力法计算示例

17.4力法计算示例17.4力法计算示例17.4力法计算示例用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选取基本结构。去除多余约束，代之相应的多余未知力，得到一个在原荷载与多余未知力共同作用的静定结构作为基本结构。（2）建立力法典型方程。根据基本结构在去除多余约束处的位移与原结构相应的位移一致的条件，建立力法方程。（3）计算力法方程中各系数和自由项。一般用图乘法计算，为此，应分别制绘出基本结构在单位多余未知力都等于1作用下的内力图和荷载作用下的内力图；如用积分法计算，则需要写出内力表达式。然后按求静定结构位移的方法计算各系数和自由项。（4）解方程求多余未知力。将计算所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力。（5）绘制原结构的内力图。17.4力法计算示例一、超静定梁与刚架的计算用力法计算静定梁和刚架时,通常忽略轴力和剪力对位移的影响，而只考虑弯矩的影响。因而,力法方程中系数和自由项的表达式为：

17.4力法计算示例例17-1

如图所示两端固定梁，跨中受集中荷载F作用，作M图和Fs图。解：

(1)选取基本结构：这是一个三次超静定梁，撤去A、B两端的转动约束和B处的水平约束，得到基本结构，即简支梁，如图所示。梁一般不考虑轴力影响，所以可直接判定：X3=017.4力法计算示例(2)列力法典型方程基本结构应满足原结构在A、B端的转角等于零，以及B端的水平位移等于零（已经自动满足）的变形条件，因此力法方程为

11X1+

12X2+1F=0

21X1+

22X2+2F

=017.4力法计算示例(3)绘制基本结构的弯矩图分别绘基本结构在、和荷载单独作用下的弯矩图、和MF图，如图所示。

17.4力法计算示例(4)计算系数和自由项：利用图乘法，得17.4力法计算示例(5)解方程求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得16X1－8X2+3Fl=0

－8X1+16X2－3Fl=0联立求解前两式得：

17.4力法计算示例(5) 作最后内力图利用基本结构的单位弯矩图、图和荷载作用下的弯矩图MF图，按叠加公式绘出最后弯矩图。利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出杆端剪力，并绘出剪力图。如图所示。17.4力法计算示例思考：在本例题中，如果去掉左边或右边固定支座的三个约束，选用悬臂梁作为基本结构，又该如何求解？力法的典型方程、系数和自由项的求解有什么异同点？17.4力法计算示例例17-2

计算如图所示刚架并作最后内力图。解：(1)选取基本结构这是一个两次超静定刚架,撤去刚架B处的两根支座链杆,代之以多余未知力X1和X2,得到基本结构,如图所示。17.4力法计算示例(2)列力法典型方程基本结构在多余未知力和荷载的共同作用下，B点的变形（位移）应与原结构在B处的水平位移及竖向位移为零的变形条件相等，因此力法方程为

11X1+

12X2+1F=0

21X1+

22X2+2F

=017.4力法计算示例(3)绘制基本结构的弯矩图分别绘基本结构在、和原荷载单独作用下的弯矩图、和MF图，如图所示。17.4力法计算示例（4）利用图乘法计算系数和自由项（图乘看脚标）17.4力法计算示例(5) 解方程，求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得联立求解，得：17.4力法计算示例(5)作最后内力图多余未知力X1、X2求出后,便可在基本结构上利用平衡条件计算出其余支座反力和各杆的内力,即得原结构的全部支座反力和内力,再作出内力图。通常作内力图的次序为：先作弯矩图,后利用弯矩图作出剪力图,最后利用剪力图作出轴力图。17.4力法计算示例1) 作弯矩图利用基本结构的单位弯矩图、图和荷载作用下的弯矩图MF图，按叠加公式

即将X1＝36.67kN乘以图加上X2＝－5.93kN乘以图,再叠加MF图，得到最后的弯矩图如图所示。如：

17.4力法计算示例2) 作剪力图和轴力图：将求得的X1＝36.67kN、X2＝－5.93kN

,代入到图基本结构中，求出各杆端的剪力、轴力值后，即可绘制剪力图和轴力图。17.4力法计算示例另外，也可以逐杆取隔离体，根据各杆已知的杆端弯矩值，由平衡条件求出杆端剪力，然后绘剪力图。以杆AC为例，隔离体图如图所示，杆端剪力FSAC、FSCA可由力矩平衡方程求出。17.4力法计算示例绘制完成剪力图以后,可以截取每一结点,考虑其平衡。由各杆端的剪力根据平衡条件可求出各杆的轴力。以结点C为例，隔离体图如图所示，隔离体中作用有已知的杆端剪力FSCB、FSCA，则杆端轴力FNCB和FNCA可由投影平衡方程求出特别指出：剪力图和轴力图均要注明正负号。17.4力法计算示例【思考】在本例题中，基本结构的选取还有哪些结构形式，如采用这些作为基本结构，力法求解的典型方程、系数和自由项有什么区别？17.4力法计算示例二、铰接排架的计算如图为单层工业厂房中承重部分的简化示意图,是由屋架（或者屋面大梁）、柱和基础构成的。在排架中,通常将柱与基础之间的连接简化为刚性连接,将屋架与柱顶之间的连接简化为铰接.当屋面受竖向荷载时,屋架按两端铰支的桁架计算.当柱受水平荷载和偏心荷载（如风荷载、地震荷载或吊车荷载）作用时,屋架对柱顶只起联系作用.由于屋架本身沿跨度方向的轴向变形很小,故可略去其影响,近似地将屋架简化为轴向拉压刚度无穷大（EA→∞）的链杆.另外,在厂房的柱子上,还需要放置吊车梁,因此常常往往做成阶梯形变截面柱。17.4力法计算示例对排架进行内力分析,主要是计算排架柱的内力,如图所示为单跨排架的计算简图。铰接排架的超静定次数,在数目上等于排架的跨数.用力法计算时,一般把链杆作为多余约束,切断各链杆代以多余未知力,得到基本结构,再根据切口处两侧截面的轴向相对位移为零的条件,建立力法方程。因链杆的刚度EA→∞,在计算系数和自由项时,忽略链杆轴向变形的影响,只考虑柱子弯矩对变形的影响.因此,系数和自由项的表达式仍为式（17－5）.17.4力法计算示例例17-3如图所示为一单跨排架,已知柱上、下段的抗弯刚度分别为EI和2EI，排架承受水平风荷载12kN/m，试作该单跨排架的弯矩图。解：(1)选取基本结构单跨排架为一次超静定结构，将横向链杆切断，代以一对水平多余未知力X1，得到基本结构如图所示。17.4力法计算示例(2)建立力法典型方程根据基本结构在多余未知力和荷载的共同作用下，链杆切口处两侧截面的轴向相对水平位移等于为零的变形条件，可建立的力法方程为：

11X1+1F

=0

(3)作基本结构的弯矩图分别绘出基本结构在和原荷载单独作用下的弯矩图和MF图，如图所示。17.4力法计算示例(4)用图乘法计算系数和自由项17.4力法计算示例(5) 解方程，求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得：解得：(6) 作内力图按叠加公式得到最后的弯矩图如图所示。17.4力法计算示例三、超静定桁架计算超静定桁架在结点荷载作用下，杆件内力只有轴力，计算力法方程时的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。力法方程中的系数和自由项的表达式为：求解力法方程，求出未知量后，各杆的轴力可按叠加公式计算17.4力法计算示例例17-4用力法计算如图所示超静定桁架各杆的轴力，已知各杆EA相同。解：此桁架为一次超静定结构。支座反力可直接由静力平衡条件求得，其多余约束在体系内部。现切断杆CD，代之以多余未知力X1，得到如右图所示的基本结构。17.4力法计算示例根据原结构中切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移等于零的位移条件，建立力法方程：

11X1

+1F=0

分别求出基本结构在和荷载单独作用下的各杆的轴力和FNF,如图所示。17.4力法计算示例由公式(17－6)计算系数和自由项为

将以上系数和自由项代入力法方程，解得：负号表示X1的方向与假设方向相反,即CD杆的轴力为压力。17.4力法计算示例由叠加公式计算出各杆轴力如图所示17.4力法计算示例四、超静定组合结构的计算组合结构是由梁式杆和链杆共同组成的结构，这种结构的优点在于节约材料、制造方便。在组合结构中，梁式杆主要承受弯矩，同时也承受剪力和轴力；而链杆只承受轴力。在计算力法方程中的系数和自由项时，对梁式杆一般可只考虑弯矩的影响，忽略轴力和和剪力的影响；对于链杆只考虑轴力的影响，因此力法方程中的系数和自由项可由下（右）式计算：17.4力法计算示例各杆内力可按以下叠加公式计算：下面举例说明其计算过程。17.4力法计算示例例17-5用力法计算如图所示的组合结构,并绘制梁的弯矩图。已知横梁的弯曲刚度E1I=1104kN·m2,链杆的拉拉压刚度E2A=15104kN。解：组合结构为一次超静定结构。设切断CD杆，以多余未知力X1代替其轴力，选取基本结构如所示。根据切口处两侧截面轴向相对位移为零的条件，建立力法方程为：

11X1+1F=0

17.4力法计算示例分别绘出基本结构在和荷载单独作用下的弯矩图和MF图，并计算出各链杆的轴力分别如图所示。17.4力法计算示例由公式（17－8）计算系数和自由项为

=5.618104m/kN17.4力法计算示例将求得的系数和自由项代入力法方程，解得根据叠加公式可绘出横梁弯矩图和求出各链杆的轴力，如图所示。17.4力