有理函数积分

节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:章2021/5/91一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和1.有理函数的分解2021/5/92（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为其中都是常数2021/5/93注:关于部分分式分解如对进行分解时例如一项也不能少，因为通分后分子上是的次多项式，可得到

个方程，定出个系数，否则将可能会得到矛盾的结果.2021/5/94但若矛盾2021/5/95（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为其中都是常数2021/5/96例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法2021/5/97(2)用赋值法故2021/5/98(3)比较系数法原式=2021/5/992.有理函数的积分

变分子为再分项积分四种典型部分分式的积分:2021/5/910讨论积分令则记2021/5/911这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.递推公式2021/5/912注意

以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法.如使用凑微分法比较简单基本思路尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换2021/5/913例2.

求积分解：2021/5/914例3.

求解:

已知2021/5/915例4.

求解:

原式思考:如何求提示:变形方法同例42021/5/916例5.

求解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.2021/5/917例6.

求解:原式2021/5/918例7.

求解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁2021/5/919按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!2021/5/920二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则2021/5/921令（万能置换公式）2021/5/922例8.

求解:

令则2021/5/9232021/5/924例9.

求解:

说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换2021/5/925例10.求积分解法1：2021/5/926解法2：令2021/5/927解法3：可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.如2021/5/928若用万能代换，则化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单基本思路2021/5/9292.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2021/5/930例13.

求解:

令则原式2021/5/931例14.

求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令2021/5/932例15.

求解:

令则原式2021/5/933例16.

求积分解：先对分母进行有理化原式2021/5/934内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.

特殊类型的积分按上述