第十二章平面体系几何组成分析

教学目标：使学生了解几何不变体系及几何可变体系的概念，了解几何组成分析的目的；掌握自由度、约束的概念及几何不变体系的基本组成规则，熟练掌握平面体系的几何组成分析。教学重点、难点：几何不变体系的基本组成规则；平面体系的几何组成分析教学方法与手段：

讲授法，课堂练习法，小组讨论法，启发式教学法（提问）第一页，共58页。第一页，共58页。第一节几何组成分析的目的结构：由杆件、结点和支座组成的杆件体系结构必须是在不考虑材料变形的条件下能保持几何形状和位置不变的杆件体系。在不考虑材料变形的条件下，杆件体系可分为如下两种类型：一、几何不变体系与几何可变体系第二页，共58页。第二页，共58页。几何不变体系

(geometricallystablesystem)在任意荷载作用下，几何形状及位置均保持不变的体系。（不考虑材料的变形）几何可变体系

(geometricallyunstablesystem)在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变的体系。（不考虑材料的变形）第三页，共58页。第三页，共58页。几何不变体系几何可变体系第四页，共58页。第四页，共58页。显然，几何可变体系是不能用来作为结构的，因为在建筑工程结构中，要求在任何种类的荷载作用下，结构必须能保持自己的形状和位置。提问：同学们居住、学习、活动或接触到的结构是几何可变体系还是几何不变体系第五页，共58页。第五页，共58页。

在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确定体系的几何不变性。几何组成分析的目的是：（1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而确定它能否作为结构使用；（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出安全合理的结构，使所设计的结构在荷载作用下能够维持平衡；（3）正确区分静定结构和超静定结构，选择相应计算方法，为结构的内力计算打下必要的基础二、几何组成分析的目的：第六页，共58页。第六页，共58页。一、平面体系的自由度(degreeoffreedomofplanarsystem)第二节自由度和约束的概念

（一）几个重要的概念

1、刚片在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何形状不变者，则均可把它看作为刚片。例如：一根梁、一根杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分均可视为刚片。建筑物的基础或地球也可看作是一个大刚片。

第七页，共58页。第七页，共58页。刚片(rigidplate)——平面刚体。形状可任意替换杆件，几何不变部分均可视为刚片第八页，共58页。第八页，共58页。第九页，共58页。第九页，共58页。

图所示的体系中，用虚线画出的1、2、3、4、5各个部分，都可分别看作为刚片。第十页，共58页。第十页，共58页。2、自由度

体系的自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，通常记作S。一个点在平面内自由运动时，它的位置用坐标X，Y完全可以确定，则平面内一点的自由度等于2，如图a所示。

第十一页，共58页。第十一页，共58页。

一个刚片在平面内自由运动时，它的位置用其上任一点A的坐标x，y和过A点的任一直线AB的倾角φ完全可以确定，则一个平面刚片的自由度等于3，如图(b)所示。由此看出，体系几何不变的必要条件是自由度等于或小于零第十二页，共58页。第十二页，共58页。一、约束(constraint)1、（约束）--减少自由度的装置。减少一个自由度的装置即为一个约束，并以此类推。

约束可分为外部约束和内部约束两种，外部约束是指体系与基础之间的约束，也就是支座；而内部约束则是指体系内部各杆之间或结点之间的约束，如铰结点、刚结点和链杆等。一个平面体系，通常都是由若干个刚片加入某些约束所组成的。如果在组成体系的各刚片之间恰当地加人足够的约束，就能使刚片与刚片之间不可能发生相对运动，从而使该体系成为几何不变体系。第十三页，共58页。第十三页，共58页。一根链杆为一个约束平面刚体——刚片n=3n=2第十四页，共58页。第十四页，共58页。1个单铰

=2个约束单铰联后n=4xyαβ每一自由刚片3个自由度两个自由刚片共有6个自由度铰第十五页，共58页。第十五页，共58页。1连接n个刚片的复铰

=(n-1)个单铰n=5复铰等于多少个单铰？第十六页，共58页。第十六页，共58页。刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束。yox（图6）yoxxy第十七页，共58页。第十七页，共58页。

2、必要约束、多余约束根据对自由度的影响体系中的约束可分为两类：若在一个体系上增加一个约束，体系自由度实际无变化，则所增加的这一约束称为多余约束。若在一个体系上减少一个约束，体系自由度将增加，则所减少的这一约束称为必要约束。请看书本P184页，图12-6第十八页，共58页。第十八页，共58页。

在有多余约束的体系中，哪些约束是多余约束并不唯一，例如在图12-5(a)所示体系中，若A将处竖向链杆与B链杆看成必要的，则C链杆是多余的(如图12-5(b)所示)；若将B、C链杆看作是必要的，则A支座竖向链杆就是多余的(如图12-5(b)所示)。若一个几何不变体系中无多余约束，则称其为无多余约束几何不变体系，反之称为有多余约束几何不变体系。第十九页，共58页。第十九页，共58页。瞬变体系--原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系。(instantaneouslyunstablesystem)ABCFC13、瞬变体系微小位移后，不能继续位移不能平衡第二十页，共58页。第二十页，共58页。瞬变体系是否可以作为结构?ABCFC1C1荷载作用下，在瞬变体系内引起很大内力，无法满足强度条件。瞬变体系不能用作结构！第二十一页，共58页。第二十一页，共58页。瞬变体系的其它几种情况：第二十二页，共58页。第二十二页，共58页。常变体系瞬变体系第二十三页，共58页。第二十三页，共58页。

m---刚片数（不包括地基）

h---单铰数

b---单链杆数（含支杆）体系的计算自由度：

计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数W=3m-(2h+b)第二十四页，共58页。第二十四页，共58页。铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆件所组成的体系铰结链杆体系的计算自由度：

j--结点数

b--链杆数,含支座链杆

W=2j-b第二十五页，共58页。第二十五页，共58页。例1：计算图示体系的自由度GW=3×8-(2×10+4)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有几个刚片？有几个单铰？第二十六页，共58页。第二十六页，共58页。例2：计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0按刚片计算3321129根杆,9个刚片有几个单铰？3根单链杆第二十七页，共58页。第二十七页，共58页。另一种解法W=2

×6-12=0按铰结计算6个铰结点12根单链杆第二十八页，共58页。第二十八页，共58页。W=0,体系是否一定几何不变呢？讨论W=3

×9-(2×12+3)=0体系W等于多少？可变吗？322113有几个单铰？第二十九页，共58页。第二十九页，共58页。

除去联系后，体系的自由度将增加，这类联系称为必要联系。

因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的联系。第三十页，共58页。第三十页，共58页。

除去联系后，体系的自由度并不改变，这类联系称为多余联系。

下部正方形中任意一根杆，除去都不增加自由度，都可看作多余的联系。

图中上部四根杆和三根支座杆都是必要的联系。第三十一页，共58页。第三十一页，共58页。例3：计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0W=0,但布置不当几何可变。上部有多余联系，下部缺少联系。W=2

×6-12=0第三十二页，共58页。第三十二页，共58页。W=2

×6-13=-1<0例4：计算图示体系的自由度W<0,体系是否一定几何不变呢？上部具有多余联系W=3

×10-(2×14+3)=-1<0第三十三页，共58页。第三十三页，共58页。计算自由度=

体系真实的自由度？W=3

×9-(2×12+3)=0W=2

×6-12=0第三十四页，共58页。第三十四页，共58页。缺少联系几何可变W=3

×8-(2×10+3)=1W=2

×6-11=1第三十五页，共58页。第三十五页，共58页。W>0,

缺少足够联系，体系几何可变。

W=0,

具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目。

W<0，体系具有多余联系。W>0体系几何可变W<0体系几何不变小结第三十六页，共58页。第三十六页，共58页。第三节几何不变体系的基本组成规则1、二元体概念及二元体规则规则一(二元体规则)：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。二元体---不在一直线上的两根链杆连结一个新结点的装置。推论一：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。第三十七页，共58页。第三十七页，共58页。推论一：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。第三十八页，共58页。第三十八页，共58页。二刚片规则：两个刚片用不在一条直线上的一个铰和一根链杆连接，则组成无多余约束的几何不变体系。2、两刚片规则第三十九页，共58页。第三十九页，共58页。虚铰：联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为虚铰（瞬铰）。EF推论二：两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。第四十页，共58页。第四十页，共58页。

三刚片规则：三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余联系的几何不变体系。

三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成一个铰接三角形——基本出发点.铰结三角形的几何不变形3、三刚片规则第四十一页，共58页。第四十一页，共58页。

推论三：三个刚片分别用不完全平行也不共线的二根链杆两两连接，且所形成的三个虚铰不在同一条直线上，则组成无多余约束的几何不变体系第四十二页，共58页。第四十二页，共58页。第四节平面体系的几何组成分析举例1、对于比较简单的体系，可以选择两个或三个刚片，直接按规则分析其几何组成。2、当体系上有二元体时，应去掉二元体使体系简化，以便于应用规则。3、从一个刚片（例如地基或铰结三角形等开始），依次增加二元体，尽量扩大刚片范围，使体系中的刚片个数尽量少，便于应用规则。4、如果体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不完全交于同一点，则地基与体系本身的连接已符合两刚片规则，因此可去掉支座链杆和地基而只对体系本身进行分析。5、当体系的支座链杆多于三根时，应考虑把地基作为一刚片，将体系本身和地基一起用三刚片规则进行分析。6、先确定一部分为刚片，连续几次使用两刚片或三刚片规则，逐步扩大到整个体系。第四十三页，共58页。第四十三页，共58页。例如三铰拱大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰无多余几何不变第四十四页，共58页。第四十四页，共58页。减二元体简化分析加二元体组成结构注意：每次只能去掉体系外围的二元体，二不能从中间任意抽取。第四十五页，共58页。第四十五页，共58页。如何减二元体？第四十六页，共58页。第四十六页，共58页。加、减二元体无多几何不变第四十七页，共58页。第四十七页，共58页。DEFG找刚片无多几何不变第四十八页，共58页。第四十八页，共58页。试分析图示体系的几何组成。有虚铰吗？有二元体吗？是什么体系？无多余几何不变没有有第四十九页，共58页。第四十九页，共58页。加、减二元体去支座后再分析无多几何不变瞬变体系第五十页，共58页。第五十页，共58页。找虚铰无多几何不变第五十一页，共58页。第五十一页，共58页。静定结构：仅由静力平衡条件就可唯一确定全部反力和内力。超静定结构：仅由静力平衡条件不能唯一确定全部反力和内力。第五节静定结构与超静定结构的概念第五十二页，共58页。第五十二页，共58页。静定结构FFBFAyFAx无多余联系几