分析力学教学课件

分析力学教学课件第一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第1页，共70页。致童鞋们

之学生虐我千百遍，我待学生如初恋

教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱一群人，最后却只感动了自己。曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人考不好。你若不离不弃

我必生死相依

你若自我放弃

我也无能无力第二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第2页，共70页。绪论一什么是分析力学？分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。第三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第3页，共70页。拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。第四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第4页，共70页。二研究对象它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系。工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。第五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第5页，共70页。三发展历史1788年拉格朗日《分析力学》世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力学方程。1834年，哈密顿正则方程用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。第六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第6页，共70页。1894年赫兹首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约束两大类。20世纪至今分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。第七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第7页，共70页。四应用分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。第八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第8页，共70页。五研究意义分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。第九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第9页，共70页。六分析力学与理论力学比较理论力学分析力学相同点同属经典力学不同点对象力能量方法几何法分析法基础牛顿定律变分原理第十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第10页，共70页。分析力学分析静力学分析动力学第十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第11页，共70页。分析静力学以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位移原理方法得出平衡的普遍规律。在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系的动力学问题。分析动力学第十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第12页，共70页。内容第一章虚位移原理第二章动力学普遍方程和拉格朗日方程第三章哈密顿正则方程第四章力学的变分原理第五章一个自由度系统的振动第六章两个自由度系统的振动第七章狭义相对论的拉格朗日方法和……第十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第13页，共70页。

第一章虚位移原理1.约束及约束方程2.自由度和广义坐标3.虚位移4.虚位移原理5.虚位移原理的应用举例6.用广义力表示的质点系平衡条件7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性第十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第14页，共70页。1.约束及约束方程1-1约束的定义质点系分为自由质点系和非自由质点系。若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的初始条件，则这种质点系称为自由质点系；它的运动称为自由运动。若质点系的运动状态受到某些预先给定的限制（运动的初始条件也要满足这些限制条件），则这种质点系称为非自由质点系；它的运动称为非自由运动。第十五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第15页，共70页。实现这些约束条件的物体称为约束体。受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束第十六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第16页，共70页。约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用力称为约束力。主动力和约束力（或约束反力）主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。第十七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第17页，共70页。1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。约束反力的特点：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用点在物体与约束相接触的那一点。4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。第十八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第18页，共70页。例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面公法线方向指向物体。在支座约束中，固定铰支座，约束反力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。第十九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第19页，共70页。解除约束原理当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响。第二十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第20页，共70页。1-2约束方程用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。第二十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第21页，共70页。1-3约束的分类⒈几何约束和运动约束⒉双面约束和单面约束⒊定常约束和非定常约束第二十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第22页，共70页。⒈几何约束和运动约束几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置，这种约束称为几何约束(完整约束)。xyoφlMlABxoyrω第二十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第23页，共70页。运动约束：当质点系运动时受到的某些运动条件的限制称为运动约束(非完整约束)。即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）Cxoyφω瞬心CMMxCPvCrωMMPvCωMMPvCωMPvCφφM轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为yC=r运动约束方程vC－rω=0或yC=r第二十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第24页，共70页。⒉双面约束和单面约束双面约束：如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束。单面约束：如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束。约束：单摆约束分类约束方程刚性摆杆双面约束不可伸长的绳单面约束第二十五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第25页，共70页。⒊定常约束和非定常约束定常约束：约束方程中不显含时间t的约束

。

f(x,y,z)=0非定常约束：约束方程中显含时间t的约束。

f(x,y,z，t)=0举例：定常约束：前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束；非定常约束：变摆长的单摆。xyoφlMv其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤的约束，初始长度为

，穿过固定的小圆环，在拉拽过程中,以速度v伸长。在任意瞬时t，其约束方程为:第二十六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第26页，共70页。本章只讨论：完整的（几何的）、双面的、定常的约束！第二十七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第27页，共70页。2.自由度和广义坐标2-1自由度定义：在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度N=3n－s对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，则N=2n－s情形一：以质点作为质点系基本单元xyoφlM例：图示的平面摆，其中：n=1，s=1。则

N=2×1－1=1第二十八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第28页，共70页。情形二：以刚体作为质点系基本单元质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度

N=6n－s对平面问题，如Oxy平面内，两个平动一个转动，则

N=3n－s例1：图示的轮C在水平轨道上纯滚动，其中：n=1，s=2。则

N=3×1－2=1CxoyxCPvCφωyC=rvC－rω=0第二十九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第29页，共70页。例2：图示的平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成，其中：n=2，s=4，则

N=3×2－4=2xyoABφ1φ2l1l2第三十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第30页，共70页。2-2广义坐标定义：确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。例一：如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、yA

、xB之一为广义坐标，而选更方便。xoylrAB第三十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第31页，共70页。例二：再如平面双摆有两个自由度，选

1

、

2为广义坐标比较合适。xyoAB

1

2l1l2第三十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第32页，共70页。对于有n个质点的质点系，若有s个完整约束组成，则其自由度N=3n－s，可选N个广义坐标q1，q2，…，qN。则各质点的坐标可由广义坐标表示为：矢量形式为：注：用广义坐标表示各质点位置的一般表达式，隐含了约束条件，这是采用广义坐标的方便之处。第三十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第33页，共70页。3.虚位移1.定义：在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移。2.虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量；与实位移相比：虚位移是无限小的位移；

实位移可为无限小，也可为有限值；虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关；在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。第三十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第34页，共70页。3.说明虚位移常用r、x、s、等表示；关于符号δ：δ---等时变分算子符号（变分符号）；δ---表示无限小的变更；δ的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。第三十五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第35页，共70页。4.实位移（力学现象）和虚位移（几何概念）的差别4-1.在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。MMMMM在图示瞬时，物块M在dt内发生的无限小的实位移dr沿斜面向下。物块M的虚位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容许的。drdrdrdrδr1δr1δr1δr2δr1物块M置于固定的斜面上，斜面对于物块M的约束是定常约束。δr2δr2δr2第三十六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第36页，共70页。4-2.非定常约束下，无限小的实位移不是虚位移之一！物块M置于以速度vo移动的斜面上，斜面对于物块M的约束是非定常约束。MdrdredrrM'v0

在dt内，斜面位移为dre，物块的实位移为dr。根据合成运动理论，有dr=dre+drr=MM‘dre=v0dt---牵连位移drr---物块相对斜面的位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM物块M的虚位移可以是沿斜面向下的δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容许的。δr1δr2δr1δr2δr1δr2δr1δr2第三十七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第37页，共70页。5.虚位移的几何意义——约束方程第三十八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第38页，共70页。为曲面上该点的法向矢量!其中：所以

非自由质点

M的虚位移垂直于曲面上该点处的法线，也就是说虚位移必在通过该点的曲面的切平面上。第三十九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第39页，共70页。第四十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第40页，共70页。补充知识：刚体的平面运动

------平面图形上各点的速度

第四十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第41页，共70页。刚体运动时，如果体内任意一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则这种运动成为刚体的平面运动。即：刚体作平面运动时，体内任意一点都在与某固定平面平行的平面内运动。一．刚体平面运动的定义第四十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第42页，共70页。1．速度基点法平面图形的运动可以看成是:

牵连运动（随同基点A的平动）与相对运动（绕基点A的转动）的合成因此:

平面图形上任意一点B的运动可用合成运动的概念进行分析，其速度可用速度合成定理求解。二．刚体平面运动的特征第四十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第43页，共70页。2.速度投影定理定理:同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。反映了刚体不变形的特性：

因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短，这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体的一般运动。第四十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第44页，共70页。问题的提出？若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。于是，自然会提出，在某一瞬时，平面上是否有速度等于零的点？如果有，该点如何确定？3.速度瞬心法第四十五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第45页，共70页。定理:

一般情况下，每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。在某瞬时，平面图形上速度为零的点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称为速度瞬心或瞬心。AN’上任意一点M：证明：总有一点I满足：则I点的（绝对）速度：第四十六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第46页，共70页。4.平面图形上各点速度的分布其中，I为瞬心刚体上任意一点M的速度:总结：平面图形的运动可以看成是绕它的速度瞬心作瞬时转动。注意：速度瞬心的速度为零，但是加速度不为零。第四十七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第47页，共70页。5.速度瞬心位置的确定（1）若平面图形沿一固定面滚动而无滑动，则图形与固定面的接触点I就是该瞬时图形的速度瞬心。注意：是在固定面上的纯滚动，如果不是固定面，接触点并非瞬心。第四十八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第48页，共70页。5.速度瞬心位置的确定（2）已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行，则速度瞬心必在过每一点且与该点速度垂直的直线上。第四十九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第49页，共70页。5.速度瞬心位置的确定（3）已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向垂直于这两点的连线，但两速度的大小不等，则图形的速度瞬心必在这两点的连线与两速度矢端的连线的交点。第五十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第50页，共70页。6.瞬时平动已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这两点的连线不相垂直；或虽然速度方向与这两点的连线垂直，但两速度的大小相等，则该瞬时图形的速度瞬心在无限远处，图形的这种运动状态称为瞬时平动。此时，图形的角速度等于零，图形上各点的速度大小相等，方向相同，速度分布与平动时相似。第五十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第51页，共70页。注意：瞬时平动只是刚体平面运动的一个瞬态，与刚体的平动是两个不同的概念，瞬时平动时，虽然图形的角速度为零，图形上各点的速度相等，但图形的角加速度一般不等于零，图形上各点的加速度也不相同。例如：曲柄连杆机构装置示意图，连杆BC作瞬时平动。补充内容结束！第五十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第52页，共70页。6.分析质点系虚位移的两种方法6-1.几何法用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系；质点的实位移与其速度成正比dr=vdt，所以实位移之间的关系可以用速度之间的关系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。第五十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第53页，共70页。第五十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第54页，共70页。6-2.解析法第五十五页，编辑于星期六：十三点二十二分。第55页，共70页。解析法的一般推广选广义坐标q1，q2，…，qN

，则各质点的坐标对上式中第一式求变分，则得到：质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间的关系为δqk称为广义虚位移。第五十六页，编辑于星期六：十三点二十二分。第56页，共70页。4.虚位移原理4-1.虚功：质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用δW表示。注：虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功。设质点m的虚位移为δr，力F在虚位移上所作的虚功为δW=F·δr

=Fδrcosφ滑块的虚位移为δrB，设曲柄的虚位移为δφ，δW=－FδrB力偶M的虚功：δW=Mδφ力F的虚功：如曲柄滑块机构在力偶M和力F的作用下处于平衡，ABδφMMMMδφδφδφxoyFFFFδrBδrBδrBδrB第五十七页，编辑于星期六：十三点二十二分。第57页，共70页。4-2.理想约束：在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。若质点系中任意质点Mi，受约束反力Ni，虚位移δri，则理想约束的条件为：如光滑的接触面δW=N·δr=0M

N

δrN

δrN

δrN

δr对于作纯滚动刚体的固定面约束C

ω

F

T

N

DG

F

N

F

N

第五十八页，编辑于星期六：十三点二十二分。第58页，共70页。理想约束举例：光滑铰链连接N

N'

δrA

N

N'

δrN

N'

δr光滑铰支座或光滑轴承N

δrN

δrN

δr理想刚体δrBδrAABδrBδrAδrBδrANANANANBNBNBB

A

δrB柔性体约束TBTAβ

α

TBTATBTAδrBδrBδrA第五十九页，编辑于星期六：十三点二十二分。第59页，共70页。4-3.虚位移原理：具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零，又称虚功原理。矢量表达式为坐标分解式为虚功方程虚功方程又称为静力学普遍方程！第六十页，编辑于星期六：十三点二十二分。第60页，共70页。必要性：如果质点系平衡则虚功原理的证明设质点系由n个质点组成，第i个质点Mi平衡，受力有Fi-----主动力的合力Ni-----约束反力的合力则Fi+Ni=0∴

WFi+WNi

=n个方程求和得∵系统的约束为理想约束，∴∑Ni·

ri=0(Fi+Ni)·ri=0（i=1,2,…，n）0得证！第六十一页，编辑于星期六：十三点二十二分。第61页，共70页。充分性：如果则质点系平衡反证法：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡。即至少有一个质点Mj不平衡，则

Fj+Nj＝

Rj

≠0质点Mj由静止开始运动，其实位移drj应沿着Rj的方向该质点的合力在实位移中的元功为Rj

·drj=（Fj+Nj）

·drj＞0∵质点系受定常约束，∴drj∈δrj

，∴（Fj+Nj）·rj＞0∴

∑Fi

·

ri＞0这与假设矛盾！∴质点系必然平衡。得证！∴∑（Fj+Nj）·rj＞0又∵∑Ni·

ri=0第六十二页，编辑于星期六：十三点二十二分。第62页，共70页。5.虚功原理的应用已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束反力。第六十三页，编辑于星期六：十三点二十二分。第63页，共70页。WAolPPPPB例1：螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。第六十四页，编辑于星期六：十三点二十二分。第64页，共70页。例1续已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求举起重物B的重量W。WδrAδφl解：千斤顶受理想约束给P力点A虚位移δrA=

lδφ，由虚功方程∑δWF=0得：Pl

－WrB=0