第一章函数极限连续课程加持续

第一节一个概设x0R且>0,则称实数x||xx0|<}为点x0邻域记作U(x0,)=U(x0)={x||x−x0|<}={x|x0−<x<x0+=(x0−,x0+ xU(x0,)={x|0<|x−x0|<

xx开区间(x0x0)称为点x0的左邻域开区间(x0x0)称为点x0的右邻域两个符逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记“”“任取”或“任意给定.函数照一定的对应法则f,都有唯一确定的值y与之对应,则称f为定义在D上的一个函数关系,或称变量y是变量x的函数.因变

y=

D(f(x 自变记定义y=f(x0)称为(x 自变记定义Rf或f(D),Rf={y|y=f(x),xD}.注：求函数的函数的表示法表格

显式

y 1x2x2+sin图形3例1、设函数f(x) 3几个常出现的具体绝对值函

y=|xy=|x|=

符号函

y1O y1Oysgnx

取整函 4示不超过x的最大整 2 -4-3-2- o-112 ---阶梯曲狄利克雷yD(x)

当x是有理数时当x是无理数时y1o无理数

有理数 最值函ff(xg(xo

ff(xg(xo 分段函的式子来表示的函数,称为分段函数.例 2x x y= f(x)

x3x2, x 1f(x)2

1

1x 3x2, xx2 xf(x)max{x,x2} 0xx2 x复合函，则称y=f[(x)]为x的复合函数uy=fuu=(x)=2x2(x)(x)

Df=[1,R=(,33x注：不是任何两个函数都可复合1x2例3、设x0，函数值f(1)x1x2xyfx)x0)的解析表达式分析

1 1111 1f(x)1x

(x222

x) 1x4)

f(x)dx x【分析】f(x ) 1

1 (1x)2x f(x)dx 2 dx1ln(x2

221ln

x2 例5（1990-1,2）设fx) (A (B

f[fx)]11(C

1,0,

(D

0,1,

答案2 x

x2

6、gx)

x

x0,f(x)

x2x2x22xx2x22xx2x2x2x2x2x2x 2f(x),f(x)

2(

x 2x2

xg[f(x)]

f(x)2,f(x)0

2x2 x

2

x 答案7、(1988-1,2)fxsinx,f[x1x2则(x) ，(x)的定义域 【分析】sinx)1x22(x)arcsin(1x2)2x1

1

x 2.反函y函数y f(xyyox0xx定义y=f(x)是定义在D(f)上的一个函数,值域为Rf如果yRf通过yf(x)只有唯一确定的值xD(f)与它对应,其对应规则记为f−1,这个定义在Rfx=fy函数y f(xyyox0xxxf−1(y改写yfyf−1(x)是yf的反函数 注：f−1[f(x)]=f[f 反函数yfyQ(b,a)O

原函数y=fP(a,x反函数存在求反函数的步从方y=f(x)中用y表示x得xf互换上表达式xyyf求原函数的值域得反函数的定义域例8、求双曲正弦函数y

shx

exex的反函数11x2yln(x 初等函基本初等常函y (c为常数幂函yx(为常数

yx

ycycox1o

y (1,1 指数函

y=a (a>0,ay(1)a

y=ayye(0,1 对数函y

y=logax(a>0,ay=loga(1,0O

yylnylog1a三角函 正弦函数y 2yyyy132O232252x

3 2

3 2 2正切函数y

余切函数y3y322O232xy2O2322 y2y2201x22反正弦函y=Arcsinx主值y=arcsinx定义域[1,1]值522y522y3220 22主值yarccos定义域[1值 [0,y2Ox2反y2Ox2x主值:( .值 2y2Oxx主值y2Ox定义域:(−值域:(0,初等函由基本初等函数经过有限次四则运算(1ln(3x用一个式子表1ln(3x2y23sin(ex13sin(ex12f(x)

ln(1

x21)

都是初等函数Fxy0,若对xD,y满足Fxy0x相对应,yxyyx称为由Fx,y)0所确定的隐函数.参数方程确定的x(t),由y(t),幂指函

t 确定的函数y=f(x) axbyux)vxux0幂指函数的讨论常利用恒等式ux)vx)ev(xlnux)函数的单调性设函数f(x)定义域为D区间ID如果x1x2I当x1<x2时恒f(x1)<f(x2)

[单调减少 y f(xf(x2f(x1 x x I

y f(xf(x1f(x2 x x I判别方方法二：利用导数：对可导yfxyfx)，方法三：利用单调函数复合的性函数的奇偶性f(−x)=f(x)[f(−x)=−f(x)则称函数f(y)为偶函数[奇函

f(x)x

y f(xf(x x

偶函数的图 奇函数的图判别方法f(xfx（fxfx是偶（方法二：利用运算性质例9判别下列函数的奇偶性yln(x x 1)例10若g(x)在(- ,+ )内恒有g(x+y)=g(x)+g(y),试函数的周期性l使得对xD(xl)D且总f(x+l)=f则称f(x)是周期函数l称为f(x)的周期y32

3 2通常称周期

方法一：fxTfxfx是以T为周期的f(xT)f( f((xT))f(xT)f(x)如，由sinxcosx2|sinx|,|cosx|,sin2x,cos2x的周期为由tan cotx的周期为，推知|tanx |cotx|的周期为

x cot2

的周期为2函数的有界性设函数f(x)定义域为D,若ID,M>0,对xI, 成立,则称函数f(x)在I上有界.否则称 xxxo有界 判别方法方法一：直接法：定义本身就是判定f(x)是否有界的一种有效方f(x若存在M0，使得|f(x|Mf(x在[a,b连续,f(x在[a,b有界

f(x有界,否若f(x)在(a,b)连续,且 f(x)存在 limf(x)存在,则f(x)(a,b有界．方法三:性质

有界+有界=有界,有界 ,有界*有界=有界，有界 =不确12、fxx3x2

f(x)

13xx2xx2 x2xx2x2limfx)limx30,limfx)limx3

xx2

xx213y1sin1在(01 1【解】x

2nπ+

0(n时,y 2

2nπ+

) 例14(1987-2)、

f(x)

xsin

有界函周期函

偶函答案有关函数特性的重要特别：fxf(0)f(0)2fx为连续的偶函数，x

f(t)dt为奇函数若f(x)为连续的奇函数，则 f(t)dt为偶函数特别：fx以Tfx0fx0Tfx04fx是以T

T/ f(x)dx

f(x)dxT/T

f(x)dx f(x)dx

f(aaa5、若f(x)为奇函数，则 f(x)dx0aafx

f(x)dx

f(6、设fx)(ab内连续