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文档简介
浙江省宁波市北仑区长江中学2022年中考联考数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图是二次函数y=ax2+bx+cy1>y1.其中说法正确的是()A.①②B.②③C.①②④D.②③④2.某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是()劳动时间(小时)33.544.5人数1132A.中位数是4,众数是4 B.中位数是3.5,众数是4C.平均数是3.5,众数是4 D.平均数是4,众数是3.53.如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()A. B. C. D.4.有一圆形苗圃如图1所示,中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃的直径,且AB⊥CD.入口K位于中点,园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则该园丁行进的路线可能是()A.A→O→D B.C→A→O→B C.D→O→C D.O→D→B→C5.下列计算,正确的是()A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(﹣a2)2=a4 D.(a+1)2=a2+16.下列计算错误的是()A.a•a=a2 B.2a+a=3a C.(a3)2=a5 D.a3÷a﹣1=a47.如图,在矩形ABCD中,AB=,AD=2,以点A为圆心,AD的长为半径的圆交BC边于点E,则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.8.据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是()A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和299.下列四个几何体,正视图与其它三个不同的几何体是()A. B.C. D.10.已知⊙O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,则直线L与⊙O的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,点A在点B左侧,顶点在折线M﹣P﹣N上移动,它们的坐标分别为M(﹣1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物线移动过程中,点A横坐标的最小值为﹣3,则a﹣b+c的最小值是_____.12.与是位似图形,且对应面积比为4:9,则与的位似比为______.13.在直角坐标平面内有一点A(3,4),点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α,那么角α的余弦值是_____.14.如图,直线a∥b,直线c分别于a,b相交,∠1=50°,∠2=130°,则∠3的度数为()A.50° B.80° C.100° D.130°15.如图为二次函数图象的一部分,其对称轴为直线.若其与x轴一交点为A(3,0)则由图象可知,不等式的解集是_______.16.如图,宽为的长方形图案由8个相同的小长方形拼成,若小长方形的边长为整数,则的值为__________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)有一水果店,从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果,为了保鲜放在冷藏室里,但每天仍有一些苹果变质,平均每天有50千克变质丢弃,且每存放一天需要各种费用300元,据预测,每天每千克价格上涨0.1元.设x天后每千克苹果的价格为p元,写出p与x的函数关系式;若存放x天后将苹果一次性售出,设销售总金额为y元,求出y与x的函数关系式;该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出,可以获得最大利润,最大利润为多少?18.(8分)如图,在锐角△ABC中,小明进行了如下的尺规作图:①分别以点A、B为圆心,以大于12AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点P、Q②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D.小明所求作的直线DE是线段AB的;联结AD,AD=7,sin∠DAC=17,BC=9,求AC19.(8分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.求坡底C点到大楼距离AC的值;求斜坡CD的长度.20.(8分)为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率是多少?小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.21.(8分)如图,在正方形中,点是对角线上一个动点(不与点重合),连接过点作,交直线于点.作交直线于点,连接.(1)由题意易知,,观察图,请猜想另外两组全等的三角形;;(2)求证:四边形是平行四边形;(3)已知,的面积是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.求证:AP=BQ;在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.23.(12分)如图,在正方形ABCD的外部,分别以CD,AD为底作等腰Rt△CDE、等腰Rt△DAF,连接AE、CF,交点为O.(1)求证:△CDF≌△ADE;(2)若AF=1,求四边形ABCO的周长.24.分式化简:(a-)÷
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】∵二次函数的图象的开口向上,∴a>0。∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<0。∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,∴-b∴abc<0,因此说法①正确。∵1a﹣b=1a﹣1a=0,因此说法②正确。∵二次函数y=∴图象与x轴的另一个交点的坐标是(1,0)。∴把x=1代入y=ax1+bx+c得:y=4a+1b+c>0,因此说法③错误。∵二次函数y=∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),∵当x>﹣1时,y随x的增大而增大,而52∴y1<y1,因此说法④正确。综上所述,说法正确的是①②④。故选C。2、A【解析】
根据众数和中位数的概念求解.【详解】这组数据中4出现的次数最多,众数为4,∵共有7个人,∴第4个人的劳动时间为中位数,所以中位数为4,故选A.【点睛】本题考查众数与中位数的意义,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.3、B【解析】解:当点P在AD上时,△ABP的底AB不变,高增大,所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大;当点P在DE上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变;当点P在EF上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小;当点P在FG上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变;当点P在GB上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小;故选B.4、B【解析】【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小,然后再增大,但是没有到过入口的位置,据此逐项进行分析即可得.【详解】A.A→O→D,园丁与入口的距离逐渐增大,逐渐减小,不符合;B.C→A→O→B,园丁与入口的距离逐渐减小,然后又逐渐增大,符合;C.D→O→C,园丁与入口的距离逐渐增大,不符合;D.O→D→B→C,园丁与入口的距离先逐渐变小,然后再逐渐变大,再逐渐变小,不符合,故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,看懂图形,认真分析是解题的关键.5、C【解析】
解:A.故错误;B.故错误;C.正确;D.故选C.【点睛】本题考查合并同类项,同底数幂相乘;幂的乘方,以及完全平方公式的计算,掌握运算法则正确计算是解题关键.6、C【解析】
解:A、a•a=a2,正确,不合题意;B、2a+a=3a,正确,不合题意;C、(a3)2=a6,故此选项错误,符合题意;D、a3÷a﹣1=a4,正确,不合题意;故选C.【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;负整数指数幂.7、B【解析】
先利用三角函数求出∠BAE=45°,则BE=AB=,∠DAE=45°,然后根据扇形面积公式,利用图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD进行计算即可.【详解】解:∵AE=AD=2,而AB=,∴cos∠BAE==,∴∠BAE=45°,∴BE=AB=,∠BEA=45°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA=45°,∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD=2×﹣××﹣=2﹣1﹣.故选B.【点睛】本题考查了扇形面积的计算.阴影面积常用的方法:直接用公式法;和差法;割补法.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.8、D【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.【详解】对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30,处于最中间是数是28,∴这组数据的中位数是28,在这组数据中,29出现的次数最多,∴这组数据的众数是29,故选D.【点睛】本题考查了中位数和众数的概念,熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,一组数据按从小到大(或从大到小)排序后,位于最中间的数(或中间两数的平均数)是这组数据的中位数.9、C【解析】
根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.【详解】解:A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的,而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的,故选:C.【点睛】此题重点考查学生对几何体三视图的理解,掌握几何体的主视图是解题的关键.10、A【解析】试题分析:根据圆O的半径和,圆心O到直线L的距离的大小,相交:d<r;相切:d=r;相离:d>r;即可选出答案.解:∵⊙O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,∵3>2,即:d<r,∴直线L与⊙O的位置关系是相交.故选A.考点:直线与圆的位置关系.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、﹣1.【解析】
由题意得:当顶点在M处,点A横坐标为-3,可以求出抛物线的a值;当顶点在N处时,y=a-b+c取得最小值,即可求解.【详解】解:由题意得:当顶点在M处,点A横坐标为-3,则抛物线的表达式为:y=a(x+1)2+4,将点A坐标(-3,0)代入上式得:0=a(-3+1)2+4,解得:a=-1,当x=-1时,y=a-b+c,顶点在N处时,y=a-b+c取得最小值,顶点在N处,抛物线的表达式为:y=-(x-3)2+1,当x=-1时,y=a-b+c=-(-1-3)2+1=-1,故答案为-1.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式,其中函数的a值始终不变.12、2:1【解析】
由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得与的位似比.【详解】解与是位似图形,且对应面积比为4:9,与的相似比为2:1,故答案为:2:1.【点睛】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方.13、【解析】
根据勾股定理求出OA的长度,根据余弦等于邻边比斜边求解即可.【详解】∵点A坐标为(3,4),∴OA==5,∴cosα=,故答案为【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念,在直角三角形中,在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边,熟练掌握三角函数的概念是解题关键.14、B【解析】
根据平行线的性质即可解决问题【详解】∵a∥b,∴∠1+∠3=∠2,∵∠1=50°,∠2=130°,∴∠3=80°,故选B.【点睛】考查平行线的性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,属于中考基础题.15、﹣1<x<1【解析】试题分析:由图象得:对称轴是x=1,其中一个点的坐标为(1,0)∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)利用图象可知:ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,∴-1<x<1.考点:二次函数与不等式(组).16、16【解析】
设小长方形的宽为a,长为b,根据大长方形的性质可得5a=3b,m=a+b=a+=,再根据m的取值范围即可求出a的取值范围,又因为小长方形的边长为整数即可解答.【详解】解:设小长方形的宽为a,长为b,由题意得:5a=3b,所以b=,m=a+b=a+=,因为,所以10<<20,解得:<a<,又因为小长方形的边长为整数,a=4、5、6、7,因为b=,所以5a是3的倍数,即a=6,b==10,m=a+b=16.故答案为:16.【点睛】本题考查整式的列式、取值,解题关键是根据矩形找出小长方形的边长关系.三、解答题(共8题,共72分)17、;(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出,可以获得最大利润,最大利润为12500元.【解析】
(1)根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克,此后每天每千克苹果价格会上涨元,进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系;(2)根据每千克售价乘以销量等于销售总金额,求出即可;(3)利用总售价-成本-费用=利润,进而求出即可.【详解】根据题意知,;.当时,最大利润12500元,答:该水果店将这批水果存放50天后一次性售出,可以获得最大利润,最大利润为12500元.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,得出与的函数关系是解题关键.18、(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线);(2)AC=53.【解析】
(1)垂直平分线:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(2)根据题意垂直平分线定理可得AD=BD,得到CD=2,又因为已知sin∠DAC=17【详解】(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线);故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线);(2)过点D作DF⊥AC,垂足为点F,如图,∵DE是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD=7∴CD=BC﹣BD=2,在Rt△ADF中,∵sin∠DAC=DFAD∴DF=1,在Rt△ADF中,AF=72在Rt△CDF中,CF=22∴AC=AF+CF=43【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法,三角函数和勾股定理求线段长度,解本题的关键是充分利用中垂线,将已知条件与未知条件结合起来解题.19、(1)坡底C点到大楼距离AC的值为20米;(2)斜坡CD的长度为80-120米.【解析】分析:(1)在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,得AF=DE,DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.详解:(1)在直角△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=60°,AB=60米,则AC=(米)答:坡底C点到大楼距离AC的值是20米.(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=x米,CE=x米在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=60-x(米)∵DF=AE=AC+CE,∴20+x=60-x解得:x=80-120(米)故斜坡CD的长度为(80-120)米.点睛:此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题,坡度坡角问题,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.20、(1);(2).【解析】
(1)直接利用概率公式求解;(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】(1)她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率=;(2)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1,所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=.21、(1);(2)见解析;(3)存在,2【解析】
(1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可;(2)由(1)可知,则有,从而得到,最后利用一组对边平行且相等即可证明;(3)由(1)可知,则,从而得到是等腰直角三角形,则当最短时,的面积最小,再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.【详解】解:(1)四边形是正方形,,,,,,在和中,在和中,,故答案为;(2)证明:由(1)可知,,四边形是平行四边形.(3)解:存在,理由如下:是等腰直角三角形,最短时,的面积最小,当时,最短,此时,的面积最小为.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质,平行四边形的判定,掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键.22、(1)证明见解析;(2)①AQ﹣AP=PQ,②AQ﹣BQ=PQ,③DP﹣
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