初中数学锐角三角函数的知识点

初中数学锐角三角函数的知识点一、选择题1.如图，AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角/AEF为27。（点A,B,C,D,E在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin277a0.45,cos27。氏0.89,tan27。氏0.51）A3CA.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米【答案】B【解析】【分析】过点E作EM1AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4可设CD=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长.由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG,BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论.【详解】解：过点E作EM1AB与点M，延长ED交BC于G,,・,斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,BC=CD=52米，.•.设DG=x，则CG=2.4x.在RtACDG中，・,DG2+CG2=DC2，即x2+（2.4x）2=522，解得x=20,•・DG=20米，CG=48米，EG=20+0.8=20.8米，BG=52+48=100米.・•EM1AB,AB1BG,EG1BG,,四边形EGBM是矩形，EM=BG=100米，BM=EG=20.8米.在RtAAEM中，:/AEM=27。，AM=EMtan27°a100x0.51=51米，AB=AM+BM=51+20.8=71.8米.故选B.

3CG【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2.2.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一【答案】A【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角tan^ABC=EC得出答案.BE结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用【详解】【详解】解:连接DC,交AB于点E.由题意可得:NAFC=30°,DC±AF,设EC=x^EF=设EC=x^EF=tan30o・•.BF=AF=2EF=23XxtanZABC二EC_x_1tanZABC二BE-2<3x+<3x-373

故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键.3.如图，在AABC中，AC=4，ZABC=60。，ZC=45。，AD±BC，垂足为D，^ABC的平分线交^ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）2%2B. 33七2%2B. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】在RtAADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在RtAADB中，由AD的长度及NABD的度数可求出BD的长度，在RtAEBD中，由BD的长度及NEBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD-DE即可求出AE的长度.【详解】VADXBC.\ZADC=ZADB=90。在RtAADC中，AC=4,ZC=45。.•・AD=CD=2<2在RtAADB中，AD=2<2，/ABD=60。TOC\o"1-5"\h\z近 2<6.\BD=-AD= .3 3VBE平分NABC,.\ZEBD=30°.在Rt在RtAEBD中，於浮ZEBD=30°<3 2<24<2

丁.DE=——BD=4<2

丁_ 2<2.AE=AD-DE=2%2 3故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形.4.在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40。，若DE=55米，DE±CE,CE=36米，CE平行于AB,BC的坡度为i=1:0.75，坡长BC=140米，则AB的长为（）（精确到0.1米，参考数据：sin40。20.64,cos40。20.77,tan40。氏0.84） Dy/es.」A.78.6米 B.78.7米 C.78.8米 D.78.9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RtACBF中求得BF、CF的长，再利用RtAADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F,延长DE交AB延长线于点G°VBC的坡度为1:0.75,设CF为xm,则UBF为0.75xmVBC=140m・•.在RtABCF中，X2+(0.75X>=1402，解得：x=112.•.CF=112m,BF=84mVDEXCE,CE#AB,ADG±AB,AAADG是直角三角形VDE=55m,CE=FG=36m.•.DG=167m,BG=120m设AB=ymVZDAB=40°DGAtan40°=解得：y=78.8故选：C

【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值5.如图，△ABC内接于半径为5的。0,圆心O到弦BC的距离等于3,则NA的正切值等于（）于（）D.D.B.5【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点0作ODLBC,垂足为D,连接OB,0C,V0B=5,0D=3,・•.根据勾股定理得BD=4.1VZA=-ZB0C,AZA=ZB0D.2BD4Z.tanA=tanZB0D= 二一OD3故选D.考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义.6.如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点b出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是()()B.一直不变C.B.一直不变C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案】B【解析】

【分析】连接GE,过点E作EMXBC于M,过点G作GN±AB于N,设AE=BG=x,然后利用锐角三角函数求出GN和EM,再根据Sm^=Sagde+Saegf即可求出结论.【详解】 “解：连接GE,过点E作EMXBC于M,过点G作GNXAB于N设AE=BG=x,贝UBE=AB-AE=AB-x.\GN=BG-sinB=x-sinB,EM=BE-sinB=(AB-x)-sinB,*S阴影=Sagde+Saegf1=-DE-GN+-GF-EM211=-DE-(x-sinB)+-DE-[(AB-x)-sinB]1=2DE-[x-sinB+(AB-x)-sinB]1=-DE-AB-sinB2•「DE、AB和NB都为定值故选B.,S阴影,S阴影也为定值【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键..如图，在△ABC中，AC±BC,NABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且AB=BD，则tanD的值为（ ）A口 B CA.2<3 B.3<3 C.2+D.2-*；3【答案】D【解析】【分析】设AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解决问题.【详解】设AC=m,在RtAABC中，•.•/C=90°,NABC=30°,；.AB=2AC=2m,BC=<3AC=<3m,；.BD=AB=2m,DC=2m+33m,ACm/,tanZADC= =~~ =2-33•CD2m+\：3m故选：D.【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型..如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达b点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度（）A.6+2<3 B.6+、；3 C.10-<3 D.8+<3【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E,设PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE,列出方程求得x的值，再在直角4BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解.【详解】解：延长PQ交直线AB于点E,设PE=x.在直角4APE中，NA=45°,AE=PE=x；VZPBE=60°.\ZBPE=30°在直角4BPE中，BE=—PE=—x,3 3VAB=AE-BE=6米，则Ux--^-x=6,3解得：x=9+3%汽则BE=3<3+3.在直角4BEQ中，QE=亘BE=—(3<3+3)=3+<3.3 3・•・PQ=PE-QE=9+333-(3+J3)=6+2<3.答：电线杆PQ的高度是(6+2、/3)米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题ca9.在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若NB=60°,则一-+--的值为a+bc+bTOC\o"1-5"\h\z( )Ac2A.- B.—— C.1 D.V2\o"CurrentDocument"2【答案】C【解析】【分析】3 1先过点A作ADXBC于D,构造直角三角形，结合NB=60°,利用sin60°=——,cos60°=-,\o"CurrentDocument"2 2可求DB=-c,AD=己c,把这两个表达式代入到另一个RtAADC的勾股定理表达式中，2 2化简可得即a2+c2=b2+ac,再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1.【详解】解：过A点作ADXBC于D,在RtABDA中，由于NB=60°,・•・DB=-c,AD=员c,2 2在RtAADC中，DC2=AC2-AD2,即a2即a2+c2=b2+ac,c2+cb+a2+ab

(a+b)(c+b)a2+c2+ab+bcb2+ac+ab+bc - -1.ac+ab+bc+b2ac+ab+bc+b2故选C.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法.10.10.某游乐场新推出了一个“极速飞车〃的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i=1：2,BC=12\彳米，CD=8米，/D=36°,（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°，0.73,cos36°，0.81,sin36°，0.59）A.5.6 B.6.9 C.11.4 D.13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE,BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案.【详解】解:如图，延长DC、AB交于点E,,,由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i=1：2,得BE：CE=1：2.设BE=xm,CE=2xm.在RtABCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2,即x2+(2x22=(12'.J)2,解得X=12,BE=12m,CE=24m,DE=DC+CE=8+24=32m,由tan36°=0.73,得AB山=0.73,解得AB=0.73x32=23.36m.由线段的和差，得AB=AE-BE=23.36-12=11.36，11.4m,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE,BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差.11.如图1,在4ABC中，/B=90°,NC=30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C,设ABPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s2,y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为( 2mi 图2A.2 B.4 C.2%-'3 D.4<3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：v3，根据x=2,y=6J3，确定P、Q运动的速度，即可求解.【详解】解：设AB=a，/C=30°,贝UAC=2a,BC=<3a,设P、Q同时到达的时间为T,3a 3a则点P的速度为〒，点Q的速度为修，故点P、Q的速度比为3：、:3,T T故设点P、Q的速度分别为：3八v3v,由图2知，当x=2时，y=6<3，此时点P到达点A的位置，即AB=2x3v=6v,BQ=2x<3v=2<3v,1 1y=1 1y=-aABxBQ=-x6vx2<3v=633,解得：v=1,故点P、Q的速度分别为：3,<3,AB=6v=6=a,贝UAC=12,BC=6<3,如图当点P在AC的中点时，PC=6,此时点P运动的距离为AB+AP=12,需要的时间为12-3=4,贝UBQ=<3x=4x.'3,CQ=BC-BQ=6%3-4、运=2,3,过点P作过点P作PH±BC于点H,PC=6,则PH=PCsinC=6x1=3,同理CH=3、3，则HQ=CH-CQ=3<3-2<3=PQ=%,PH2+HQ2=<3+9=23,故选：C.【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.12.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD,AD上，BE与CF交于点G12.如图，正方形ABCDBC=4,DE=AF=1,则GF的长为（）13 12 19A了 13 12 19A了 B.了 CJD.16【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得BE=CF=5，证明NBCE=ACDF，根据全等三

BCCG角形的性质可得/CBE=/OC/，继而根据cos/CBE=cos/ECG= =，可BECE求得CG的长，进而根据GF=CF-CG即可求得答案.【详解】・•四边形ABCD是正方形，BC=4,•.BC=CD=AD=4，/BCE=/CDF=90。，:AF=DE=1,•.DF=CE=3,•・BE=CF=<32+42=5，在ABCE和\CDF中，[BC=CD/BCE=/CDF,CE=DF.・.ABCE=ACDF(SAS),•./CBE=/DCF,・•/CBE+/CEB=/ECG+/CEB=90。=/CGE,cos/CBE=cos/ECG= = ,BECE4_CG4_CG,CG—,一― ―一1213•.GF=CF—CG=5—1=F,故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.13.如图，RtAAOB中，NAOB=90°,AO=3BO,OB在x轴上，将RtAAOB绕点O顺时针旋TOC\o"1-5"\h\z2 k转至△RtA'OB',其中点B’落在反比例函数y=--的图象上，OA'交反比例函数y=-的图象X X于点C,且OC=2CA',贝uk的值为（ ）

C.8A.C.8A.4D.7B.2【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAAOB绕点O顺时针旋转至Rt^A'OB'的旋转角为a,OB=a，则OA=3a,由题意可得，点B'的坐标为（acosa,-asina),^C的坐标为由题意可得，点B'的坐标为（acosa,•・•点B'在反比例函数y=-2的图象上，x...-asina= ,得a2sinacosa=2,acosak又•・•点C在反比例函数y=-的图象上，x/.2acosa=--；—,得k=4a2sinacosa=8.2asina故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为a,利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.14.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于1CD为半径作弧，两弧交于点M,N；②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是（）A./ABC=60° B.5VAbe=2S* c.若AB=4,贝UBE=4百21D.sin/CBE= 14【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD,则NAED=90°,CE=DE,于是可判断NDAE=30°,ND=60°,从而得到NABC=60°；利用AB=2DE得至1」SaABE=2SaADE；作EH±BC于H,如图，若AB=4,则可计算出CH=1CE=1,EH=<3CH八两，利用勾股定理可计算出BE=2百；利用正弦的定义得EH211sinNCBE= = .BE14【详解】解：由作法得AE垂直平分CD,.\ZAED=90°,CE=DE,・•四边形ABCD为菱形，.•.AD=2DE,.\ZDAE=30°,ZD=60°,•.NABC=60°,所以A选项的说法正确；AB=2DE,•••SaABE=2S,ade，所以B选项的说法正确;作EHXBC于H,如图，若AB=4,在RtAECH中,VZECH=60°,CH=1CE=1,EHr13CH=<3,在RtABEH中，BE=\:'（3）2+52=2<7，所以C选项的说法错误;EHsinEHsinZCBE=——BE所以D选项的说法正确.故选C.【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了菱形的性质和解直角三角形.15.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1,AAEM与AADM关于AM所在直线对称，将NADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到AABF，连接EF，则cos/EFC的值是（）A DD．D．617B.—v'13 C.—v1565 25【答案】A【解析】【分析】过点E作HG//AD，交AB于H,交CD于G,作EN1BC于N,首先证明VAEH:VEMG,则有理=但=1，设MG=x，则EH=3x,则MGEM3设 则DG=AH=1+x,在RtVAEH中利用勾股定理求出x的值，进而可求EH,BN,CG,EN的长度，进而可求FN,再利用勾股定理求出EF的长度，最后利用cos/EFC=FN即可求解.EF【详解】过点E作HG//AD，交AB于H，交CD于G，作EN1BC于N，则AD=AB=3,/ABC=ZC=ZD=90°,，四边形AHGD,BHEN,ENCG都是矩形.由折叠可得，ZAEM=ZD=90°,AE=AD=3,DM=EM=1,:.ZAEH+ZMEG=ZEMG+ZMEG=90°,:.ZAEH=/EMG，:VAEH:VEMG，设MG=x，则EH=3x，DG=AH=1+x在RtVAEH中，QAH2+EH2=AE2「.（1+x）2+（3x）2=32解得x=4或x=—1（舍去），「EH=BN=12,CG=CD-DG=EN=6.5 5QBF=DM=117「.FN=BF+BN=—.5在Rt△EFN中，由勾股定理得，EF=、；EN2+FN2=,13,wFN17后cos/EFC==—x13.EF65故选：A.【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键.16.定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作5〃副,即sadA=底边:腰.如图，在AABC中，AB=AC,ZA=2/B.则sinB-sadA=()A.2 B.<2 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】证明AABC是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】解：•.•AB=AC,AZB=ZC,VZA=2ZB,AZB=ZC=45°,ZA=90°,AC一二在RtAABC中，BC=-——=s2AC,sin/BACBC1AsinZB*sadA=BCgAC'i'故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.17.如图，将一个小球从斜坡的点。处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x—1 1-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=-x刻画，下列结论错误的是()

A.斜坡的坡度为1:2B.小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距。点水平距离为7米D.当小球抛出高度达到7.5m时，小球距。点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、。；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定D.【详解】1。/y=--x2+4x解:2解:1y=x2解得7-：7=1：2,・♦.A正确;小球落地点距。点水平距离为7米，C正确;4 19y=4x--x22=——(x—4)2+8,2则抛物线的对称轴为x=4,・・・当x>4时，>随x的增大而减小，即小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当y=7.5时，7.5=4x--x2,2整理得x2-8x+15=0,解得，\=3,x2=5,二当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距。点水平距离为3m或5m,d错误，符合题意；

故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的一坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键.18.如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接八乂，作DELAM于点E,BF±AM于点F,连接BE,若AF=1点F,连接BE,若AF=1,B.四边形ABED的面积为6,则NEBF的余弦值是（ ）D.A.挈132C.313【答案】B【解析】设AE=x设AE=x，则BF=x,DE=AF=1,利用四边形ABED的面1首先证明△ABF04DEA得到BF=AE；积等于4ABE的面积与4ADE的面积之和得到了。。+。、1=6,解方程求出x得至1」AE=BF=3,则EF=x-1=2,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用余弦的定义求解.【详解】•・•四边形ABCD为正方形，.\BA=AD,ZBAD=90°,VDEXAM于点E,BFXAM于点F,.\ZAFB=90°,ZDEA=90°,VZABF+ZBAF=90°,ZEAD+ZBAF=90°,.\ZABF=ZEAD,在△ABF和ADEA中叱BFA=/DEA</ABF=EADAB=DAAAABF^ADEA(AAS),.\BF=AE；设AE=x，则UBF=x,DE=AF=1,•・•四边形ABED的面积为6,11.・..x・x+--x■=6，解得x1=3,x2=-4(舍去)，

AEF=x-1=2,在RtABEF