初二数学全等三角形证明方法及辅助线总结

福明三道耕堂等(舍焦段相等、宣相菁)的几种才连一.三角影全等的判定:①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS).【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)，【最常考，而且考试就考父鲁是不是两边夹鱼”I当题目中得出七对边及1对角相等"时.•定要检查“角是不是的一边夹角，:ITOC\o"1-5"\h\z③行两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASAl '④有两用及一兆的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)」.

?题H中只要得出“1时边及2对箱相萼匕那就能证明:扁i： ：：形全等，唯一要他的就是区分好是A£A还是AAS■ ■⑤直的三角形全等条件疔二斜边及一克身边对应相等的两个直角二角形全等［HL)：s，・!!・・，・，・・・，，・・・，・・・-・，・，，・，・・，▼・・，■(，・・・，・・一・，，・，，，・・・・，・・，▼■■■，，■■，，，，・・■(，・・直角三角形全等的特殊证法,但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直用三角形全等口:如何找斜边：斜边是宜.角所对的边，只要找90°的角所对的边就能找到斜边二、全等三角形的性质;①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.②全等三角形的周长.面枳相等.③全等：角形的对应边卜•的高对应相等.④全等：角形的对应角的角平分线相等口⑤全等：角形的对应边上.的中线相等.几种常见全等三角形的基本图形：【平静】[ami［折■/对森1三、找全等三角形的方法：①可以从结论山发，着要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中;②可以从己,知条件八I发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等;③从条冲和结论综合考虑.看它们能一同确定哪两个三角形全等;④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.★三角形全等的证明中包含两个要素：边和角0。映个角的条件:8、等于同一角的两个角相等8、等于同一角的两个角相等❷缺条边的条件:r公共边 2、中点 入等量和6、等腰"角形4、等量差5、角平分线性质AB_17、等面积法8、线段垂直平分线上的点

到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等「找另一边■已知两边Y找夹角tSAS—找直角tHL数瑕结合找条件［规律总鳍］■【：如两角T「找夹边fASAj找除夹边外的任一边一AAS■己知--边一角Y广边为角的邻边《「找与边相邻的另一角tASA找力的对角tAAS〔找用的另一边t5ASL边为角的对边-＞找任一角TAA3■题目中的隐臧条件L公共边、公共角工对顶角.正方形一4条边都相等、4个角都是如。.等边.■:箱形（止：角形J条边都相等、3个角都是60。.同一个三角形中，一个角是90。，一个角是45口—三角形是等腰直角三角形，两条腰相等口同一个三角形中，一个角是90。，两条边相等一三角形是等腰直角三角形，两个底角为45。.两直线互相垂克f以垂足为顶点的4个角都是90"心同角（等角）的金角、补角相等.外角定理（最不容易想到.当题门无从下手时，就应该想一想外角定理）.两三角形全等一对应边、对应角、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线、周长,面积等都相等

与加平分线右关的常用辅助线作法，即向平分线的四大菸本模型用¥分线的常皿制角模地及机关结论四、构造辅助线的常用方法：哪于角平分线的辅助线!”题目的条件中出现角平分线时，要想到根据地平分线的性质构造辅助线口角平分线⑴定义工如图2-1所示，如果/4出=/以（,那么/4与加平分线右关的常用辅助线作法，即向平分线的四大菸本模型用¥分线的常皿制角模地及机关结论四、构造辅助线的常用方法：哪于角平分线的辅助线!”题目的条件中出现角平分线时，要想到根据地平分线的性质构造辅助线口角平分线⑴定义工如图2-1所示，如果/4出=/以（,那么/4七=2/8出=2/B0C,像（用这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线.0）角平分线的性质定理①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角一 图2T②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（3）角平分线的判定定理①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，口把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线.②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.GP是乙MON的角平分战角平分线被垂直，顺势延长造全等，则P是中点角平分线加垂线，“三线合试试看截取OE=OA,构成三角形全等图中有常平分线，沿它对折关系现角平分线十平行线得等腰涌形角平分线+-平行线，等腰三角形必呈现过点P向两边作垂线.构成全等三箔形图中有角平分线，可向两边作垂线已知AABC中,BP,CP分别为角平分线口交于点P,探讨上BPC与乙A的关系结论^BPC=-ZA2ZBPC=9(}Q--ZA1ZBPC=900+-ZA2基岫知媒关于阴平分线常用的辅助线方法:(1)截取构全等如卜先图所示，。匚是/A口B的角■干分线，D为口。上--点，F为OE.匕一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有也。即9△OED,从而为我们证明线段、角相等创造「条件"例题1：如上右图所示,AB//CD.EE平分ZBCD,CE•平分£BCD,点三在囚3上.求证：Bt=AB+CD0提示：在BC卜取一点F使得BF=EA,连结EF■:(2)危分线上点向角两边作垂镂相全等利用先平分线卜.的点到两边距离相等的性质来证明问题”如下*网所示，过/AOB的平分线0C上•点口向角两边口四、作变线，垂足为E、卜，连接口JDF；则有：DE-DF,AOED^AOFD.例密想如」，右图所示，己知ABAAD,ZBAC-ZFAC,CD=BCQ求1正：ZADC+ZB-180(3)作角平分螳的垂线构造等腰三角形口如卜左图所示,从角的一边OB上的一点E作角平分线0C的垂线EF,使之与角的另一边QA相交।则裁得一个等腰三角形(△口£「)，垂足为底边上的中点。，该角平分线又成为底地上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合〜的性质.如果题H中有垂直7角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等嗖归二C

C例题3：如卜右图所示，己知/BAD=NDAC『AB>AC,CD_LKD于D,H是EC中点电求证：DH?1AB-AC)2提示：延长CD交AB于点3则可得全等三角形口问题可证。例题4：I；知，如图，在RtAABC中，AE=AC,ZEAC=S00t =Z2,CE_LED的延长线丁•三,求证：BD=ME【提示：延长CE交EA的延长线于点F】{4}作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰：二角形分为以下两种情况：①如下左图所示,过角平分线0C上的•■点E作角的■，边。人的平行线DE,从而构造等腰.■:角形。DE.②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线0C的平行线DH与另外一功AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰确形QDH。求证：AE=AC十CD求证：AE=AC十CD自AT-平分NBAC,ZACB-ZZEv请问此题是截长还是补做❷由线段和差想到的辅助线(1)遇到求证-条线段等于另两条线段之和时,一般方法罡微氏补短法；①裁长，在长线段中截取一段等于另两条中的一条.然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段'然后证明新线段等于长线段口截长补短法作辅助线口例题5：在△"口中,例题7;如图।AC平分/DABtZADC+ZB=ltfOT求证；CD=CB例题8：例题8：如图,AD//BC,点E在线段AB上，ZADE>ZCDE,ZDCE>ZZCB,求证：CD=AD+BC由U)由U)+(2)十(3)得:(2)对于证明有关线段和您的不等式，通常会联系到三处形中两线段之和大于第三辿、之差小于第三辿，故可想办法放在一个三角形椀明.方法技巧;在利用三角牌三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或迤长某边构成三角形.使结论中出现的线殷在一个或几个三的形中，再运用三角胎三边的不等关系证明.例题9：己知如图1-1,D、E为二内两上【，求证:ABIAOBDIDE[CE(法I)证呻：将DE两边延长分别交AB、AC于M、N.在△amn中，Ail-Fait>md+deI-ke；(1)在△£口区.；[中，MBIMD>BD：(2)在△©£!1中，CbT4-NE>CE；(.3")AM+AN+MB+MDTCH4NEAMD+DE+KEI-BD4-CE,AB+AC>BD-hDEH-HC

(法2)如图13延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在AABF和AGFC和AGBE中有：AB+AF>BD-FDG+GF1.：一角形两边之和大于第三边)(1)GF-hFC>GEICE(同上) (2)□G+GEADE(同上) (3)由(1)+(2)十⑶得：AB十AF十GF叶FC+DG+GEAED+DGIGF+GEICE+DE二AB+AC>BD+DE十EC,(3也利用二角账的外趟大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时.可连搂两点或延氏某边，构造:角同使求证的大角在某个三角彩的站角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置匕再利用外角定理:例题10：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：ZBDO.ZBAC,分析，因为/EDC与/BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使二BDC处于在外角的位置，ZBAC处于在内角的位置：据接一：延长BD交AC于点E,这时/EDC是ZkEDC的外角，AZBDOZDEC,同理上DEO/EAC,AZBDOZBAC记语二：连接乩D，并延长文吕Cl'FV/BDF是口的外角AZBDF>ZBAD,同理+ZCDF>ZCAD，ZBDF卜ZCDF>ZBADI/CAB即：ZBDOZBACo注意：利用三俗监外侨定理证叨不鼻关系时，通常将大角放在解三价片的外珀位置J,小角放在这个三珀脖的内角位置卜，再利用不等式性质证明.❸内中点想到的辅助线也三疝拔而：而,百而…%是三角形茶呦上的中点，那幺首先庖诿联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质（等腰三甯形底选中线性质），然后逋过探索，找到解决恒题的方法。TOC\o"1-5"\h\z| 匚亘而荏益言福花二期工函而无:疝F当晟 !! 门）倍长中线或类中爱〔与中点有关的线段）构造全等三角形.如图1MQ、图14（b）所示」| 空）三角形中位线定理. ：A A\ 2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造赳边中戏.： 工已知等暧三先形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”| 心有些题目的中点不直接给出.此时需要我们挖掘题H中的隐含中点,例如有他三角形中|斜边中点，等腰三角形底边上的中点,当没有这些条件的时候,可以用辅助线添加.（1｝中线把原三角晦分成两个面积相等的小三角形即如图1,AD是&ABC的中线，则£©口=3必8=3以K（因为AABD与AACD是等底同高的人A A例题11：如图，AABC中，AD是中线，延长AD到E,使DE=ADDF是4DCE的中线一抑AABC的面枳为工求：ACDF的血和L（2｝倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知.•条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一蛆全等三角形.如图，延长3河巳使得&D=DE,连结EE同虚线连接人 ,例题12：如图$，己知匚AD是上：的平分级，AD又是BC辿」，的中线，求证:&AB口是等腰二角图5图5。骁证中点，山线间题，应拘造平箝线如图「过^b］榷五B举存鼓交AD延长费于E/AA例题13：如图3，在等腰AABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=ED.连接DE交BC于F,求证：DF=EF.❺其他辅助线做法T'）延长已知边构造三角形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决.例题14：如图4,在AABC中,AC=BC+ZB=90%BD为NABC的平分线.若A点到直战BD的距离AD为a,求BE的长.

例题15：如图7-1，一如AC=BD,AD_LAC于A,BC_LB□于E,求证：AE=BC分析：欲证AD=EC,先证分别含有AD,BC的二角形全等，有几种方案：AADC与ZVBCD,AAOD-tjABOC,△ABD与但根据现行条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，H让此角作为两个一角形的公共角.(2)连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例题1出如图&1：AB//CD,AD.7BC求证：AB=CD.分析：图为四边形，我们只学」'三曲形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决.(3)连接已知点，构造全等三角形例题17：已知：如图10-1；AC、BD相交于。点，旦AE=DC,AC=E1求证：/A=/D.分析：要证/A=/D,可证它们所在的：角形△ABO和色。©。全等,而只有AB