编辑于星期日：点三十二分。第14页，共25页。(2)称重法

先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。

图示连杆，秤得其重量为W，第二次秤的读数等于秤对连杆的约束反力。由平衡方程FNBFNA第十五页，编辑于星期日：点三十二分。第15页，共25页。第二节截面的几何性质一、静矩设该平面图形的形心C的坐标为xC、yC，

若xC=0、yC=0，则Sy=0、Sx=0。可见，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。

第十六页，编辑于星期日：点三十二分。第16页，共25页。二、惯性矩和惯性积1.惯性矩惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。i：惯性半径

组合图形对某轴的惯性矩

2．计算惯性矩的平行移轴公式第十七页，编辑于星期日：点三十二分。第17页，共25页。4.惯性积极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。

3.极惯性矩惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。第十八页，编辑于星期日：点三十二分。第18页，共25页。

如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯性主轴。通过形心，则称为形心惯性主轴，图形对这对轴的惯性矩称为5.惯性主轴若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零。该对坐标轴称为惯性主轴，对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩。若惯性主轴形心主惯性矩。

第十九页，编辑于星期日：点三十二分。第19页，共25页。例4-3试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1

。解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则dA=bdy。

再取与y轴平行的狭长条为微面积

根据平行轴公式

第二十页，编辑于星期日：点三十二分。第20页，共25页。例4-4试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形心轴x、y的惯性矩Ix、Iy。解：（一）圆形在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细圆环为微面积

第二十一页，编辑于星期日：点三十二分。第21页，共25页。圆形是中心对称的图形，对x轴和y轴的惯性矩相等，即Ix=Iy。将计算Ip的积分式的积分上、下限对应改为、

（二）圆环形第二十二页，编辑于星期日：点三十二分。第22页，共25页。一、重心公式1.一般物体2.均质物体3.均质平板小结

第二十三页，编辑于星期日：点三十二分。第23页，共25页。二、确定重心的常用方法1.观察法；

2.组合法；