理学线性代数技巧行列式的计算方法解析

#(a—n+1)n—1(a—n+2)n—1(a—1)n—1an—1(a—n+1)n—2(a—n+2)n—2(a—1)n—2an—2**♦♦♦***a—n+1a*—n+2*•••a—1*a1111D=n解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（+（n-2））1/2次行对换后，得到1a—1n(n—1)D=(—1)2n(a—n+1)

(a—n+(a—n+1)

(a—n+1)n—1(a—n+2)

(a—n+2)n—1(a—1)n—2(a—1)n—1an—2an—1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用•范德蒙行列式的结果得：1n(i-j)1<j<i<1n(i-j)1<j<i<nn(n—1) nn-―D二(—1)211[(a—n+i)—(a—n+j)]:(—1)2n1<j<i<n5.消去法求三对角线型行列式的值例6求n阶三对角线型行列式的值：

门桌的构造是：主对角线元全为2,主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解用消去法，把口乂中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的5倍，于是第二行变为6"；二”" ?其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的石倍，则第三行变为0,◎2—|咚1,0,…,0再从第四行减去第三行的E倍，则第四行变为0,o,Q=X0,…月类似地做下去，直到第n行减去第n—1行的式倍，则第n行变为0,0,…。2- =总+1■稣最后所得的行列式为2 1 0■■■00-1■,■00 0-■■■0 :…0 00 ■■■检+1罪 （2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为.34 «+1『'2‘3,'九 93）（3）中各数的连乘积，即口乂二九+1（3）中各数的连乘积，即口乂二九+1注3一般的三对角线型行列式%%0■■■ 0瓦%%■■■ 00%%■■■ 0000"""Cn-1000■■■内又主对角线下方的元全为0。故口乂的值等于（4）也可以按上述消去法把次对角线元务力3”全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。4．数学归结法例5计算行列式x+yxy0 ■■■001工+y砂■■0001丈+y■■■00■■■■■■■■■■■■■■■■■■000 ■■■犬+y砂000 ■■■1工+y解：口=二十/鼻=X2+个+/A=/+x2y+xy猜测：订乂=/+/Ty+…+A/"+y证明（1）n=1,2,3时，命题成立。假设nWk-1时命题成立，考察n=k的情形:丈+r砂0 .■■ 0 01二十jxy■■■ 0 00 1x+y■■- 0 04=■■■■■■■■■■■■0 00 ■■■犬+y◎0 00 ■■■ 1x+y1xy■■- 0 00元+y… 0 0=0+y)%-砂■■■■■■■■■■■■■■■0 0 ■■■工+yxy0 0 … 1或+y=(x+y)%一»%口口= + +/-1口口=产+/y+…+即产+产。义=（K+y）"I