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文档简介
关于勾股定理与方程第1页,课件共40页,创作于2023年2月BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理第2页,课件共40页,创作于2023年2月勾股定理的常见表达式和变形式第3页,课件共40页,创作于2023年2月在直角三角中,如果已知两边的长,利用勾股定理就可以求第三边的长;那么如果已知一条边长及另两边的数量关系,能否求各边长呢?第4页,课件共40页,创作于2023年2月感受新知1第5页,课件共40页,创作于2023年2月(二)例题【问题1】如何在实际问题中,利用勾股定理解决问题呢?例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
第6页,课件共40页,创作于2023年2月例1.有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?设计意图:
1.能利用勾股定理解决简单的实际问题;2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识;3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;4.本题是我国古代数学著作《九章算术》中的问题,展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.第7页,课件共40页,创作于2023年2月第8页,课件共40页,创作于2023年2月解决与勾股定理有关的实际问题时,先要抽象出几何图形,从中找出直角三角形,再设未知数,找出各边的数量关系,最后根据勾股定理求解.小结:第9页,课件共40页,创作于2023年2月AB的中垂线DE交BC于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD==3
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD,则AD的长为——.x3-x感受新知2第10页,课件共40页,创作于2023年2月在直角三角形中(已知两边的数量关系)设其中一边为x
利用勾股定理列方程
解方程求各边长
基本过程第11页,课件共40页,创作于2023年2月
如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E,求CD的长.CBADE66例1第12页,课件共40页,创作于2023年2月解:在Rt△ABC中
AC=6cm,BC=8cm
∴AB=10cm设CD=DE=xcm,则BD=(8-x)cm
由折叠可知AE=AC=6cm,CD=DE,
∠C=∠AED=90°
解得x=3∴CD=DE=3cm∴BE=10-6=4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得(8-x)2=x2+42CBADE66例1第13页,课件共40页,创作于2023年2月【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形,我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢?例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C'处,BC'与AD交于点E,AD=8,AB=4,求DE的长.第14页,课件共40页,创作于2023年2月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C'处,BC'与AD交于点E,AD=8,AB=4,求DE的长.方法一第15页,课件共40页,创作于2023年2月方法二第16页,课件共40页,创作于2023年2月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C'处,BC'与AD交于点E,AD=8,AB=4,求DE的长.1.如果一道题目中有多个直角三角形,要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形(边也可为常数),在这个三角形中利用勾股定理求解.2.解决折叠问题的关键:在动、静的转化中找出不变量.小结:第17页,课件共40页,创作于2023年2月例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C'处,BC'与AD交于点E,AD=8,AB=4,求DE的长.注意:1.基本图形:“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一2.折叠问题:折叠图形前后两个图形全等,最好在图中标出相等的线段和角.第18页,课件共40页,创作于2023年2月练习第19页,课件共40页,创作于2023年2月思考1
1、如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?CAEBD第20页,课件共40页,创作于2023年2月解:设AE=xkm,则BE=(25-x)km根据勾股定理,得AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2又DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即:152+x2=102+(25-x)2∴x=10答:E站应建在离A站10km处。x25-xCAEBD1510思考1
第21页,课件共40页,创作于2023年2月
在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子,其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处,另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处,如果两个猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?ABCD5m10m思考2第22页,课件共40页,创作于2023年2月ABCD解:如图,D为树顶,AB=5m,BC=10m.设AD长为xm,则树高为(x+5)m.∵AD+DC=AB+BC,∴DC=10+5–x=15-x.在Rt△ABC中,根据勾股定理得解得x=2.5答:树高为7.5米。5m10m∴x+5=2.5+5=7.5102+(5+x)2=(15–x)2思考2第23页,课件共40页,创作于2023年2月例3.已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,求△ABC的面积.【问题3】如果题目中既没有直角三角形,也没有直角,怎么利用勾股定理求解?设计意图:
经历对几何图形的观察、分析,初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法,了解特殊与一般的转化思想;第24页,课件共40页,创作于2023年2月例3.已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,求△ABC的面积.方法一:第25页,课件共40页,创作于2023年2月例3.已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,求△ABC的面积.方法二:第26页,课件共40页,创作于2023年2月例3.已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,求△ABC的面积.小结:1.题目中既没有直角三角形,也没有直角,可考虑利用作垂线段,分割图形的方法,构造直角三角形;2.“斜化直”即:斜三角形化为直角三角形求解.第27页,课件共40页,创作于2023年2月例3.已知:如图,△ABC中,AB=16,AC=14,BC=6,求△ABC的面积.注意:1.本题可选择列方程或方程组求解,当列方程组求解时,要注意开平方时,是两种情况,要舍去负值;当列方程求解CD时,最好写“”,可以省去后面的讨论;
2.本题也可以过A或B作对边的高.第28页,课件共40页,创作于2023年2月【问题4】如果题目中没有直角三角形,但存在直角,怎么利用勾股定理求解?第29页,课件共40页,创作于2023年2月设计意图:
【问题4】如果题目中没有直角三角形,但存在直角,怎么利用勾股定理求解?1.经历对几何图形的观察、分析,初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法,了解特殊与一般的转化思想;2.题目中设置的已知量并不是整数,意在增强学生的计算能力.第30页,课件共40页,创作于2023年2月第31页,课件共40页,创作于2023年2月小结:题目中没有直角三角形,但存在直角,可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上,本题利用“割”也有多种做法.
第32页,课件共40页,创作于2023年2月小结:题目中没有直角三角形,但存在直角,可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上,本题利用“割”也有多种做法.第33页,课件共40页,创作于2023年2月注意:1.本题的解法很多,但是解法上却有的简单,有的复杂,要选择好方法;
2.注意不要跳步.不能直接用结论:“含有30°的直角三角形的三边的比为:”;如:要求CE,需先求DE,再由勾股定理求CE.第34页,课件共40页,创作于2023年2月【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改为“斜三角形”,的关系会是怎样呢?思考题:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,根据勾股定理,则,若△ABC不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想的关系,并证明你的结论.第35页,课件共40页,创作于2023年2月思考题:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,根据勾股定理,则,若△ABC不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想的关系,并证明你的结论.设计意图:1.从证明方法角度看,通过利用“割”、“补”图形构造直角三角形的方法,得出类似勾股定理的结论,它是本节课所学知识的综合应用;2.从结论上看,三角形的边长由具体的数变成了字母,结论具有普遍性,它也是本章第18.1小节勾股定理的推广,体现了特殊与一般的转化思想.第36页,课件共40页,创作于2023年2月思考题:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,根据勾股定理,则,若△ABC不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想的关系,并证明你的结论.小结:若△ABC是锐角三角形,则有,若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有
..
第37页,课件共40页,创作于2023年2月思考题:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°
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