第六大数定律与中心极限定理演示文稿

第六大数定律与中心极限定理演示文稿目前一页\总数三十三页\编于九点优选第六大数定律与中心极限定理目前二页\总数三十三页\编于九点1.切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对任意的正数，不等式或成立.目前三页\总数三十三页\编于九点利用切比雪夫不等式可以估计一些随机事件的概率。例1设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率解设X表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数为n=10000,p=0.7的二项分布，则有而用切比雪夫不等式估计E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(6800<X<7200)=P(|X-7000|<200)>0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其较精确的概率呢？这就要用到中心极限定理目前四页\总数三十三页\编于九点2.大数定律

定义1

设Y1，Y2，，Yn，,是一随机变量序列，a为一常数.若对任意给定正数>0,有则称随机变量序列Y1,Y2,,Yn,,依概率收敛于a．定义2

设X1，X2，，Xn，是一随机变量序列.若存在常数列{an}使对任意给定的正数，恒有,则称随机变量序列{Yn}服从大数定律．目前五页\总数三十三页\编于九点注意：目前六页\总数三十三页\编于九点切比雪夫大数定理若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=

D(Xk)=2(k=1,2,…)，则对任意的正数>0,有或目前七页\总数三十三页\编于九点注意目前八页\总数三十三页\编于九点证明:（利用切比雪夫不等式）根据已知条件由切比雪夫不等式，有又所以目前九页\总数三十三页\编于九点伯努利大数定理设nA为是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的正数>0,有或目前十页\总数三十三页\编于九点证：设由切比雪夫大数定理,有所以

即那么相互独立，且服从参数为p的0—1分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p).目前十一页\总数三十三页\编于九点辛钦大数定理若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=(k=1,2,…)，则对任意的正数>0,有或目前十二页\总数三十三页\编于九点第二节中心极限定理设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为问这个和的极限分布是什么？目前十三页\总数三十三页\编于九点1.独立同分布中心极限定理若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=

D(Xk)=2(k=1,2,…)，则随机变量标准化量的分布函数Fn(x)对于任意x满足目前十四页\总数三十三页\编于九点目前十五页\总数三十三页\编于九点例2每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解：设箱中第i袋味精的净重为Xi,则Xi

独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心极限定理得，所求概率为：故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.目前十六页\总数三十三页\编于九点2.李雅普诺夫中心极限定理若X1，X2，，Xn，，为独立随机变量序列,，若存在正数，使当时，则随机变量标准化量Zn的分布函数Fn(x)对于任意x满足目前十七页\总数三十三页\编于九点说明：中心极限定理表明无论各随机变量Xk(k=1,2,)服从什么分布，只要满足定理的条件，那么他们的和当n很大时，就近似服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概率论中占有非常重要地位的一个基本原因目前十八页\总数三十三页\编于九点3.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理定理表明：二项分布的极限分布是正态分布，即设随机变量服从参数为n,p的二项分布，则对任意x，有目前十九页\总数三十三页\编于九点小结中心极限定理注目前二十页\总数三十三页\编于九点例3解：所以目前二十一页\总数三十三页\编于九点目前二十二页\总数三十三页\编于九点例4(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.7,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力15千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解供电所至少要供给这个车间x千瓦的电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.以X记200台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件X服从参数为200，0.7的二项分布，于是由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理有目前二十三页\总数三十三页\编于九点即供电所至少要供给这个车间2392.6千瓦的电力.目前二十四页\总数三十三页\编于九点例5对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布.(1)求参加会议的家长人数X超过450的概率；

(2)求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.目前二十五页\总数三十三页\编于九点解

(1)以Xk记第k个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件Xk的分布率为Xk012P0.050.80.15可以计算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，，400.由独立同分布中心极限定理，得目前二十六页\总数三十三页\编于九点(2)以Y记由一名家长参加会议的学生人数，则Y服从参数为400，0.8的二项分布.于是由棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理，得从而有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率约为0.9938.目前二十七页\总数三十三页\编于九点例6在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.(1)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.

设，k=1,2,…目前二十八页\总数三十三页\编于九点解（1）设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理目前二十九页\总数三十三页\编于九点欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在之间的概率至少是0.95.目前三十页\总数三十三页\编于九点（2）在100次抽取中,数码“0”出现次数为由中心极限定理,其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即目前三十一页\总数三十三页\编于九点=0.6826即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.目前三十二页\总数三十三页\编于九点思考题1.