序列Z变换与反变换

z变换的定义与收敛域z反变换z变换的性质与定理z变换与Laplace,Fourier变换序列z变换2021/5/91z变换的定义及符号表示

z变换

z反变换

物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合C为X(z)的收敛域(ROC)中的一闭合曲线正变换：X(z)=Z{x(n)}反变换：x(n)

=Z-1{X(z)}或

符号表示2021/5/92z变换定义及收敛域充要条件:

序列z变换的定义为能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域(ROC)收敛域(ROC):R-<|z|<R+绝对可和

2021/5/93解：例：求下列信号的Z变换及收敛域。不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。2021/5/94(1)有限长序列几种不同序列z变换的ROCROC也可能包含0或∞点2021/5/95(2)右边序列几种不同序列z变换的ROC因果序列的ROC包含∞点2021/5/96(3)左边序列几种不同序列z变换的ROC2021/5/97(4)双边序列几种不同序列z变换的ROC2021/5/98z反变换C为X(z)的ROC中的一闭合曲线

留数法部分分式法长除法2021/5/99c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合围线.0c1.留数法罗朗级数公式：z反变换2021/5/910为计算围线积分，由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，

Res[]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。Z反变换2021/5/911(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数

留数的求法：Z反变换(1)当Zr为一阶极点时的留数2021/5/912例：已知1）当n≥-1时, 在z=0处不会构成极点，此时C内只有一个一阶极点 。，求z反变换。0c1/442021/5/9132）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外的无穷远处没有极点，仅有z=4这个一阶极点；且此时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:因此，Z反变换2021/5/914部分分式展开法基本思想将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换相加即得x(n)。2021/5/915部分分式展开法计算过程Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点；zi是X(z)的r阶重极点。2021/5/916部分分式展开法计算过程根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。2021/5/917例：已知X(z)的极点为z1=-1,z2=2，展成部分分式为的收敛域分别为(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2,分别求其所对应的原序列。2021/5/918例：已知的收敛域分别为(1)|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2,分别求其所对应的原序列。(1)收敛域为|z|>2时,x(n)为因果序列，(2)收敛域为|z|<1时,x(n)为反因果序列，(3)当收敛域为1<|z|<2时2021/5/919幂级数展开法基本原理在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。具体过程自学！2021/5/920双边Z变换的主要性质1.线性特性注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消时，收敛域会扩大！2021/5/921例：已知

求其z变换。2021/5/922双边Z变换的主要性质2．位移特性x[n-m]z-mX(z)ROC=Rx对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！2021/5/923例求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵消，收敛域扩大。2021/5/924双边Z变换的主要性质3.指数加权特性4.线性加权(Z域微分特性)2021/5/925双边Z变换的主要性质5.共轭序列6.时间翻转(timereversal)2021/5/926双边Z变换的主要性质7.初值定理8.终值定理因果序列x(n)=0,n<0,有X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则2021/5/927双边Z变换的主要性质9.有限项累加特性因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为2021/5/928双边Z变换的主要性质时域的卷积和对应于Z域是乘积关系10.序列卷积和ROC包含Rx1∩Rx211.序列相乘(Z域复卷积定理)时域的乘积对应于Z域是复卷积关系2021/5/929双边Z变换的主要性质

12.Parseval定理2021/5/930

理想抽样信号Z变换与Laplace变换的关系的Laplace变换2021/5/931抽样序列Z变换与Laplace变换的关系的z变换，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。2021/5/932理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质建立起s(域)平面与z(域)平面之间的的一一对应关系！Z变换与Laplace变换的关系2021/5/933

σ=0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)；

σ<0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r<1)；σ>0,即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r>1)

。r与σ的对应关系jΩ00σjIm[Z]Re[Z]2021/5/934ω与Ω的关系（ω=ΩT）0jIm[Z]Re[Z]ω

Ω=0对应于ω=0；Ω=Ω0对应于ω=Ω0T；对应于的整个z平面