空间向量在立体几何中的应用(提升)专题训练

全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）空间向量在立体几何中的应用【巩固练习】1．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．B．C．或D．或2．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（）A、B、C、D、3．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°4．如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60，P是棱A1D1的中点，则BP的长等于（）A、B、C、D、45.若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是（用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.6.已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若⊥，=（x-1，y，-3），且⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为.7.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,则a=.8.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于.9．如图，已知四棱锥P-ABCD，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=a，点M是PC的中点，(1)求异面直线BP与MD所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C的大小。10．如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1）求点D到BE的距离；（2）求点D到面BEF的距离；（3）求BD与面BEF所成的角。11．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．12．如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC，求二面角A-PC-B的余弦值．13．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90，∠ADB=30.E、F分别是AC，AD的中点.(1)求证：平面BEF⊥平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的角.14．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；CCBAC1B1A11．如图，在直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求二面角A——B的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m参考答案：1．【答案】C【解析】2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5.【答案】相交但不垂直6.【答案】，-，47.【答案】或8.【答案】9．【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，由已知得A(0，0，0)、B(a，0，0)、D(0，a，0)、C(a，a，0)、P(0，0，a)则PC的中点(1)设直线PB与DM所成的角为θ，所以直线PB与DN所成的角θ=90°(2)设,则所以，二面角M-DA-C所成的角为45°10．【解析】（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，∵E、F分别是A1B1和B1C1的中点，∴B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则=（-2，0，4），=（-4，4，0）∴在方向上的射影为∴点D到BE的距离为d=(2)设=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则，，∵=（0，2，4），∴=-2x+4=0,=2y+4=0∴x=2,y=-2,∴=(2,-2,1)∴向量在方向上的射影为∴点D到面BEF的距离为.(3)设BD与面BEF所成的角为，则sin=cos<>===∴BD与面BEF所成的角是arcsin。11．【解析】以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．12．【解析】以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).(0,,0)，(1,,),设平面PAC的法向量=(a,b,c)，则m⊥，m⊥，且=(0,0,1)，=(1,,0)，∴，不妨取=(,1,0)，设平面PBC的法向量=(e,f,g)，则⊥，⊥，且=(0,,)，=(1,0,0),∴,不妨取=(0,1,)，cos<,>===,故二面角A-PC-B的余弦值为.13．【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a).由∠ADB=30可得：B(0,0,0),.∴∵,∴EF⊥AB,EF⊥BC.∴EF⊥平面ABC，又EF平面BEF∴平面BEF⊥平面ABC.(2)作EE′⊥BC于E′，作FF′⊥BD于F′，，，显然，∴BE⊥EF∴，∴∴,∴，即平面BEF和平面BCD所成的角为.14．【解析】∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0)，B(0,a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,∴OD∥平面PAB.(Ⅱ)∵则PA=2a,∴∴可求得平面PBC的法向量∴cos.设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos|=.∴PA与平面PBC所成的角为.15．【解析】解答一（1）证：三棱柱为直三棱柱，在中，,由正弦定理,又（2）解如图，作交于点D点，