概率论独家课件第一章

课程：概率论与数理统计教师：沈其骅邮箱：办公室：2号楼306室办公室电话：67705091百度云网盘：密码：math0310这个旅馆有一个讨人喜欢的特性，即它有无穷多个房间。有一天，来了个新客，他失望地知道，尽管旅馆的房间是无穷多的，但是房间都有人住着。旅馆的接待员希尔伯特(Hilbert)想了一下，然后向这个新来的客人保证他会找到一个空房。请问，他是如何做到的？希尔伯特的旅馆他请每一位住客都搬到隔壁的房间去住。结果１号房间的客人搬到２号房间，２号房间的客人搬到３号房间，依此类推。原来住在旅馆中的每一位客人仍然有一个房间，而新来的客人则可以住进空出来的１号房间。

第二天晚上，希尔伯特必须对付的则是一个更大的问题。旅馆仍然是客满的，而这时无穷多辆马车载着无穷多个新客人来到了。希尔伯特依然十分镇定，搓着他的双手，心里想着旅馆又将有无穷多的进账了。请问，他又是如何做到的？希尔伯特的旅馆他请每一位住客搬到房号为他们现在住着的房间号两倍的房间中去。结果原１号房间的客人搬到了２号房间，原２号房间的客人搬到了４号房间，依此类推。不但原来住在旅馆中的每一位客人仍然有一个房间，而无穷多个房间，即奇数号的房间都空出来让新来的客人居住。一、等可能概型二、典型例题三、几何概率四、小结第四节等可能概型(古典概型)1.定义一、等可能概型(古典概型)（1）

试验的样本空间只含有有限个元素，即

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同，即

具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型

THTHHHTT例1

将一枚硬币抛二次（2）解（1）例2.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种方式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样.求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.(a)放回抽样

样本空间:取两次球,共有66种取法.定义事件:事件A共有44种取法,

事件B共有22种取法,AB=“两个球颜色相同”,A=“两球都是白球”B=“两球都是红球”C=“两球中至少有一只白球”,解:(b)不放回抽样样本空间：共有65种取法.事件A的样本点:共有43种取法.事件B的样本点:共有21种取法.故P(A)=(44)/(66)0.444，P(B)=(22)/(66)0.111,则P(AB)=P(A)+P(B)0.556,P(C)=1-P(B)0.889P(AB)=P(A)+P(B)=,P(C)=1-P(B)=第一类方法有

种方法第二类方法有

种方法

第

类方法有

种方法……做一件事共有n类方法完成这件事的方法总数：加法原理m1m2mn第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有n个步骤完成这件事的方法总数：乘法原理m1m2mn（1）排列（从n个元素中取m个不同元素）排列选排列全排列不可重复选排列(不放回)可以重复选排列(有放回)不可重复(不放回)可以重复(有放回)【注】关于排列组合知识的简要回顾

(3)元素的分类将n个元素分为m类，每类分别有k1,k2,…km

个，k1个元素k2个元素km个元素……n个元素(2)组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共

有种，因为:上式称为多项系数。它是的展开式中的系数。总共的分类方式有：

(4)环排列

从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：4123412311242343每个排列重复了4次排列数为常用组合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式来证明规定：0!=1,总结：从n个不同的元素中摸取m个元素(m≤n)（1）有放回摸取计序：不计序：（2）不放回摸取计序：不计序：(了解)从n个球中有放回不计序地摸取m个球：m个01234……m-5m-4m-3m-2m-1+11122……n-1n-1n-1n

n12356……n+m-6n+m-5n+m-4n+m-2n+m-1变换为所有摸取方法总数为：

从n个数中有放回地（即可以重复或不计序）取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同的数中不放回取出m个数的一个组合变换是一一的(了解)111213222333

例如：从1，2，3中有放回不计序地摸取2个数，共有种：+010101010101

121314232434

相当于从1,2,3,4中不放回地取出2个不可重复的数先给出一个记号，它是组合数的推广，规定

4个球放到3个杯子的所有放法解例3

把

4个球放到

3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

质点入盒或投球问题第1、2个杯子中各有两个球的放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为例4

将个球随机地放入个盒子中去，设盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率

解将个球放入个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法。个盒子可以有种不同的选法。对选定的个盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。由乘

法原理，共有种放法，因此所求概率为

(1)每个盒子中至多只有一只球,共有

种不同的方法，因此所求的概率为注意：

(1)与(2)的结果是一样的，其实(1)与(2)中的两个事件是相等的.由(1)的结果可以推出：1.某个盒子至少有两只球的概率为2.当n=N时，每个盒子中恰好有一个球的概率为例5

15名新生中有3名是优秀生,将这15名新生随机地平均分配到三个班级中去,问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?例6.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）解从9个球中任取3只球,共有种取法.（2）最小号码为5,共有种取法.（1）取到1号球共有种取法课堂练习1o

电话号码问题

在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.

2o

骰子问题

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.

3o

生日问题

假定每个人在一年365天的任一天都等可能,随机选取n(小于365)人,他们生日至少有两个相同的概率为:我们利用软件包进行数值计算.

解1

把a根红签b根白签看作是不同的(设想对它们进行编号)，若把所抽出的签依次排成一列，其排列总数为此即为基本事件总数。用Ak表示事件“第k人抽到红签”，因第i人抽到红签有a种抽法，其余的次抽签，相当于个元素的全排列，有种，故事件Ak包含的样本点数为，从而例7（抽签问题）箱中有a根红签，b根白签，除颜色外，这些签的其它方面无区别，现有a+b个人依次不放回地去抽签，求第k人抽到红签的概率。

解2

把a根红签看成是没有区别的，把b根白签也看作是没有区别的，把所抽出的签依次放在排成一直线的a+

b个位置上，因若把a根红签的位置固定下来则其余位置必然是放白签的位置，我们以a根红签的所有不同放法作为样本点，则基本事件总数为。

由于第k次抽到红签，所以第k个位置必须放红签，剩下a-1根红签可以放在a+

b-1个位置的任意a-1个位置上，故事件Ak包含的样本点数为。所以所求概率为

这个例子告诉我们，计算随机事件的概率与所选取的样本空间有关。在计算基本事件总数（样本点总数）及事件A所包含的基本事件数时，必须对一确定的样本空间考虑，若其中一个考虑顺序，则另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确。说明：在抽奖游戏中先抽后抽一个样；有放回无放回一个样！例8某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?解:实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上几乎不发生”.经初步分析：接待时间是有规定的.假定接待时间是没有规定的.则12次来访都在周二和周四的概率为由实际推断原理,认为其接待时间是有规定的.（概率反证法）二、几何概型

若随机试验有无限多结果而又有某种等可能性，而样本空间包含的基本事件数可用某种数量特征（如长度、面积、体积等）来度量其总和，并且其中的一部分（即随机事件A）所包含的基本事件数也可以用同样的数量特征来度量，则随机事件A的概率可用几何方法来求解。

定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为其中，是事件A的度量，是样本空间的度量。上式所定义的概率通常称为几何概率。例1从区间(0,1)中任取两个数，求两数之积小于1/3的概率。解

以x,y分别表示任取的两个数，以A

则样本空间可表示为:

事件A可表示为:表示事件“两数之积小于1/3”那么两人会面的充要条件为例2

甲、乙两人相约在早上八点到九点这段时间内在预定地点会面.先到的人等候另一个人,等待20分钟后离去.设每人在指定的一小时内各时刻到达该地是等可能的.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解故所求的概率为若以x,y表示平面上点的坐标,则有例3

甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.见车就乘的概率为设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有解最多等一辆车,甲、乙同乘一车的概率为必然事件的概率是1吗？不可能事件的概率是0吗？动动脑：概率为1的一定必然事件吗？概率为0的一定是不可能事件吗？YesYesNoNo例

从开区间(0,1)中取到

的概率为零.

例

从闭圆盘上取到的内部的概率为1.

到底有没有秃头？

“长着浓密头发的人是不是秃子？”“当然不是。”“现在拔掉一根头发呢？”“也不是。”“两根，三根，四根，五根。”“不是。”“这样继续下去，这个人的头发不断减少，终究会成为秃子，这是什么原因呢？每次减少一根成不了秃子。但随着头发的减少，却终会变成秃子。可是如果前一根头发还在的时候不是秃子，为什么还会出现秃子，这样说，世界上根本没有秃子！”蒲丰投针试验例41777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(b<a)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.解蒲丰资料由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.蒲丰投针试验的应用及意义历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者利用蒙特卡罗(MonteCarlo)法进行计算机模拟.几何概率中的悖论几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，下面就是一个著名的例子。[贝特朗奇论]

在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少?

解此题有3中考虑方法：AB显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率等于1/3(见图)。

[解法一]任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形。M1/21/2CNAB[解法二]弦长只跟它与圆心的距离有关，而