信号处理初步

第一节、数字信号处理的基本步骤第二节、离散傅里叶变换第四节、几种常用的处理方法第三节、信号数字化出现的问题

信号处理初步第五章信号处理初步研究信号的构成和特征值称为信号分析；把信号经过必要的加工变换，以获得有用信息的过程称为信号处理。由以上定义可知，信号分析并不影响信号本身的结构，而信号处理则有可能改变信号本身的结构。信号分析和信号处理的目的是：1）剔除信号中的噪声和干扰，即提高信噪比(SNR)；2）消除测量系统的误差，修正畸变的波形；3）强化、突出有用信息，削弱无用部分；4）将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信号的特征，解释被测对象所表现的各种物理现象。信号分析和信号处理是密切相关的，二者并没有明确的界限。一般这两个词并不加以区分。

信号分析与处理的内容非常丰富，本章主要讲以下几个问题：模拟信号的数字化；时域中的相关分析；频域中的功率谱分析。第一节数字信号处理基本步骤数字信号处理的基本步骤

数字信号处理器或计算机预处理预处理A/D转换A/D转换结果显示数字信号处理系统

x(t)y(t)用数字序列表示信号，并用数字计算方法对这些序列进行处理，称为数字信号处理。

信号预处理：把信号变成适于数字处理的形式，幅值调理、滤波、隔离直流分量等；

A/D转换：模拟信号→数字信号。采样、量化为数字量。数字信号处理器或计算机预处理预处理A/D转换A/D转换结果显示数字信号处理系统

x(t)y(t)Analogtodigital分析计算：采用数字信号处理器或计算机，对信号分析与处理（数据截断、加窗、奇异点剔除、趋势分离、数字滤波、时域分析、频域分析等）

结果显示：数据或图形显示、D/A、记录、打印等。

数字信号处理器或计算机预处理预处理A/D转换A/D转换结果显示数字信号处理系统

x(t)

y(t)Digitaltoanalog

在第二章的讲解中，我们已建立了时间域函数与其频谱函数间的关系，如对瞬变非周期信号：但是这种变换方法不是离散的，也就不能应用数字计算机。于是便出现了DFT（离散傅里叶变换）计算方法。第二节离散傅里叶变换对于离散傅里叶变换，我们不去分析其理论推导过程，而只给出最后结果：

DFT是离散信号分析的有力工具，但是，这种方法的特点是计算工作量很大，实际应用起来很是困难。在1965年，美国人J.WCooley-W.Tukey（图利－库基）首先提出了DFT的一种快速算法——FFT（FastFourierTransform），这种快速算法使得计算工作量大大简化，从而使时域问题转换到频域的高效处理成为可能，一度被认为是信号分析技术划时代的进步。512256DFT与FFT的计算工作量比较：N10241024(×103)512256FFTDFTN=256时，二者比值64N=1024时，二者比值204.8

1965年之后，FFT得到了快速发展，新的FFT方法不断出现，如美国Rader提出的NFFT算法，美国Winorgrad提出的WFTA算法，法国Nussbaumer提出的PFTA算法等，都可谓是FFT算法的发展，它们在计算速度上有不同程度的提高。一、时域采样→混叠二、量化→量化误差三、时域截断→泄漏四、频域采样→栅栏效应返第三节信号数字化步骤及出现的问题一、

时域采样、混叠和采样定理采样：连续时间信号离散化的过程。设采样时间间隔为Ts，则x(t)经采样后的离散序列xs(t)为：

xs(t)与x(t)是局部与整体的关系。显然，能否由xs(t)唯一确定或恢复出x(t)，或能否通过对xs(t)的分析获得x(t)的全部信息是采样最关心的问题。

混叠和采样定理

时域采样间隔Ts过长，造成频域周期化间隔不够大时，在重复频谱交界处出现的局部互相重叠现象，称为频率混叠。

由于：

所以即采样信号xs(t)的频谱是无穷多个原始信号频谱放大1/Ts倍后，以采样频率fs为周期重复叠加而成。若频谱叠加出现局部重叠，则合成的总频谱将失去原信号x(t)单独频谱的波形形状，虽经滤波也不能获得x(t)的正确频谱，在时域也无法恢复原波形造成失真。1234x(t)0tABCTs混叠现象举例x(t)0t由图可见，混叠总是出现在f=fs/2左右两侧的频率处，混叠的后果是原来的高频信号将被误认为是某种相应的低频信号。如果fm≤1/2Ts，即就不会出现混叠现象。这就是采样定理。最低采样频率值称为Nyquist采样频率，也称为折叠频率。采样定理显然，若原始信号是带限信号，则采样后信号频谱不发生重叠的条件为：fs2fm（如下图）。实际工作中，fs常取为信号最高频率的3~4倍。

--fm

fm

fs……0f不产生混叠的条件消除混叠的措施①提高采样频率fs

。但提高采样频率将导致在同样信号长度下，采样点数N随之提高，增加计算负担。②应用抗混滤波器降低信号中的最高频率fm。从理论上讲，由于抗混滤波器的非理想特性，信号中高频分量不可能完全衰减，因此不可能彻底消除混叠。fc-fc模拟信号经采样后得到的离散信号转变为数字信号（幅值离散化）的过程称为量化。由此引起的误差称为量化误差。量化由A/D转换器实现，量化误差取决于其分辨力。若A/D转换器的位数（字长）为b（二进制输出，最高位为符号位，实际字长为b-1），允许的动态工作范围为D（如5V，10V或0~5V，0~10V等），则A/D幅值离散化的间隔为：

最大量化误差的绝对值为：

二、量化与量化误差

看是否设置符号位一般，量化误差可以忽略，如12位A/D在动态范围为10V时的量化误差为：2.44mV，满量程（10V）时的相对误差为0.0244%，若将量化误差视为噪声，则此时信噪比为：计算机处理的数据长度是有限的，进行数字信号处理必须对过长时间历程的信号进行截断处理。截断相当于对信号进行加窗处理，如无特殊要求，通常截断即是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数：

即：采样后信号x(t)s(t)经截断成为x(t)s(t)w(t)。

三、截断、泄漏和窗函数

由于矩形窗函数的频谱为无限带宽的sinc函数，所以即使x(t)为带限信号，经截断后必然成为无限带宽信号，这种信号的能量在频率轴分布扩展的现象(Gibbis现象)称为泄漏。显然，此时无论采样频率多高，信号总是不可避免地出现混叠，引起失真。减小泄漏的措施

①提高截断信号长度，即提高矩形窗宽度，此时sinc函数主瓣变窄，旁瓣向主瓣密集，由于旁瓣衰减较快，故可减小泄漏，但显然采样点数随之提高，增加计算负担。

②采用其它窗函数。一个好的窗函数应当：主瓣尽可能窄（提高频率分辨力）、旁瓣相对于主瓣尽可能小，且衰减快（减小泄漏）。但实际上的窗函数总是二者不可兼得，应视使用目的而决定采用什么样的窗函数。W(f)f0T/21/T1/T例如：主瓣旁瓣评价窗质量1、矩形窗

w(t)01T/2T/2tW(f)f0T/21/T1/T特点：主瓣最窄，频率分辨力高；旁瓣高，泄漏大。常用窗函数

w(t)01T/2T/2tW(f)f0T/22/T2/T2、三角窗

特点：主瓣宽，频率分辨力低；旁瓣低且无负值，泄漏小。3、汉宁窗（余弦窗）

其中

w(t)01T/2T/2tW(f)0T/22T2Tf特点：主瓣宽，频率分辨力低；旁瓣非常低，大大抑制泄漏。

4、哈明窗（余弦窗）

其中

w(t)01T/2T/2tW(f)0T/22T2TfHamming特点：同Hanning但旁辨比汉宁窗衰减得快，应用也很广。5、指数窗

w(t)10tW(f)1/a0f特点：主瓣很宽，频率分辨极低；无旁瓣，大大抑制泄漏。适于测量脉冲等随时间变化迅速衰减的信号。抑制噪声提高SNR我们讲了多种窗函数，在选择时应依据被分析信号的性质与处理要求。要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗；分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如三角窗、Hanning窗、Hamming窗;

对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高SNR。四、

频域采样与栅栏效应时域采样时域截断由上图可见，经过时域采样与时域截断后，在频域内信号的频谱仍是连续的。如果使之数字化，则必须使频率离散化，进行频域采样。这一步与时域中的采样是相类似的。频域采样导致对时域截断信号进行周期延拓，将时域截断信号“改造”为周期信号。

频域采样经频域采样后的频谱仅在各采样点上存在，而非采样点的频谱则被“挡住”无法显示（视为0），这种现象称为栅栏效应。显然，频域采样必然带来栅栏效应。在时域，只要满足采样定理，栅栏效应不会丢失信号信息，但在频域，则有可能丢失的重要的或具有特征的频率成分，导致谱分析结果失去意义。X(f)S0(f)x(t)s0(t)s0(t)x(t)S0(f)X(f)w(t)W(f)x(t)s0(t)w(t)

X(f)S0(f)W(f)

s1(t)S1

(f)[X(f)S0(f)W(f)]S1

(f)[x(t)s0(t)w(t)]*s1(t)

离散傅里叶变换：N个主值序列NN频率分辨力、整周期截断

频率采样间隔f决定了频率分辨力。f越小，分辨力越高，被挡住的频率成分越少。由于DFT在频域的一个周期内（频率为：1/Ts）输出N个有效谱值，故频率间隔为：显然，可以通过降低fs或提高N以提高f。①但前者受采样定理的限制，不可能随意降低，②后者必然增加计算量。为了解决上述矛盾，可以采用ZOOM-FFT或Chip-Z变换，或采用基于模型的现代谱分析技术。由于谱线是离散的，因此频谱谱线对应的频率值都是f整数倍。对于简谐信号，为了得到特定频率f0的谱线，必须满足：T：信号分析时长。T0：频率为f0信号的周期。上式表明：只有信号的截断长度T为待分析信号周期的整数倍时，才可能使谱线落在f0，获得准确的频谱。此即为整周期截断。整周期采样的结果是使得频域抽样后所拓展的周期时域信号完全等同于实际的周期信号。信号分析和处理的方法主要有模拟分析方法和数字处理分析方法数字信号处理可以在专用计算机上进行，也可以在通用计算机上实现。测试系统框图被测对象观察者传感器传输信号调理信号处理显示记录激励装置反馈、控制信号处理第四节几种常用的处理方法

随机信号广泛存在于工程技术的各个领域中。确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了次要的随机因素后抽象出来的模型。也就是说，测试信号总是受到环境噪声污染的，对随机信号的分析更有普遍、现实的意义。随机信号平稳随机过程→各态历经随机过程非平稳随机过程｛随机信号所具有的不确定性x5(t)x4(t)x3(t)x2(t)x1(t)t1t2①均值、方差和均方值；②概率密度函数（PDF）；③相关函数（RF）；④功率谱密度函数（PSD）。③

相关函数（RF）；④

功率谱密度函数（PSD）。各态历经随机过程的主要特征参数有：一、相关分析(时延域分析)及其应用

相关分析用来研究两个随机变量之间的关系或分析两个信号或者是一个信号在一定时移前后之间的关系（相似程度）。深入揭示信号的波形结构。石油相关分析例：机器上某个部件失衡（动不平衡），引起机器的振动。但是测量的振动信号中，除了不平衡振动信号外，还会有齿轮啮合振动，滚动轴承振动，地基振动等信号。各振动信号的频率是不相同的。不平衡振动信号的频率与转动频率相同，齿轮啮合频率是齿数与旋转频率的乘积，滚动轴承振动频率一般较高，地基振动频率一般较低。根据同频相关不同频不相关的原理，因此和旋转频率不一致的频率与失衡无关，分析振动信号与旋转频率相关的成分，可以获得失衡状态的信息。相关系数；信号的自相关函数；信号的互相关函数。１、相关系数对于确定性信号来说，两变量间的关系可以用数学关系式来描述。但是对于随机信号，却无法用数学函数关系来描述，只能采用概率统计的方法。在下面这幅图中：········································xy0xy0xy0(a)(b)(c)图7-6两随机变量x与y的相关性······································································································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)图7-6两随机变量x与y的相关性(a)x与y完全线性无关；(b)x与y完全线性相关；(c)x与y存在某种程度的线性关系；由概率论可知，相关是表示两个随机变量x和y的线性关联程度的量，常用相关系数表示：由柯西-许瓦兹不等式

相关系数(a)x与y完全线性无关；(b)x与y完全线性相关；

(c)x与y存在某种程度的线性关系；················································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)

(注意此时x与y却可能还有其它的函数关系)2、信号的自相关函数x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数，观测时间为T.x(t+τ)是时移之后的样本函数。这两个样本函数具有相同的均值mx和标准差sx。x(t)x(t+τ)0tit0ttiTττ下面求相关系数，应用前述公式：则有：(1)自相关函数定义

注意：各态历经随机信号(推广)：

能量有限信号：

则有：周期信号T——周期(2)自相关函数的性质(5条)

τ0原因：

τ0均方值x(t)x(t+τ)0t0tTτ

τ足够大或τ→∞时，随机变量x(t)与x(t+t)就不存在内在的联系了，彼此无关。x(t)x(t+τ)0t0tTτττ自相关函数为实偶函数

τ0证明：

周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，但丢失了原信号的相位信息。

例

求正弦函数

的自相关函数

解：周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数；在自相关函数中包含的原信号的幅值信息与频率信息，但是却丢失了其初始相位信息。τ0tx(t)0正弦函数及自相关函数x0(x02)/2初始相位f的信息丢失了典型信号的自相关函数正弦信号正弦信号+随机噪声窄带随机信号宽带随机信号(3)自相关函数的作用

主要是用来区别信号的类型。由图可见：只要信号中含有周期成分，其自相关函数在τ很大时都不衰减，并具有明显的周期性；信号中不包含周期成分则在τ稍大时自相关函数就衰减为零。宽带随机信号的自相关函数相对于窄带随机信号的自相关函数衰减快。例：

①机加工表面粗糙度（用轮廓仪测）成因分析。自相关函数的应用举例：金钢石触针工件相关分析电感式传感器系统构成：10mm5mmRx(t)00.51t可能成因：①沿工件轴向走刀运动的周期性；②工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性。例：②在水域中探索有无潜艇通过。潜水艇的发动机在工作时发出周期性信号，而海浪是随机的，如果经过相关分析发现有周期性峰值，就可以知道，可能有潜艇通过。

自相关函数在电子、机械等工程中有一定的使用价值，但是利用它的傅里叶变换（自功率谱，下面的内容）来分析噪声中的周期信号更加实用一些。另外，从前面的分析中我们知道，自相关函数中丢失了相位信息，使其应用受到一定的限制。3信号的互相关函数

(1)互相关函数定义

研究两个随机信号间的相关性。定义：各态历经随机信号定义：互相关函数图形：图7-11

互相关函数

τ0τ0(2)互相关函数的性质(主要讲4条)

互相关函数的限制范围为：

τ0τ0同频相关不同频不相关

例

求下列两正弦信号

的互相关函数。

讨论如下两种情形：①

②结论：同频相关不同频不相关结论：同频相关不同频不相关解：

因为信号是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故

①(应用三角函数的正交性)②保留了①幅值②频率③相位信息互相关函数非偶函数、亦非奇函数，具有关系因为：τ0τ0

的峰值不在

处，其峰值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小，相关程度最高。图7-11

互相关函数的性质

τ0τ0(3)互相关的应用

在噪声背景下提取有用信息。例1：线性定常系统对之施加振动激励→x(t)

检测振动信号→y(t)，(含有大量的干扰噪声)

对x(t)和y(t)进行相关分析，根据同频相关不同频不相关的理论，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响应，其它成分均是干扰噪声，这样便可得知激励引起的响应的幅值及相位差的大小，完全消除了干扰噪声的影响。这种处理方法称为相关滤波。

石油例2：相关分析在输油管测漏中的应用

τ0τm中心线相关分析y(t)12sx(t)例3：相关测速

图7-12钢带运动速度的非接触测量

钢带可调延迟相关器光电池冷轧6~40m/s热轧8~30m/s例4：相关分析的声学应用

相关分析在声学测量中应用很多。它可以区分不同时间到达的声音，测定物体的吸声系数和衰减系数，从多个独立声源或振动源中测出某一声源到一定地点的声功率等。

注意：各态历经随机信号(推广)：

能量有限信号：

周期信号二、功率谱分析及其应用

信号的时域描述反映了信号幅值随时间变化的特征；相关分析从时域为在噪声背景下提取有用信息提供了手段；信号的频域的描述反映了信号的频率结构和各频率成分的幅值大小；功率谱密度函数、相干函数、倒谱分析则从频域为研究平稳随机过程提供了重要方法。

1、自功率谱密度函数定义及其物理意义

巴塞伐尔（Parseval）定理

功率谱的估计自功率谱的应用功率谱PSDPowerSpectrumDensity定义及其物理意义定义随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：其逆变换为

记作：的自功率谱密度函数，简称为自谱或自功率谱。为什么称为自功率谱呢？瞬时功率总能量平均功率由于：则二者所蕴含的信息是等价的，自功率谱密度函数必然是偶函数，如上图所示。f0f0图7-14单边谱与双边谱因为经常应用的频率段为f=(0,∞)，所以功率谱也常用单边的形式来表示之。巴塞伐尔（Parseval）定理（能量等式）

定义：信号在时域中的总能量等于其在频域中的总能量。由卷积定理即令令证明下面根据Paseval定理推导一下自功率谱密度函数和幅值谱或能谱之间的关系。由Parseval定理：

由功率谱定义(此式见P160上面式)：因此有：重要公式可以直接对时域信号x(t)进行傅里叶变换，再利用上述公式求信号的功率谱(但这只是理论上)。功率谱的估计上面得到的功率谱与信号的幅值谱间的关系仅是一个理论计算公式，实际上我们不可能对一个无限长的时域信号进行分析，只能分析有限长度的信号。模拟信号数字信号自功率谱的应用（三个方面）①反映信号的频率结构；反映信号的频率结构，所以也反映信号的频率结构，但与之间是平方的关系，因此频率结构更加明显。（见下页图）00ff幅值谱与自功率谱②反映系统的幅频特性(但丢失了相位信息)若为线性定常系统有：则有：两边平方：亦即：由此得到：通过对输入输出自谱的分析便可以得到系统的幅频特性。③检测信号中有无周期成分理想的周期信号的尖谱是脉冲函数，但实际信号我们只能对其取有限长度进行分析（截断），截断后的周期信号频谱特点为：谱线高度有限；谱线宽度无限小。周期成分以陡峭的有限峰值的形态出现。故障诊断实例有放大图故障诊断实例

132KW造气鼓风机，转速为2950r/min，强烈振动而不能正常运行。轴承振动加速度谱水平垂直402950r/minf=49.1Hz此图为最靠近叶轮的轴承（1#测点）的加速度谱。2、互功率谱密度函数定义互功率谱的估计互功率谱的应用定义两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：

其逆变换为：不是偶函数，可以证明，存在如下关系：由于互功率谱密度函数是互相关函数的傅里叶变换，因此二者所蕴含的信息是等价的。它既保留了原来信号的幅值与相位信息，同时也保留了原信号的初始相位信息。功率谱